تمدد الزمن بفعل الجاذبية

يُعدّ تمدد الزمن بفعل الجاذبية أحد أشكال تمدد الزمن ، وهو الفرق الفعلي في الزمن المنقضي بين حدثين ، كما يقيسه مراقبون على مسافات متفاوتة من كتلة جاذبة . كلما انخفض الجهد الجاذبي (أي كلما اقتربت الساعة من مصدر الجاذبية)، تباطأ مرور الزمن، ويتسارع مع ازدياد الجهد الجاذبي (أي كلما ابتعدت الساعة عن مصدر الجاذبية). وقد تنبأ ألبرت أينشتاين بهذا في نظريته النسبية ، وتم تأكيده لاحقًا من خلال اختبارات النسبية العامة . ^{[ 1 ]}

وقد تم إثبات هذا التأثير من خلال ملاحظة أن الساعات الذرية على ارتفاعات مختلفة (وبالتالي ذات جهد جاذبي مختلف) ستُظهر في النهاية أوقاتًا مختلفة. التأثيرات التي تم رصدها في مثل هذه التجارب الأرضية ضئيلة للغاية، حيث تُقاس الفروقات بالنانو ثانية . وبالمقارنة مع عمر الأرض الذي يُقاس بمليارات السنين، فإن لب الأرض أصغر فعليًا من سطحها بـ 2.5 سنة. ^{[ 2 ]} ويتطلب إثبات تأثيرات أكبر إجراء قياسات على مسافات أبعد من الأرض، أو استخدام مصدر جاذبية أكبر.

وصف ألبرت أينشتاين تمدد الزمن بفعل الجاذبية لأول مرة عام 1907 ^{[ 3 ]} كنتيجة للنسبية الخاصة في أطر مرجعية متسارعة. في النسبية العامة ، يُعتبر هذا التمدد اختلافًا في مرور الزمن الخاص عند مواقع مختلفة، كما هو موضح بواسطة موتر متري للزمكان. وقد تأكد وجود تمدد الزمن بفعل الجاذبية بشكل مباشر لأول مرة من خلال تجربة باوند-ريبكا عام 1959، ثم جرى تحسين هذه النتائج لاحقًا بواسطة مسبار الجاذبية A وتجارب أخرى.

يرتبط تمدد الزمن الجاذبي ارتباطًا وثيقًا بالانزياح الأحمر الجاذبي ، ^{[ 4 ]} حيث كلما اقترب جسم ينبعث منه ضوء بتردد ثابت من جسم جاذب، كلما تباطأ وقته بسبب تمدد الزمن الجاذبي، وكلما بدا تردد الضوء المنبعث أقل (أكثر انزياحًا نحو الأحمر)، كما يقيسه مراقب ثابت.

تتقدم الساعات البعيدة عن الأجسام الضخمة (أو ذات الجاذبية العالية) بشكل أسرع، بينما تتأخر الساعات القريبة من الأجسام الضخمة (أو ذات الجاذبية المنخفضة). على سبيل المثال، عند النظر إلى الزمن الكلي للأرض (4.6 مليار سنة)، فإن ساعة مضبوطة في موقع ثابت بالنسبة للأرض على ارتفاع 9000 متر فوق مستوى سطح البحر، كما هو الحال على قمة جبل إيفرست ( ارتفاعها 8848  مترًا)، ستكون متقدمة بحوالي 39 ساعة عن ساعة مضبوطة على مستوى سطح البحر. ^{[ 5 ] [ 6 ]} ويعود ذلك إلى أن تمدد الزمن بفعل الجاذبية يتجلى في تسارع الأطر المرجعية ، أو، بحكم مبدأ التكافؤ ، في مجال جاذبية الأجسام الضخمة. ^{[ 7 ]}

وفقًا للنسبية العامة، فإن الكتلة العطالية والكتلة الجاذبية متساويتان، وجميع الأطر المرجعية المتسارعة (مثل الإطار المرجعي الدوار بانتظام مع تمدده الزمني الخاص) مكافئة فيزيائيًا لحقل جاذبية بنفس القوة. ^{[ 8 ]}

لنفترض وجود عائلة من المراقبين على طول خط "عمودي" مستقيم، يتعرض كل منهم لقوة جاذبية ثابتة ومميزة موجهة على طول هذا الخط (على سبيل المثال، مركبة فضائية طويلة تتسارع، ^{[ 9 ] [ 10 ]} ناطحة سحاب، أو بئر على كوكب).${\displaystyle g(h)}$لتكن هذه العلاقة بين قوة الجاذبية و"الارتفاع"، وهو إحداثي على طول الخط المذكور آنفًا. المعادلة بالنسبة لمراقب أساسي عند${\displaystyle h=0}$يكون

${\displaystyle T_{d}(h)=\exp \left[{\frac {1}{c^{2}}}\int _{0}^{h}g(h')dh'\right]}$

أين${\displaystyle T_{d}(h)}$هو التمدد الزمني الكلي في موضع بعيد${\displaystyle h}$،${\displaystyle g(h)}$هل تعتمد قوة الجاذبية على "الارتفاع"؟${\displaystyle h}$،${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء ، و${\displaystyle \exp }$يشير إلى عملية الرفع إلى الأس e .

لتبسيط الأمر، في عائلة ريندل من المراقبين في الزمكان المسطح ، ستكون التبعية

${\displaystyle g(h)=c^{2}/(H+h)}$

مع ثابت${\displaystyle H}$، مما ينتج عنه

${\displaystyle T_{d}(h)=e^{\ln(H+h)-\ln H}={\tfrac {H+h}{H}}}$.

من ناحية أخرى، عندما${\displaystyle g}$ثابت تقريبًا و${\displaystyle gh}$أصغر بكثير من${\displaystyle c^{2}}$، التقريب الخطي "للمجال الضعيف"${\displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}$ويمكن استخدامها أيضاً.

انظر إلى مفارقة إهرنفست لتطبيق نفس الصيغة على إطار مرجعي دوار في الزمكان المسطح.

تُشتق معادلة شائعة تُستخدم لتحديد تمدد الزمن بفعل الجاذبية من مقياس شوارزشيلد ، الذي يصف الزمكان في جوار جسم ضخم غير دوار ومتناظر كرويًا . المعادلة هي

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {v_{e}^{2}}{c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-\beta _{e}^{2}}}<t_{f}}$

أين

• ${\displaystyle t_{0}}$هو الوقت المناسب بين حدثين بالنسبة لمراقب قريب من الكرة الضخمة، أي في عمق مجال الجاذبية
• ${\displaystyle t_{f}}$يمثل الوقت الإحداثي بين الأحداث بالنسبة لمراقب على مسافة كبيرة بشكل تعسفي من الجسم الضخم (يفترض هذا أن المراقب البعيد يستخدم إحداثيات شوارزشيلد ، وهو نظام إحداثيات حيث تدق الساعة على مسافة لا نهائية من الكرة الضخمة بمعدل ثانية واحدة لكل ثانية من الوقت الإحداثي، بينما تدق الساعات الأقرب بمعدل أقل من ذلك).
• ${\displaystyle G}$هو ثابت الجاذبية ،
• ${\displaystyle M}$كتلة الجسم الذي يُنشئ مجال الجاذبية ،
• ${\displaystyle r}$يمثل الإحداثي القطري للمراقب داخل مجال الجاذبية (هذا الإحداثي مماثل للمسافة الكلاسيكية من مركز الجسم، ولكنه في الواقع إحداثي شوارزشيلد؛ المعادلة في هذا الشكل لها حلول حقيقية لـ${\displaystyle r>r_{\rm {s}}}$)
• ${\displaystyle c}$هي سرعة الضوء ،
• ${\displaystyle r_{\rm {s}}=2GM/c^{2}}$نصف قطر شوارزشيلد${\displaystyle M}$،
• ${\displaystyle v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$هي سرعة الإفلات، و
• ${\displaystyle \beta _{e}=v_{e}/c}$هي سرعة الإفلات، معبر عنها كجزء من سرعة الضوء c.

ولتوضيح ذلك، ودون الأخذ في الاعتبار تأثيرات الدوران، فإن قرب الكوكب من مجال جاذبيته سيؤدي إلى تراكم ساعة على سطحه أقل بحوالي 0.0219 ثانية خلال عام واحد مقارنةً بساعة مراقب بعيد. في المقابل، ستتراكم ساعة على سطح الشمس أقل بحوالي 66.4 ثانية في عام واحد.

في مقياس شوارزشيلد، يمكن للأجسام الساقطة سقوطًا حرًا أن تكون في مدارات دائرية إذا كان نصف قطر المدار أكبر من${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}r_{s}}$(نصف قطر كرة الفوتون ). صيغة الساعة الساكنة مذكورة أعلاه؛ أما الصيغة أدناه فتعطي تمدد الزمن النسبي العام لساعة في مدار دائري: ^{[ 11 ] [ 12 ]}

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\!\cdot \!{\frac {r_{\rm {s}}}{r}}}}\,.}$

يظهر كلا التمددين في الشكل أدناه.

• وفقًا لنظرية النسبية العامة ، يتزامن تمدد الزمن بفعل الجاذبية مع وجود إطار مرجعي متسارع . إضافةً إلى ذلك، تخضع جميع الظواهر الفيزيائية في ظروف مماثلة لتمدد الزمن بالتساوي وفقًا لمبدأ التكافؤ المستخدم في نظرية النسبية العامة .
• سرعة الضوء في أي مكان تساوي دائمًا c بالنسبة للمراقب الموجود فيه. أي أن كل منطقة متناهية الصغر في الزمكان يمكن تحديد زمنها الخاص، وسرعة الضوء وفقًا لهذا الزمن في تلك المنطقة هي دائمًا c . هذا صحيح سواءً كان هناك مراقب في تلك المنطقة أم لا. يمكن قياس تأخير زمني للفوتونات المنبعثة من الأرض، والتي تنحني قرب الشمس، وتنتقل إلى الزهرة، ثم تعود إلى الأرض عبر مسار مشابه. لا يوجد هنا أي انتهاك لثبات سرعة الضوء، لأن أي مراقب يرصد سرعة الفوتونات في منطقته سيجد أن سرعة تلك الفوتونات هي c ، بينما تختلف السرعة التي نرصد بها الضوء وهو يقطع مسافات محدودة في جوار الشمس عن c .
• إذا تمكن راصد من تتبع الضوء في موقع بعيد، والذي يتقاطع مع راصد آخر بعيد آخر أقرب إلى جسم أكبر حجماً، فإن هذا الراصد الأول يلاحظ أن كلاً من الضوء البعيد وهذا الراصد البعيد ذي الزمن الممتد يسيران بسرعة أبطأ من الضوء الآخر الذي يصل إليه بسرعة الضوء c ، تماماً كباقي الضوء الذي يستطيع الراصد الأول رصده (من موقعه). وإذا ما تقاطع الضوء الآخر البعيد في نهاية المطاف مع الراصد الأول، فسيتم قياس سرعته أيضاً بسرعة الضوء c .
• تمدد الزمن بفعل الجاذبية${\displaystyle T}$في بئر جاذبية، يساوي تمدد السرعة بالنسبة للسرعة اللازمة للهروب من بئر الجاذبية هذا (بافتراض أن المقياس على الشكل التالي:${\displaystyle g=(dt/T(x))^{2}-g_{space}}$أي أنه ثابت مع الزمن ولا توجد فيه حدود "حركة".${\displaystyle dxdt}$لإثبات ذلك، يمكن تطبيق نظرية نوثر على جسم يسقط سقوطًا حرًا في البئر من اللانهاية. عندئذٍ، يستلزم ثبات المقياس مع الزمن حفظ الكمية${\displaystyle g(v,dt)=v^{0}/T^{2}}$، أين${\displaystyle v^{0}}$هو المكون الزمني للسرعة الرباعية${\displaystyle v}$من الجسد. عند اللانهاية${\displaystyle g(v,dt)=1}$، لذا${\displaystyle v^{0}=T^{2}}$أو، في إحداثيات معدلة وفقًا لتمدد التوقيت المحلي،${\displaystyle v_{loc}^{0}=T}$أي أن تمدد الزمن الناتج عن السرعة المكتسبة (كما تم قياسها عند موضع الجسم الساقط) يساوي تمدد الزمن بفعل الجاذبية في البئر الذي سقط فيه الجسم. وبتطبيق هذه الحجة بشكل أعم، نجد أنه (بافتراضات مماثلة حول المقياس) فإن تمدد الزمن النسبي بفعل الجاذبية بين نقطتين يساوي تمدد الزمن الناتج عن السرعة اللازمة للصعود من النقطة الأدنى إلى النقطة الأعلى.

تم قياس تمدد الزمن بفعل الجاذبية تجريبياً باستخدام الساعات الذرية على متن الطائرات، كما في تجربة هافيل-كيتينغ . كانت الساعات على متن الطائرات أسرع قليلاً من الساعات على الأرض. وكان هذا التأثير كبيراً لدرجة استدعت تصحيح الساعات الذرية للأقمار الصناعية التابعة لنظام تحديد المواقع العالمي (GPS) بشكل دائم. ^{[ 13 ]}

بالإضافة إلى ذلك، تم التحقق تجريبياً في المختبر من تمدد الزمن الناتج عن اختلافات الارتفاع التي تقل عن متر واحد. ^{[ 14 ]}

وقد تم تأكيد تمدد الزمن الجاذبي في شكل انزياح أحمر جاذبي أيضًا من خلال تجربة باوند-ريبكا وملاحظات أطياف القزم الأبيض سيريوس ب .

تم قياس تمدد الزمن بفعل الجاذبية في تجارب باستخدام إشارات زمنية مرسلة من وإلى مركبة الهبوط على سطح المريخ فايكينغ 1. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• الزمكان المنحني
• فرضية الساعة
• الانزياح الأحمر الجاذبي
• تجربة هافيل-كيتينغ
• تمدد السرعة النسبية مع الزمن
• مفارقة التوأم
• إحداثيات مركزية زمنية

• جرون، أويفيند؛ نيس، آرني (2011). نظرية أينشتاين: مقدمة صارمة لغير المدربين رياضيا . سبرينغر. رقم ISBN 978-1-4614-0705-8.