نصف قطر شوارزشيلد

📅 آخر تحديث: ١ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 19 صور
الموسوعة الحرة

في هذا الرسم البياني للعلاقة بين الكتلة ونصف القطر، يُظهر نصف قطر شوارزشيلد كحد أدنى لأنصاف أقطار الأجسام المعزولة، وتصبح التأثيرات الكمومية ذات أهمية عند قيم أقل من حد كومبتون . أما نصف قطر هابل فيعطي فكرة تقريبية عن حجم الكون المرئي.

نصف قطر شوارزشيلد هو أحد مُعاملات حل شوارزشيلد لمعادلات أينشتاين للمجال ، وهو يُقابل نصف قطر كرة في فضاء مُسطّح لها نفس مساحة سطح أفق حدث ثقب أسود من نوع شوارزشيلد ذي كتلة مُحددة. وهو كمية مميزة يُمكن ربطها بأي كمية من الكتلة. سُمّي نصف قطر شوارزشيلد نسبةً إلى عالم الفلك الألماني كارل شوارزشيلد ، الذي حسب هذا الحل لنظرية النسبية العامة عام 1916.

يُعطى نصف قطر شوارزشيلد على النحو التالي: رs=2جيمج2،{\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},} حيث G هو ثابت نيوتن للجاذبية ، وM هي كتلة الجسم، و c هي سرعة الضوء . [ 1 ] [ 2 ]

تاريخ

في عام 1916، حصل كارل شوارتزشيلد على حل دقيق [ 3 ] [ 4 ] لمعادلات أينشتاين للمجال الجاذبي خارج جسم غير دوار ومتناظر كرويًا وله كتلةم{\displaystyle M}(انظر مقياس شوارزشيلد ). احتوى الحل على حدود من الشكل التالي 11-رsر،{\displaystyle {\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}},} والتي لها نقاط تفرد عندر=0{\displaystyle r=0}ور=رs{\displaystyle r=r_{\text{s}}}المعلمةرs{\displaystyle r_{\text{s}}}أصبح يُعرف باسم نصف قطر شوارزشيلد . وقد نوقشت الدلالة الفيزيائية لهذه النقاط الشاذة لعقود. ووجد أن النقطة عندر=رs{\displaystyle r=r_{\text{s}}}هي نقطة تفرد إحداثية ، مما يعني أنها نتاج نظام الإحداثيات المحدد الذي تم استخدامه؛ بينما النقطة عندر=0{\displaystyle r=0}هي نقطة تفرد في الزمكان ولا يمكن إزالتها. [ 5 ] ومع ذلك، فإن نصف قطر شوارزشيلد هو كمية ذات أهمية فيزيائية، كما هو مذكور أعلاه وأدناه.

حدود

يتناسب نصف قطر شوارزشيلد لجسم ما طرديًا مع كتلته. وبناءً على ذلك، يبلغ نصف قطر شوارزشيلد للشمس حوالي 3.0 كيلومتر (1.9 ميل) ، [ 6 ] بينما يبلغ نصف قطر شوارزشيلد للأرض حوالي 9 مليمترات (0.35 بوصة) ، [ 6 ] ويبلغ نصف قطر شوارزشيلد للقمر حوالي 0.1 مليمتر (0.004 بوصة) .      

جدول يوضح أمثلة على  أنصاف أقطار شوارزشيلد
هدفكتلةم{\textstyle M}نصف قطر شوارزشيلد2جيمج2{\textstyle {\frac {2GM}{c^{2}}}}نصف القطر الفعلير{\textstyle r}كثافة شوارزشيلد3ج632πجي3م2{\textstyle {\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}}أو3ج28πجير2{\textstyle {\frac {3c^{2}}{8\pi Gr^{2}}}}
درب التبانة1.6 × 10 42  كجم2.4 × 10^ 15  م (0.25 سنة ضوئية  )5 × 10 20  م ((52900 سنة ضوئية  )0.000029 كجم  / م³
ثقب أسود فائق الكتلة في فينيكس أ (أحد أكبر الثقوب السوداء المعروفة )2 × 10 41  كجم3 × 10 14  م (~2000 وحدة فلكية ) 0.0018  كجم/ م³
طن 6181.3 × 10 41  كجم1.9 × 10 14  م (~1300 وحدة فلكية ) 0.0045  كجم/ م³
ثقب أسود فائق الكتلة في NGC 48894.2 × 10 40  كجم6.2 × 10 13  م (~410 وحدة فلكية ) 0.042  كجم/ م³
SMBH في Messier 87 [ 7 ]1.3 × 10 40  كجم1.9 × 10 13  م (~130 وحدة فلكية ) 0.44  كجم/ م³
ثقب أسود فائق الكتلة في مجرة ​​أندروميدا [ 8 ]3.4 × 10 38  كجم5.0 × 10 11  م (3.3 وحدة فلكية ) 640  كجم/ م³
القوس أ* (الثقب الأسود فائق الكتلة في درب التبانة) [ 9 ]8.26 × 10 36  كجم1.23 × 10 10  م (0.08 وحدة فلكية ) 1.068 × 10⁶ كجم  / م³
SMBH في NGC 4395 [ 10 ]7.1568 × 10 35  كجم1.062 × 10 9  م (1.53 R ☉ ) 1.4230 × 10⁸ كجم  / م³
ثقب أسود وسيط محتمل في HCN-0.009-0.044 [ 11 ] [ 12 ]6.3616 × 10 34  كجم9.44 × 10 7  م (14.8 R ⊕ ) 1.8011 × 10 10  كجم/م 3
الثقب الأسود الوسيط الناتج عن اندماج GW190521 [ 13 ]2.823 × 10 32  كجم4.189 × 10⁵ م  ( 0.066 R ⊕ ) 9.125 × 10¹⁴ كجم  / م³
شمس1.99 × 10 30  كجم2.95 × 10³ م​ 7.0 × 10⁸ م​ 1.84 × 10^ 19  كجم/م ^3
كوكب المشتري1.90 × 10 27  كجم2.82  متر7.0 × 10⁷ م​ 2.02 × 10²⁵ كجم  / م³
زحل5.683 × 10 26  كجم8.42 × 10⁻¹ م​ 6.03 × 10⁷ م​ 2.27 × 10²⁶ كجم  / م³
نبتون1.024 × 10 26  كجم1.52 × 10 −1  م2.47 × 10⁷ م​ 6.97 × 10²⁷ كجم  / م³
أورانوس8.681 × 10 25  كجم1.29 × 10 −1  م2.56 × 10⁷ م​ 9.68 × 10²⁷ كجم  / م³
أرض5.97 × 10 24  كجم8.87 × 10 −3  م6.37 × 10⁶ م​ 2.04 × 10 30  كجم/م 3
الزهرة4.867 × 10 24  كجم7.21 × 10 −3  م6.05 × 10⁶ م​ 3.10 × 10 30  كجم/م 3
المريخ6.39 × 10²³ كجم​ 9.47 × 10 −4  م3.39 × 10⁶ م​ 1.80 × 10³² كجم  / م³
الزئبق3.285 × 10 23  كجم4.87 × 10⁻⁴ م​ 2.44 × 10⁶ م​ 6.79 × 10³² كجم  / م³
قمر7.35 × 10 22  كجم1.09 × 10 −4  م1.74 × 10⁶ م​ 1.35 × 10³⁴ كجم  / م³
بشر70  كجم1.04 × 10 −25  م~5 × 10⁻¹ م​ 1.49 × 10 76  كجم/م 3
كتلة بلانك2.18 × 10 −8  كجم3.23 × 10 −35  م (2 لتر P ) 1.54 × 10⁹⁵ كجم  / م³

الاشتقاق

تصنيف الثقوب السوداء حسب نصف قطر شوارزشيلد

تصنيفات الثقوب السوداء
فصلالكتلة التقريبيةنصف القطر التقريبي
ثقب أسود فائق الكتلة10 5 –10 11 م الأحد0.002–2000 وحدة فلكية
ثقب أسود متوسط ​​الكتلة10 3 م صن 3000  كم ≈ نصف قطر المريخ
ثقب أسود نجمي10 م صن30  كم
ثقب أسود دقيقحتى القمر Mحتى 0.1  مم

يُطلق على أي جسم نصف قطره أصغر من نصف قطر شوارزشيلد اسم الثقب الأسود . [ 14 ] : 410. يعمل السطح عند نصف قطر شوارزشيلد كأفق حدث في جسم غير دوّار ( يختلف عمل الثقب الأسود الدوّار قليلاً). لا يستطيع الضوء ولا الجسيمات الإفلات عبر هذا السطح من المنطقة الداخلية، ومن هنا جاءت تسمية "الثقب الأسود".

يمكن تصنيف الثقوب السوداء بناءً على نصف قطر شوارزشيلد، أو بشكل مكافئ، بناءً على كثافتها، حيث تُعرَّف الكثافة بأنها كتلة الثقب الأسود مقسومة على حجم كرة شوارزشيلد الخاصة به. ولأن نصف قطر شوارزشيلد يرتبط خطيًا بالكتلة، بينما يتناسب الحجم المحصور طرديًا مع مكعب نصف القطر، فإن الثقوب السوداء الصغيرة تكون أكثر كثافة بكثير من الثقوب السوداء الكبيرة. ويبلغ متوسط ​​كثافة الحجم المحصور في أفق حدث أضخم الثقوب السوداء أقل من كثافة نجوم التسلسل الرئيسي.

ثقب أسود فائق الكتلة

الثقب الأسود فائق الكتلة هو أكبر أنواع الثقوب السوداء، على الرغم من قلة المعايير الرسمية لتحديد ذلك، إذ تتراوح كتلته بين مئات الآلاف ومليارات الكتل الشمسية. ( تم رصد ثقوب سوداء فائقة الكتلة تصل كتلتها إلى 21 مليار كتلة شمسية (2.1 × 10¹⁰)، مثل NGC 4889 ) . [ 15 ] على عكس الثقوب السوداء النجمية ، تتميز الثقوب السوداء فائقة الكتلة بكثافتها المتوسطة المنخفضة نسبيًا. (تجدر الإشارة إلى أن الثقب الأسود (غير الدوار) هو منطقة كروية في الفضاء تحيط بالنقطة المتفردة في مركزها؛ وليس النقطة المتفردة نفسها). وبناءً على ذلك، قد تكون الكثافة المتوسطة للثقب الأسود فائق الكتلة أقل من كثافة الماء. 

يتناسب نصف قطر شوارزشيلد للجسم طرديًا مع كتلته، وبالتالي مع حجمه، بافتراض أن كثافة كتلة الجسم ثابتة. [ 16 ] في المقابل، يتناسب نصف القطر الفيزيائي للجسم طرديًا مع الجذر التكعيبي لحجمه. لذلك، عندما يتراكم الجسم مادة بكثافة ثابتة معينة (في هذا المثال،بكثافة 997 كجم/م³ (  كثافة الماء)، سيزداد نصف قطر شوارزشيلد الخاص به بسرعة أكبر من نصف قطره الفعلي. عندما ينمو جسم بهذه الكثافة إلى حوالي 136 مليون كتلة شمسية ( 1.36 × 10⁸ كتلة شمسية ) ، سيتجاوز نصف قطر شوارزشيلد نصف قطره الفعلي، وبالتالي سيشكل ثقبًا أسود فائق الكتلة.   

يُعتقد أن الثقوب السوداء فائقة الكتلة كهذه لا تتشكل مباشرةً من انهيار مجموعة من النجوم. بل قد تبدأ حياتها كثقوب سوداء أصغر حجماً بحجم النجوم، ثم تنمو وتكبر بتراكم المادة، أو حتى بتراكم ثقوب سوداء أخرى. [ 17 ]

يبلغ نصف قطر شوارزشيلد للثقب الأسود فائق الكتلة في مركز مجرة ​​درب التبانة حوالي 12 مليون كيلومتر. [ 9 ] تبلغ كتلته حوالي 4.1 مليون كتلة شمسية .  

ثقب أسود نجمي

تتمتع الثقوب السوداء النجمية بكثافة متوسطة أعلى بكثير من الثقوب السوداء فائقة الكتلة. فإذا تراكمت المادة عند كثافة النواة (كثافة نواة الذرة، حوالي 10^ 18 كجم/م ^3 ؛ وتصل النجوم النيوترونية أيضاً إلى هذه الكثافة)، فإن هذا التراكم سيقع ضمن نصف قطر شوارزشيلد الخاص به، والذي يبلغ حوالي 3 أضعاف كتلة الشمس ، وبالتالي سيُشكّل ثقباً أسود نجمياً . 

ثقب أسود دقيق

كتلة صغيرة لها نصف قطر شوارزشيلد صغير للغاية. ثقب أسود بكتلة مماثلة لكتلة جبل إيفرست ، [ 18 ]كتلة مقدارها 6.3715 × 10¹⁴ كجم  ، سيكون لها نصف قطر شوارزشيلد أصغر بكثير من النانومتر . سيكون نصف قطر شوارزشيلد 2 ×6.6738 × 10 −11  م 3 ⋅كغ −1 ⋅ث −2 ×6.3715 × 10 14  كجم / (299792458 م ⋅ ث −1  ) 2 =​​9.46 × 10 −13  م =يبلغ قطرها 9.46 × 10⁻⁴ نانومتر  . إن متوسط ​​كثافتها عند هذا الحجم سيكون مرتفعًا للغاية لدرجة أنه لا توجد آلية معروفة قادرة على تكوين مثل هذه الأجسام فائقة الكثافة. ربما تكونت هذه الثقوب السوداء قد تشكلت في مرحلة مبكرة من تطور الكون، بعد الانفجار العظيم مباشرة ، عندما كانت كثافة المادة عالية للغاية. لذلك، تُسمى هذه الثقوب السوداء المصغرة الافتراضية بالثقوب السوداء البدائية .

استخدامات أخرى

في تمدد الزمن بفعل الجاذبية

يمكن تقريب تمدد الزمن بفعل الجاذبية بالقرب من جسم كبير يدور ببطء وشبه كروي، مثل الأرض أو الشمس، على النحو التالي: [ 19 ]ترت=1-رsر{\displaystyle {\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}} أين:

  • يمثل t r الوقت المنقضي بالنسبة لمراقب عند الإحداثي القطري r داخل مجال الجاذبية؛
  • t هو الوقت المنقضي بالنسبة لمراقب بعيد عن الجسم الضخم (وبالتالي خارج مجال الجاذبية)؛
  • r هو الإحداثي القطري للمراقب (وهو مشابه للمسافة الكلاسيكية من مركز الجسم)؛
  • يمثل r s نصف قطر شوارزشيلد.

تقاطع أطوال موجات كومبتون

الطول الموجي المختزل لكومبتون ،ℏ/مج{\displaystyle \hbar /Mc}نصف قطر شوارزشيلد ( ) ، هو طول مميز يفصل بين الأنظمة التي تكون فيها النظريات الكلاسيكية فعالة وتلك التي تظهر فيها التأثيرات الكمومية بوضوح.2جيم/ج2{\displaystyle 2GM/c^{2}}) ذات كتلة معينةم{\displaystyle M}يساوي ضعف طول موجة كومبتون المختزلة عندمام{\displaystyle M}يساوي كتلة بلانك واحدة (م=ℏج/جي{\textstyle M={\sqrt {\hbar c/G}}})؛ وكلاهما يساوي طول بلانك (ℏجي/ج3{\textstyle {\sqrt {\hbar G/c^{3}}}}). من المرجح أن يتطلب استقراء علاقات كومبتون وشوارزشيلد إلى تقاطعها تصحيحات بسبب الجاذبية الكمومية . [ 20 ]

حساب أقصى حجم ونصف قطر ممكنين بكثافة معينة قبل تشكل الثقب الأسود

يمكن التلاعب بمعادلة نصف قطر شوارزشيلد للحصول على تعبير يعطي أكبر نصف قطر ممكن من كثافة مُدخلة لا تُشكل ثقبًا أسود. بافتراض أن الكثافة المُدخلة هي ρ ، رs=3ج28πجيρ.{\displaystyle r_{\text{s}}={\sqrt {\frac {3c^{2}}{8\pi G\rho }}}.}

فعلى سبيل المثال، كثافة الماء هي1000  كجم/م³ . هذا يعني أن أكبر كمية من الماء التي يمكنك الحصول عليها دون تكوين ثقب أسود سيكون نصف قطرها400 920 754  كم (حوالي 2.67 وحدة فلكية ). 

نصف قطر الجاذبية

يُستخدم مصطلح نصف القطر الجاذبي أحيانًا [ 21 ] كمرادف لنصف قطر شوارزشيلد وأحيانًا [ 22 ] يشير إلى ثابت يساوي نصف الحجم،Rجي=جيم/ج2{\displaystyle R_{\textrm {G}}=GM/c^{2}}لذا، يُتجنب استخدام هذا المصطلح في البيئات التعليمية. [ 23 ] : 2-21

انظر أيضاً

تصنيف الثقوب السوداء حسب النوع:

تصنيف الثقوب السوداء حسب الكتلة:

مراجع

  1. ↑ كوتنر، مارك ليزلي (2003). علم الفلك: منظور فيزيائي (  الطبعة الثانية). كامبريدج، المملكة المتحدة؛ نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج . ص  148. ISBN 978-0-521-82196-4.
  2. ↑ غيدري، إم دبليو (2019). النسبية العامة الحديثة: الثقوب السوداء، وموجات الجاذبية، وعلم الكونيات . كامبريدج؛ نيويورك، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 92. ISBN  978-1-107-19789-3.
  3. ^ شوارزشيلد، كارل (1916). "Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 189. بيب كود : 1916SPAW.......189S .
  4. ^ شوارزشيلد، كارل (1916). "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie" . Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 424. بيب كود : 1916skpa.conf..424S .
  5. ↑ والد، روبرت (1984). النسبية العامة . مطبعة جامعة شيكاغو. ص 152-153 . ISBN  978-0-226-87033-5.
  6. 1 2 أندرسون، جيمس ل. (2001). "حقل شوارزشيلد، وآفاق الحدث، والثقوب السوداء" . في ماير، روبرت أ. (محرر). موسوعة العلوم الفيزيائية والتكنولوجيا (الطبعة الثالثة) . كامبريدج، ماساتشوستس: أكاديميك برس . ISBN 978-0-12-227410-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 23 أكتوبر 2023 .
  7. ↑ تعاون تلسكوب أفق الحدث (2019). "النتائج الأولى لتلسكوب أفق الحدث M87. الجزء الأول: ظل الثقب الأسود فائق الكتلة" . رسائل المجلة الفيزيائية الفلكية . 875 (1): L1. arXiv : 1906.11238 . Bibcode : 2019ApJ...875L...1E . doi : 10.3847/2041-8213/AB0EC7 .6.5(7) × 10 9 م ☉  =1.29(14) × 10 40  كجم .
  8. ↑ بندر، رالف؛ كورميندي، جون؛ باور، غاري؛ وآخرون (2005). "مطيافية HST STIS للنواة الثلاثية لمجرة M31: قرصان متداخلان يدوران دورانًا كبلريًا حول ثقب أسود فائق الكتلة". مجلة الفيزياء الفلكية . 631 (1): 280-300 . arXiv : astro-ph/0509839 . Bibcode : 2005ApJ...631..280B . doi : 10.1086/432434 . S2CID 53415285 .   1.7 ( 6) × 10⁸ م ☉ =0.34(12) × 10 39  كجم .
  9. 1 2 غيز، أ.م. وآخرون (ديسمبر 2008). "قياس المسافة وخصائص الثقب الأسود فائق الكتلة المركزي لمجرة درب التبانة باستخدام مدارات النجوم". المجلة الفيزيائية الفلكية . 689 (2): 1044-1062 . arXiv : 0808.2870 . Bibcode : 2008ApJ...689.1044G . doi : 10.1086/592738 . S2CID 18335611 .  
  10. ↑ بيترسون، برادلي م.؛ بينتز، ميستي س.؛ ديروش، لويس-بينوا؛ فيليبينكو، أليكسي ف.؛ هو، لويس س.؛ كاسبي، شاي؛ لاور، آري؛ ماعوز، دان؛ موران، إدوارد س.؛ بوج، ريتشارد و.؛ كويلين، أليس س. (20 أكتوبر 2005). "رصد متعدد الأطوال الموجية للمجرة القزمة سيفرت 1 NGC 4395. الجزء الأول: قياس كتلة الثقب الأسود باستخدام الصدى". المجلة الفيزيائية الفلكية . 632 (2): 799-808 . arXiv : astro-ph/0506665 . Bibcode : 2005ApJ...632..799P . doi : 10.1086/444494 . hdl : 1811/48314 . ISSN 0004-637X . S2CID 13886279 .  
  11. ↑ "اكتشاف ثقب أسود مخفي" . phys.org . 1 مارس 2019. تم الاطلاع عليه في 15 يونيو 2022 .
  12. ↑ تاكيكاوا، شونيا؛ أوكا، توموهارو؛ إيواتا، يوهي؛ تسوجيموتو، شيهو؛ نومورا، ماريكو (2019). "مؤشر على وجود ثقب أسود آخر متوسط ​​الكتلة في مركز المجرة" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 871 (1): L1. arXiv : 1812.10733 . Bibcode : 2019ApJ...871L...1T . doi : 10.3847/2041-8213/aafb07 .
  13. ↑ أبوت، ر.؛ أبوت، ت.د.؛ أبراهام، س.؛ أسيرنيز، ف.؛ أكلي، ك.؛ آدامز، س.؛ أدهيكاري، ر.إكس.؛ أديا، ف.ب.؛ أفيلدت، س.؛ أغاثوس، م.؛ أغاتسوما، ك. (2 سبتمبر 2020). "خصائص وتداعيات فيزيائية فلكية لاندماج الثقبين الأسودين الثنائيين GW190521 بكتلة 150 كتلة شمسية" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 900 (1): L13. arXiv : 2009.01190 . Bibcode : 2020ApJ...900L..13A . doi : 10.3847/2041-8213/aba493 . ISSN 2041-8213 . S2CID 221447444 .   
  14. ↑ زي، أنتوني (2013). جاذبية أينشتاين باختصار . سلسلة باختصار ( الطبعة الأولى). برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ISBN  978-0-691-14558-7.
  15. ↑ ماكونيل، نيكولاس ج. (8 ديسمبر 2011). "ثقبان أسودان بكتلة عشرة مليارات كتلة شمسية في مركز مجرات إهليلجية عملاقة". مجلة نيتشر . 480 (7376): 215-218 . arXiv : 1112.1078 . Bibcode : 2011Natur.480..215M . doi : 10.1038/nature10636 . PMID: 22158244. S2CID : 4408896 .  
  16. ↑ روبرت هـ . ساندرز (2013). كشف قلب المجرة: درب التبانة وثقبها الأسود . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 36. ISBN  978-1-107-51274-0.
  17. ↑ باكوتشي، فابيو؛ لوب، أبراهام (1 يونيو 2020). "فصل التراكم والاندماج في النمو الكوني للثقوب السوداء باستخدام رصد الأشعة السينية وموجات الجاذبية" . المجلة الفيزيائية الفلكية . 895 (2): 95. arXiv : 2004.07246 . Bibcode : 2020ApJ...895...95P . doi : 10.3847/1538-4357/ab886e . S2CID 215786268 . 
  18. ↑ "كيف تُقارن كتلة مول واحد من حلوى إم آند إمز بكتلة جبل إيفرست؟" (ملف PDF) . كلية العلوم والتكنولوجيا، سنغافورة. مارس 2003. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 10 ديسمبر 2014. تم الاطلاع عليه في 8 ديسمبر 2014. إذا افترضنا أن جبل إيفرست مخروطي الشكل، ارتفاعه 8850 مترًا ونصف قطره 5000 متر، فيمكن حساب حجمه باستخدام المعادلة التالية: الحجم = π r²h / 3 [ ... ] يتكون جبل إيفرست من الجرانيت، الذي تبلغ كثافته2750  كجم ⋅ م −3 .
  19. ↑ كيتون، تشارلز (2014). مبادئ الفيزياء الفلكية: استخدام الجاذبية وفيزياء النجوم لاستكشاف الكون . سلسلة محاضرات في الفيزياء لطلاب البكالوريوس. نيويورك: سبرينغر. ص 208. ISBN  978-1-4614-9236-8.
  20. ↑ كار، برنارد ج. (2016)، "مبدأ عدم اليقين في الثقب الأسود" ، في نيكوليني، بييرو؛ كامينسكي، ماتياس؛ موريكا، جوناس؛ بليشر، ماركوس (محررون)، الاجتماع الأول لكارل شوارتزشيلد حول فيزياء الجاذبية ، المجلد 170، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، الصفحات 159-167 ، doi : 10.1007/978-3-319-20046-0_19 ، ISBN   978-3-319-20045-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 يونيو 2026
  21. ↑ على سبيل المثال ، أوبنهايمر، جيه آر؛ سنايدر، إتش. (1939). "حول الانكماش الجاذبي المستمر" . مجلة المراجعة الفيزيائية . 56 (5): 455-459 . doi : 10.1103/PhysRev.56.455 . ISSN 0031-899X . 
  22. ↑ على سبيل المثال ، أبراموفيتش، م. أ. (2005). "تراكم المادة على الثقوب السوداء فوق حد إيدنجتون: حلقات بولندية وأقراص رفيعة" . في: ميرلوني، أندريا؛ ناياكشين، سيرجي؛ سونيايف، رشيد أ. (محررون). الثقوب السوداء المتنامية: التراكم في سياق كوني . برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص 257-273 . doi : 10.1007/11403913_49 . ISBN  978-3-540-25275-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 أبريل 2026 .
  23. ↑ تايلور، إدوين ف.؛ ويلر، جون أرشيبالد (2001). استكشاف الثقوب السوداء: مقدمة في النسبية العامة (تحرير ناتشر ). سان فرانسيسكو، ميونيخ: أديسون ويسلي لونجمان. ISBN  978-0-201-38423-9.