الشكلية الإدارية

نقطة البداية لصياغة نموذج ADM هي لاغرانجيان

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

وهو ناتج ضرب الجذر التربيعي لمحدد موتر القياس رباعي الأبعاد للزمكان الكامل في مقياس ريتشي الخاص به . وهذا هو لاغرانجيان فعل أينشتاين-هيلبرت .

الهدف المرجو من هذا الاشتقاق هو تعريف تضمين لشرائح مكانية ثلاثية الأبعاد في الزمكان رباعي الأبعاد. مقياس الشرائح ثلاثية الأبعاد

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

ستكون هذه الإحداثيات المعممة لصياغة هاميلتونية. ويمكن بعد ذلك حساب الزخم المترافق على النحو التالي:

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

باستخدام التقنيات والتعريفات القياسية. الرموز${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$هي رموز كريستوفيل المرتبطة بمقياس الزمكان رباعي الأبعاد الكامل. الانقطاع

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

ومتجه الإزاحة

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

هي العناصر المتبقية من موتر القياس الرباعي.

بعد تحديد الكميات اللازمة للصياغة، تتمثل الخطوة التالية في إعادة كتابة دالة لاغرانج بدلالة هذه المتغيرات. الصيغة الجديدة لدالة لاغرانج

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

يمكن كتابتها بسهولة بدلالة الكميتين الجديدتين

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

و

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

يُعرف هذان الشرطان بشرط هاميلتون وشرط الزخم على التوالي. ويظهر كل من الانقطاع والانزياح في لاغرانجيان كمضاعفات لاغرانج .

على الرغم من أن المتغيرات في لاغرانجيان تمثل موتر القياس على فضاءات ثلاثية الأبعاد مضمنة في الزمكان رباعي الأبعاد ، فإنه من الممكن والمستحب استخدام الإجراءات المعتادة من ميكانيكا لاغرانجيان لاستنتاج "معادلات الحركة" التي تصف التطور الزمني لكل من القياس${\displaystyle g_{ij}}$وزخمه المترافق${\displaystyle \pi ^{ij}}$النتيجة

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

و

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

هي مجموعة غير خطية من المعادلات التفاضلية الجزئية .

يؤدي أخذ التغيرات فيما يتعلق بالانقطاع والتحول إلى معادلات القيد.

${\displaystyle H=0}$

و

${\displaystyle P^{i}=0,}$

ويمكن تحديد الانقطاع والتحول أنفسهما بحرية، مما يعكس حقيقة أنه يمكن تحديد أنظمة الإحداثيات بحرية في كل من المكان والزمان.

باستخدام صيغة ADM، من الممكن محاولة بناء نظرية كمومية للجاذبية بنفس الطريقة التي يتم بها بناء معادلة شرودنغر المقابلة لهاملتوني معين في ميكانيكا الكم . أي استبدال الزخم الكنسي${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$ودوال القياس المكاني بواسطة مؤثرات تفاضلية وظيفية خطية

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

وبشكل أدق، فإن استبدال المتغيرات الكلاسيكية بالمؤثرات مقيد بعلاقات التبادل . تمثل القبعات المؤثرات في نظرية الكم. وهذا يؤدي إلى معادلة ويلر-ديويت .

توجد حلول دقيقة معروفة قليلة نسبيًا لمعادلات أينشتاين للمجال . ولإيجاد حلول أخرى، يوجد مجال بحث نشط يُعرف بالنسبية العددية ، حيث تُستخدم الحواسيب العملاقة لإيجاد حلول تقريبية للمعادلات. ولإنشاء هذه الحلول عدديًا، يبدأ معظم الباحثين بصياغة لمعادلات أينشتاين وثيقة الصلة بصياغة ADM. وتبدأ أكثر الطرق شيوعًا بمسألة قيمة ابتدائية تستند إلى صيغة ADM.

في الصيغ الهاميلتونية، تكمن الفكرة الأساسية في استبدال مجموعة من المعادلات من الرتبة الثانية بمجموعة أخرى من المعادلات من الرتبة الأولى. ويمكننا الحصول على هذه المجموعة الثانية من المعادلات بسهولة باستخدام الصيغة الهاميلتونية. وهذا مفيدٌ للغاية في الفيزياء العددية، لأن تقليل رتبة المعادلات التفاضلية يُعدّ مناسبًا غالبًا عند إعداد المعادلات للحاسوب.