معادلات فريدمان

الموسوعة الحرة

معادلات فريدمان ، والمعروفة أيضًا بمعادلات فريدمان -لوميتر ( FL ) ، هي مجموعة من المعادلات في علم الكونيات الفيزيائي ، تحكم التوسع الكوني في نماذج متجانسة ومتناحية للكون ضمن سياق النسبية العامة . وقد اشتقها ألكسندر فريدمان لأول مرة عام 1922 من معادلات أينشتاين للمجال الجاذبي لمقياس فريدمان - لوميتر-روبرتسون-ووكر ، ولسائل مثالي ذي كثافة كتلة ρ وضغط p محددين . [ 1 ] وقدّم فريدمان معادلات الانحناء المكاني السالب عام 1924. [ 2 ] تُسمى النماذج الفيزيائية المبنية على معادلات فريدمان بنماذج FRW أو FLRW، وهي تُشكّل النموذج القياسي لعلم الكونيات الحديث ، على الرغم من أن هذا الوصف يرتبط أيضًا بنموذج لامدا-CDM المُطوّر . تم تطوير نموذج FLRW بشكل مستقل من قبل المؤلفين المذكورين في عشرينيات وثلاثينيات القرن العشرين.

الافتراضات

تعتمد معادلات فريدمان على ثلاثة افتراضات: [ 3 ] : 22.1.3

  1. مقياس فريدمان -لوميتر-روبرتسون-ووكر ،
  2. معادلات أينشتاين للنسبية العامة ، و
  3. مصدر مثالي للسوائل .

يبدأ المقياس بدوره بافتراض مبسط مفاده أن الكون متجانس ومتساوي الخواص مكانيًا ، أي المبدأ الكوني ؛ تجريبيًا، يتم تبرير ذلك على نطاقات أكبر من رتبة 100 ميجا فرسخ فلكي .

يمكن كتابة المقياس على النحو التالي: [ 4 ] : ​​65ج2دτ2=ج2دت2-R2(ت)(در2+Sك2(ر)دψ2){\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-R^{2}(t)\left(dr^{2}+S_{k}^{2}(r)d\psi ^{2}\right)} أين S-1(ر)=سينه⁡(ر)،S0=1،S1=الخطيئة⁡(ر).{\displaystyle S_{-1}(r)=\sinh(r),S_{0}=1,S_{1}=\sin(r).} تُقابل هذه الاحتمالات الثلاثة المعامل k للفضاء المسطح (0) ، أو الكرة ذات الانحناء الموجب الثابت (+1)، أو الفضاء الزائدي ذي الانحناء السالب الثابت (−1) . وقد تم هنا تحليل الموضع القطري إلى عامل قياس يعتمد على الزمن.R(ت){\displaystyle R(t)}، وإحداثية متحركة معه،ر{\displaystyle r}يُسهم إدخال هذا المقياس في معادلات أينشتاين للمجال في ربط تطور عامل المقياس هذا بضغط وطاقة المادة في الكون. وباستخدام موتر الإجهاد والطاقة لسائل مثالي، تُوصف نتائج المعادلات أدناه. [ 4 ] : ​​73

المعادلات

توجد معادلتان مستقلتان لفريدمان لنمذجة كون متجانس ومتناحٍ. الأولى هي: [ 3 ]ح2≡(R˙R)2=8πجيρ3-كR2+Λ3،{\displaystyle H^{2}\equiv {\left({\frac {\dot {R}}{R}}\right)}^{2}={\frac {8\pi G\rho }{3}}-{\frac {k}{R^{2}}}+{\frac {\Lambda }{3}},}وثانياً: R¨R=Λ3-4πجي3(ρ+3ص).{\displaystyle {\frac {\ddot {R}}{R}}={\frac {\Lambda }{3}}-{\frac {4\pi G}{3}}\left(\rho +3p\right).}يُستخدم مصطلح معادلة فريدمان أحيانًا للإشارة إلى المعادلة الأولى فقط. [ 3 ] في هذه المعادلات، H هو معامل هابل، و R(t) هو عامل المقياس الكوني .جي{\displaystyle G}يمثل ثابت نيوتن للجاذبية ، وΛ هو الثابت الكوني ذو البعد الطولي - 2 ، وρ  هي كثافة الطاقة، و p هو الضغط المتساوي الخواص. k ثابت في جميع أنحاء المحلول المحدد، ولكنه قد يختلف من محلول لآخر. تُحدد الوحدات سرعة الضوء في الفراغ لتكون مساوية للواحد.

في المعادلات السابقة، R و ρ و p هي دوال للزمن. إذا تم تجاهل الثابت الكوني Λ ، فإن الحد-ك/R2{\displaystyle -k/R^{2}}يمكن تفسير معادلة فريدمان الأولى على أنها طاقة كلية نيوتنية، وبالتالي فإن تطور الكون يعتمد على طاقة الوضع الجاذبية.8πجيρ/3{\displaystyle 8\pi G\rho /3}ضد الطاقة الحركية،R˙/R{\displaystyle {\dot {R}}/R}يعتمد الفائز على قيمة k في الطاقة الكلية: إذا كانت k تساوي +1، فإن الجاذبية ستؤدي في النهاية إلى انكماش الكون. ستتغير هذه الاستنتاجات إذا لم تكن Λ تساوي صفرًا. [ 3 ]

باستخدام المعادلة الأولى، يمكن إعادة صياغة المعادلة الثانية على النحو التالي: [ 3 ]ρ˙=-3ح(ρ+صج2)،{\displaystyle {\dot {\rho }}=-3H\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right),} مما يلغي Λ . أو بدلاً من ذلك، قانون حفظ الكتلة والطاقة : تيαβ؛β=0{\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{;\beta }=0} ويؤدي إلى نفس النتيجة. [ 3 ]

الانحناء المكاني

تحتوي معادلة فريدمان الأولى على المعامل المنفصل k ، الذي تحدد قيمته شكل الكون:

في نموذج فريدمان، يتم تحديد الاختيار بين هذه الأشكال المختلفة من خلال مقارنة معدل التمدد والكثافة. يحدد معدل التمدد كثافة حرجة. ρج=3ح28πجي،{\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}},} أينح{\displaystyle H}هو معامل هابل وجي{\displaystyle G}هو ثابت الجاذبية. الكون عند الكثافة الحرجة يكون مسطحًا مكانيًا (ك=0{\displaystyle k=0}بينما تؤدي الكثافة الأعلى إلى كون مغلق، وتؤدي الكثافة الأقل إلى كون مفتوح. [ 4 ] : ​​73

عامل المقياس عديم الأبعاد

يمكن تعريف عامل قياس بلا أبعاد: أ(ت)≡R(ت)R0{\displaystyle a(t)\equiv {\frac {R(t)}{R_{0}}}} باستخدام القيمة الحالية R0=R(الآن).{\displaystyle R_{0}=R({\text{now}}).} يمكن كتابة معادلات فريدمان بدلالة عامل المقياس عديم الأبعاد هذا: ح2(ت)=(أ˙أ)2=8πجي3[ρ(ت)+ρج-ρ0أ2(ت)]{\displaystyle H^{2}(t)=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\left[\rho (t)+{\frac {\rho _{c}-\rho _{0}}{a^{2}(t)}}\right]} أينأ˙=دأ/دت{\displaystyle {\dot {a}}=da/dt}،ρج=3ح02/8πجي{\displaystyle \rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G}، وρ0=ρ(ت=الآن){\displaystyle \rho _{0}=\rho (t={\text{now}})}. [ 7 ] : 3

الكثافة الحرجة

قيمة كثافة الطاقة الكتلية هذه،ρ{\displaystyle \rho }وهذا يعطيك=0{\displaystyle k=0}متىΛ=0{\displaystyle \Lambda =0}تُسمى الكثافة الحرجة : ρج≡3ح28πجي.{\displaystyle \rho _{c}\equiv {\frac {3H^{2}}{8\pi G}}.} إذا كان الكون ذو كثافة أعلى،ρ≥ρج{\displaystyle \rho \geq \rho _{c}}عندئذٍ يُطلق عليه اسم "مغلق مكانيًا": في هذا التقريب البسيط، سينكمش الكون في نهاية المطاف. من ناحية أخرى، إذا كانت كثافته أقل،ρ≤ρج{\displaystyle \rho \leq \rho _{c}}ثم يُطلق عليه اسم "مفتوح مكانيًا" ويتوسع إلى ما لا نهاية. لذلك، ترتبط هندسة الكون ارتباطًا مباشرًا بكثافته. [ 4 ] : ​​73

معامل الكثافة

يُعرَّف معامل الكثافة Ω بأنه نسبة الكثافة الفعلية (أو المرصودة) ρ إلى الكثافة الحرجة ρc لكون فريدمان: [ 4 ] : ​​74Ω:=ρρج=8πجيρ3ح2.{\displaystyle \Omega :={\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G\rho }{3H^{2}}}.} كلتا الكثافتينρ(ت){\displaystyle \rho (t)}ومعامل هابلح(ت){\displaystyle H(t)}يعتمد على الزمن، وبالتالي يتغير معامل الكثافة مع الزمن. [ 4 ] : ​​74

تبلغ الكثافة الحرجة ما يعادل خمس ذرات (من الهيدروجين أحادي الذرة ) لكل متر مكعب تقريبًا، بينما يُعتقد أن متوسط ​​كثافة المادة العادية في الكون يتراوح بين 0.2 و0.25 ذرة لكل متر مكعب. [ 8 ] [ 9 ]

التوزيع النسبي المُقدَّر لمكونات كثافة طاقة الكون. تُهيمن الطاقة المظلمة على إجمالي الطاقة (74%)، بينما تُشكِّل المادة المظلمة (22%) معظم الكتلة. من المادة الباريونية المتبقية (4%)، عُشرها فقط مُضغوط. في فبراير 2015، نشر فريق البحث الأوروبي القائم على مسبار بلانك الكوني بيانات جديدة تُحسِّن هذه القيم إلى 4.9% مادة عادية، و25.9% مادة مظلمة، و69.1% طاقة مظلمة.

تأتي كثافة أكبر بكثير من المادة المظلمة غير المحددة ، على الرغم من أن كلاً من المادة العادية والمادة المظلمة تساهمان في انكماش الكون. مع ذلك، فإن الجزء الأكبر يأتي مما يُسمى بالطاقة المظلمة ، والتي تُفسر ثابت الكون. على الرغم من أن الكثافة الكلية تساوي الكثافة الحرجة (بدقة، ضمن هامش خطأ القياس)، فإن الطاقة المظلمة لا تؤدي إلى انكماش الكون، بل قد تُسرّع من تمدده.

يُمكن إيجاد تعبير للكثافة الحرجة بافتراض أن Λ تساوي صفرًا (كما هو الحال في جميع أكوان فريدمان الأساسية) ومساواة الانحناء المكاني المعياري، k ، بالصفر. عند تطبيق هذه التعويضات على معادلة فريدمان الأولى، نحصل على:ح0{\displaystyle H_{0}}القيمة التي وجدناها: [ 10 ]ρ=3ح028πجي≈1.10×10-26كزم-3≈1.88×10-26ح2كزم-3≈2.78×1011ح2م⊙مصج-3{\displaystyle {\begin{aligned}\rho ={\frac {3H_{0}^{2}}{8\pi G}}&\approx 1.10\times 10^{-26}\mathrm {kg\,m^{-3}} \\&\approx 1.88\times 10^{-26}h^{2}\,{\rm {kg}}\,{\rm {m}}^{-3}\\&\approx 2.78\times 10^{11}h^{2}M_{\odot }\,{\rm {Mpc}}^{-3}\end{aligned}}} أين:

  • ح0=76.5±2.2كمs-1مصج-1≈2.48×10-18s-1{\textstyle H_{0}=76.5\pm 2.2\,\mathrm {km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}} \approx 2.48\times 10^{-18}\mathrm {s^{-1}} }
  • ح=ح0100(كم/s)/مصج{\textstyle h={\frac {H_{0}}{100\,\mathrm {(km/s)/Mpc} }}}
  • ρج=8.5×10-27كز/م3{\displaystyle \rho _{c}=8.5\times 10^{-27}\mathrm {kg/m^{3}} }

بالنظر إلى قيمة الطاقة المظلمة التي ينبغي أن تكونΩΛ=0.647{\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0.647} استُخدم هذا المصطلح في الأصل كوسيلة لتحديد الهندسة المكانية للكون، حيث ρc هي الكثافة الحرجة التي تكون عندها الهندسة المكانية مسطحة (أو إقليدية). بافتراض انعدام كثافة طاقة الفراغ، إذا كانت Ω أكبر من واحد، فإن أقسام الكون المكانية تكون مغلقة؛ سيتوقف الكون في النهاية عن التوسع، ثم ينهار. أما إذا كانت Ω أقل من واحد، فإنها تكون مفتوحة؛ ويتوسع الكون إلى الأبد. مع ذلك، يمكن أيضًا دمج مصطلحي انحناء الفضاء وطاقة الفراغ في تعبير أكثر عمومية لـ Ω، وفي هذه الحالة يساوي معامل الكثافة هذا واحدًا بالضبط. عندها يصبح الأمر متعلقًا بقياس المكونات المختلفة، والتي يُشار إليها عادةً برموز سفلية. وفقًا لنموذج ΛCDM ، توجد مكونات مهمة لـ Ω ناتجة عن الباريونات والمادة المظلمة الباردة والطاقة المظلمة . وقد قاس مسبار WMAP الهندسة المكانية للكون ووجدها مسطحة تقريبًا. هذا يعني أنه يمكن تقريب الكون جيدًا بنموذج يكون فيه معامل انحناء الفضاء k يساوي صفرًا. ومع ذلك، فإن هذا لا يعني بالضرورة أن الكون لانهائي: قد يكون الأمر ببساطة أن الكون أكبر بكثير من الجزء الذي نراه.

غالباً ما يُنظر إلى معادلة فريدمان الأولى من حيث القيم الحالية لمعاملات الكثافة، أي [ 11 ]ح2ح02=Ω0،Rأ-4+Ω0،مأ-3+Ω0،كأ-2+Ω0،Λ.{\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{0,\mathrm {R} }a^{-4}+\Omega _{0,\mathrm {M} }a^{-3}+\Omega _{0,k}a^{-2}+\Omega _{0,\Lambda }.} هنا Ω 0,R هي كثافة الإشعاع اليوم (عندما a = 1 )، و Ω 0,M هي كثافة المادة ( المظلمة بالإضافة إلى الباريونية ) اليوم، و Ω 0, k = 1 − Ω 0 هي "كثافة الانحناء المكاني" اليوم، و Ω 0,Λ هي الثابت الكوني أو كثافة الفراغ اليوم.

أشكال أخرى

يمكن أن يتغير معامل هابل بمرور الوقت إذا كانت أجزاء أخرى من المعادلة تعتمد على الزمن (وخاصة كثافة الكتلة، أو طاقة الفراغ، أو انحناء الفضاء). يُعطي تقييم معامل هابل في الوقت الحاضر ثابت هابل، وهو ثابت التناسب لقانون هابل . وبتطبيق معادلات فريدمان على سائل ذي معادلة حالة معينة ، فإنها تُعطي تطور الكون وهندسته مع الزمن كدالة لكثافة السائل.

موديلات FLRW

تُسمى نماذج علم الكونيات النسبية القائمة على مقياس FLRW والتي تخضع لمعادلات فريدمان بنماذج FRW . [ 4 ] : ​​73 وقد أظهرت الملاحظة المباشرة للنجوم أن سرعاتها يهيمن عليها التراجع القطري، مما يؤكد صحة هذه الافتراضات للنماذج الكونية. [ 4 ] : ​​65 وتُعد هذه النماذج أساس النموذج القياسي [ 12 ] لنظرية الانفجار العظيم الكونية، بما في ذلك نموذج ΛCDM الحالي . [ 3 ] : 25.1.3

لتطبيق المقياس على علم الكونيات والتنبؤ بتطوره الزمني عبر عامل المقياسأ(ت){\displaystyle a(t)}يتطلب ذلك معادلات أينشتاين للمجال بالإضافة إلى طريقة لحساب الكثافة،ρ(ت)،{\displaystyle \rho (t),}مثل معادلة الحالة الكونية . تسمح هذه العملية بإيجاد حل تحليلي تقريبي لمعادلات أينشتاين للمجال.جيμν+Λزμν=κتيμν{\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}تُعطي معادلات فريدمان عندما يُفترض أن موتر الطاقة-الزخم متجانس ومتناحٍ. المعادلات الناتجة هي: [ 13 ](أ˙أ)2+كج2أ2-Λج23=κج43ρ2أ¨أ+(أ˙أ)2+كج2أ2-Λج2=-κج2ص.{\displaystyle {\begin{aligned}{\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)}^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}&={\frac {\kappa c^{4}}{3}}\rho \\[4pt]2{\frac {\ddot {a}}{a}}+{\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)}^{2}+{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}-\Lambda c^{2}&=-\kappa c^{2}p.\end{aligned}}}

نظرًا لأن نموذج FLRW يفترض التجانس، فإن بعض التفسيرات الشائعة تزعم خطأً أن نموذج الانفجار العظيم لا يمكنه تفسير التكتلات الملحوظة في الكون. في نموذج FLRW الدقيق، لا توجد تجمعات للمجرات أو النجوم، لأنها أجسام أكثر كثافة بكثير من أي جزء نموذجي من الكون. ومع ذلك، يُستخدم نموذج FLRW كتقريب أولي لتطور الكون الحقيقي غير المنتظم نظرًا لسهولة حسابه، وتُضاف نماذج أخرى لحساب هذه التكتلات إلى نماذج FLRW كامتدادات لها. يتفق معظم علماء الكونيات على أن الكون المرئي يُقارب نموذج FLRW تقريبًا ، أي نموذج يتبع مقياس FLRW باستثناء تقلبات الكثافة البدائية . اعتبارًا من عام 2003، يبدو أن الآثار النظرية للتوسعات المختلفة لنموذج FLRW مفهومة جيدًا، والهدف هو جعلها متسقة مع الملاحظات من COBE و WMAP .

تفسير

إن زوج المعادلات المذكور أعلاه يكافئ زوج المعادلات التالي ρ˙=-3أ˙أ(ρ+صج2)أ¨أ=-κج46(ρ+3صج2)+Λج23{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\rho }}&=-3{\frac {\dot {a}}{a}}\left(\rho +{\frac {p}{c^{2}}}\right)\\[1ex]{\frac {\ddot {a}}{a}}&=-{\frac {\kappa c^{4}}{6}}\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)+{\frac {\Lambda c^{2}}{3}}\end{aligned}}} معك{\displaystyle k}، مؤشر الانحناء المكاني، الذي يعمل كثابت تكامل للمعادلة الأولى.

يمكن اشتقاق المعادلة الأولى أيضًا من الاعتبارات الديناميكية الحرارية وهي تعادل القانون الأول للديناميكا الحرارية ، بافتراض أن تمدد الكون هو عملية كظيمة (وهو ما يُفترض ضمنيًا في اشتقاق مقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر).

تنص المعادلة الثانية على أن كلاً من كثافة الطاقة والضغط يتسببان في معدل تمدد الكونأ˙{\displaystyle {\dot {a}}}يؤدي انخفاض الضغط، أي أن كليهما يُسبب تباطؤًا في تمدد الكون. وهذا نتيجة للجاذبية ، حيث يلعب الضغط دورًا مشابهًا لدور كثافة الطاقة (أو الكتلة)، وفقًا لمبادئ النسبية العامة . أما الثابت الكوني ، من ناحية أخرى، فيُسبب تسارعًا في تمدد الكون.

الثابت الكوني

يمكن حذف مصطلح الثابت الكوني إذا أجرينا الاستبدالات التالية ρ→ρ-Λκج2،ص→ص+Λκ.{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &\to \rho -{\frac {\Lambda }{\kappa c^{2}}},&p&\to p+{\frac {\Lambda }{\kappa }}.\end{aligned}}}

لذلك، يمكن تفسير الثابت الكوني على أنه ناتج عن شكل من أشكال الطاقة ذات ضغط سلبي، يساوي في مقداره كثافة الطاقة الكتلية (الإيجابية): ص=-ρج2،{\displaystyle p=-\rho c^{2}\,,} وهي معادلة حالة الفراغ مع الطاقة المظلمة .

محاولة لتعميم هذا على ص=wρج2{\displaystyle p=w\rho c^{2}} لن يكون له ثبات عام دون تعديل إضافي.

في الواقع، للحصول على حدٍّ يُسبِّب تسارعًا في تمدد الكون، يكفي وجود حقل قياسي يُحقِّق الشرط التالي: ص<-ρج23.{\displaystyle p<-{\frac {\rho c^{2}}{3}}.} يُطلق على هذا المجال أحيانًا اسم الجوهر .

نماذج الغبار

ضبط ضغط المائع المثالي في معادلات فريدمان إلى الصفر (ص=0{\displaystyle p=0}يُقدّم نموذجًا كونيًا للغبار . [ 14 ] : 231

نظير نيوتني

في عام 1934، أظهر مكريا وميلن [ 15 ] أنه يمكن اشتقاق معادلات فريدمان في حالة المائع عديم الضغط باستخدام الديناميكا النيوتونية غير النسبية. [ 14 ] : 231-أ3ρ˙=3أ2أ˙ρ+3أ2صأ˙ج2أ˙22-κج4أ3ρ6أ=-كج22.{\displaystyle {\begin{aligned}-a^{3}{\dot {\rho }}=3a^{2}{\dot {a}}\rho +{\frac {3a^{2}p{\dot {a}}}{c^{2}}}\,\\[1ex]{\frac {{\dot {a}}^{2}}{2}}-{\frac {\kappa c^{4}a^{3}\rho }{6a}}=-{\frac {kc^{2}}{2}}\,.\end{aligned}}}

تنص المعادلة الأولى على أن النقص في الكتلة الموجودة داخل مكعب ثابت (طول ضلعه لحظيًا a ) يساوي مقدار الكتلة الخارجة من جوانبه نتيجة لتمدد الكون، بالإضافة إلى الكتلة المكافئة للشغل المبذول بفعل الضغط على المادة الخارجة. هذا هو قانون حفظ الكتلة والطاقة ( القانون الأول للديناميكا الحرارية ) الموجود داخل جزء من الكون.

تنص المعادلة الثانية على أن الطاقة الحركية (من منظور نقطة الأصل) لجسيم ذي كتلة وحدة يتحرك مع التمدد، بالإضافة إلى طاقة وضعه التثاقلية (السالبة) (بالنسبة للكتلة الموجودة في كرة المادة الأقرب إلى نقطة الأصل)، تساوي ثابتًا مرتبطًا بانحناء الكون. بعبارة أخرى، طاقة الجسيم المتحرك سقوطًا حرًا (بالنسبة إلى نقطة الأصل) محفوظة. تضيف النسبية العامة ببساطة صلة بين انحناء الكون المكاني وطاقة هذا الجسيم: الطاقة الكلية الموجبة تعني انحناءً سالبًا، والطاقة الكلية السالبة تعني انحناءً موجبًا.

حلول مفيدة

يمكن حل معادلات فريدمان بدقة في وجود سائل مثالي ذي معادلة حالة ص=wρج2،{\displaystyle p=w\rho c^{2},} حيث p هو الضغط ، وρ هي كثافة كتلة السائل في الإطار المتحرك، و w هو ثابت ما.

في حالة السطح المستوي ( k = 0 )، يكون حل عامل المقياس هو أ(ت)=أ0ت23(w+1){\displaystyle a(t)=a_{0}\,t^{\frac {2}{3(w+1)}}} حيث يُمثل a₀ ثابت تكامل يُحدد باختيار الشروط الابتدائية. تُعدّ هذه المجموعة من الحلول، المُشار إليها بـ w، بالغة الأهمية في علم الكونيات. على سبيل المثال، يصف w = 0 كونًا تهيمن عليه المادة، حيث يكون الضغط ضئيلاً مقارنةً بكثافة الكتلة. من الحل العام، يُمكن ملاحظة أن عامل المقياس في كون تهيمن عليه المادة يتناسب مع أ(ت)∝ت2/3المادة المهيمنة{\displaystyle a(t)\propto t^{2/3}\qquad {\text{matter-dominated}}}

ومن الأمثلة المهمة الأخرى حالة الكون الذي يهيمن عليه الإشعاع ، وتحديدًا عندما تكون قيمة w تساوي 1/3 . وهذا يؤدي إلى أ(ت)∝ت1/2يهيمن عليه الإشعاع{\displaystyle a(t)\propto t^{1/2}\qquad {\text{radiation-dominated}}}

تجدر الإشارة إلى أن هذا الحل غير صالح في حالة سيطرة الثابت الكوني، والتي تتوافق مع قيمة w = −1 . في هذه الحالة، تكون كثافة الطاقة ثابتة ويتزايد عامل المقياس بشكل أُسّي.

يمكن إيجاد حلول لقيم أخرى لـ k في كتاب تيرسيك، بالسا. "محاضرات في الفيزياء الفلكية" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 فبراير 2022 .

المخاليط

إذا كانت المادة عبارة عن خليط من سائلين أو أكثر غير متفاعلين، ولكل منهما معادلة حالة من هذا القبيل، فإن ρ˙و=-3ح(ρو+صوج2){\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+{\frac {p_{f}}{c^{2}}}\right)} ينطبق هذا بشكل منفصل على كل سائل من هذه السوائل f . في كل حالة، ρ˙و=-3ح(ρو+wوρو){\displaystyle {\dot {\rho }}_{f}=-3H\left(\rho _{f}+w_{f}\rho _{f}\right)\,} ومنها نحصل على ρو∝أ-3(1+wو).{\displaystyle {\rho }_{f}\propto a^{-3\left(1+w_{f}\right)}\,.}

على سبيل المثال، يمكن للمرء تكوين توليفة خطية من هذه الحدود ρ=أأ-3+بأ-4+جأ0{\displaystyle \rho =Aa^{-3}+Ba^{-4}+Ca^{0}\,} حيث A هي كثافة "الغبار" (المادة العادية، w = 0 ) عندما a = 1 ؛ وB هي كثافة الإشعاع ( w = 1/3 ) عندما a = 1 ؛ و C هي كثافة "الطاقة المظلمة" ( w = -1 ). ثم يتم التعويض بهذه القيم في(أ˙أ)2=8πجي3ρ-كج2أ2{\displaystyle \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}} ويحل المعادلة لإيجاد قيمة a كدالة للزمن.

تاريخ

ألكسندر فريدمان

نشر فريدمان بحثين في علم الكونيات خلال الفترة 1922-1923. وقد اعتمد نفس افتراضات التجانس والتناظر التي استخدمها ألبرت أينشتاين وويليم دي سيتر في بحثيهما المنشورين عام 1917. وافترض كلا العملين السابقين أيضًا أن الكون ثابت، لا يتغير أبدًا. وقد افترض أينشتاين حدًا إضافيًا لمعادلات النسبية العامة لضمان هذا الاستقرار. وفي بحثه، بيّن دي سيتر أن الزمكان له انحناء حتى في غياب المادة: وقد أشارت المعادلات الجديدة للنسبية العامة إلى أن الفراغ له خصائص تُغير الزمكان. [ 16 ] : 152

كان افتراض سكون الكون فرضية أساسية في الفلسفة والعلوم. إلا أن فريدمان تخلى عن هذه الفكرة في بحثه الأول "حول انحناء الزمكان". انطلاقًا من معادلات أينشتاين العشر للنسبية، طبق فريدمان تناظر الكون المتجانس ونموذجًا بسيطًا لكثافة الكتلة والطاقة لاستنتاج علاقة بين هذه الكثافة وانحناء الزمكان. وقد أثبت أنه بالإضافة إلى الحل الساكن الوحيد، توجد حلول عديدة تعتمد على الزمن. [ 16 ] : 157

استكشفت ورقة فريدمان الثانية، "حول إمكانية وجود عالم ذي انحناء سالب ثابت"، المنشورة عام 1924، أفكارًا هندسية أكثر تعقيدًا. أرست هذه الورقة فكرة أن محدودية الزمكان ليست خاصية يمكن إثباتها بالاعتماد على معادلات النسبية العامة وحدها، بل يمكن استخدام كل من الهندسات المحدودة وغير المحدودة لإيجاد حلول. استخدم فريدمان مفهومين للكرة ثلاثية الأبعاد كمثال: رحلة على خط عرض ثابت يمكن أن تعود إلى نقطة البداية، أو قد تحتوي الكرة على عدد لا نهائي من الطبقات، وبالتالي لا تتكرر الرحلة أبدًا. [ 16 ] : 167

تم تجاهل أبحاث فريدمان إلى حد كبير، باستثناء آينشتاين في البداية الذي رفضها رفضًا قاطعًا. ولكن بمجرد أن نشر إدوين هابل أدلة فلكية على توسع الكون ، اقتنع آينشتاين. وبشكل مستقل عن فريدمان، اكتشف جورج لومتر بعض جوانب الحلول نفسها، وكتب بأسلوب مقنع عن مفهوم نشأة الكون من "ذرة بدائية". يُنسب الفضل إلى لومتر في مفهوم الانفجار العظيم، لكن أفكار فريدمان كانت أعمق وأكثر تأثيرًا على العلماء في نهاية المطاف. [ 17 ]

حمل العديد من طلاب جامعة تسينغهوا ( الجامعة الأم لزعيم الحزب الشيوعي الصيني شي جين بينغ ) المشاركين في احتجاجات كوفيد-19 في الصين عام 2022 لافتات كُتبت عليها معادلات فريدمان، والتي فسرها البعض على أنها تورية لعبارة "الرجل الحر". [ 18 ] [ 19 ] بينما فسر آخرون استخدام هذه المعادلات على أنه دعوة إلى "فتح" الصين والتخلي عن سياستها "صفر كوفيد"، حيث ترتبط معادلات فريدمان بتوسع الكون أو "انفتاحه".

انظر أيضاً

مصادر

  1. ^ فريدمان ، أ (29 مايو 1922). "Über die Krümmung des Raumes" (PDF) . Z. فيز. (باللغة الألمانية). 10 (1). بتروغراد : Springer-Verlag GmbH & Co. KG : 377– 386. بيب كود : 1922ZPhy...10..377F . دوى : 10.1007/BF01332580 . S2CID 125190902 - عبر مايكل كاتشيلريس: جامعة Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet . (الترجمة الإنجليزية: فريدمان، أ. (1999). "حول انحناء الفضاء". النسبية العامة والجاذبية . 31 (12). ترجمة: ف. ر. إليس؛ هـ. فان إلست. سبرينغر-فيرلاغ جي إم بي إتش وشركاه كي جي : 1991-2000 . رمز Bibcode : 1999GReGr..31.1991F . doi : 10.1023/A:1026751225741 . S2CID 122950995. ) ). تم حفظ المخطوطة الروسية الأصلية لهذه الورقة في أرشيف إهرنفست .
  2. ^ فريدمان، أ (1924). "Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter Negativer Krümmung des Raumes". Z. فيز. (باللغة الألمانية). 21 (1): 326– 332. بيب كود : 1924ZPhy...21..326F . دوى : 10.1007/BF01328280 . S2CID 120551579 .  (الترجمة الإنجليزية: فريدمان، أ. (1999). "حول إمكانية وجود عالم ذي انحناء سلبي ثابت للفضاء". النسبية العامة والجاذبية . 31 (12): 2001-2008 . Bibcode : 1999GReGr..31.2001F . doi : 10.1023/A:1026755309811 . S2CID 123512351. ) )
  3. 1 2 3 4 5 6 7 نافاس، س.؛ وآخرون ( مجموعة بيانات الجسيمات ) (2024). "مراجعة فيزياء الجسيمات". مجلة Physical Review D. 110 ( 3): 1-708 . doi : 10.1103/PhysRevD.110.030001 . hdl : 20.500.11850/695340 . 22.1.3 معادلات فريدمان للحركة
  4. 1 2 3 4 5 6 7 8 بيكوك، جيه إيه (28-12-1998). الفيزياء الكونية ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9780511804533 . ISBN  978-0-521-41072-4.
  5. 1 2 3 د'إنفيرنو، راي (2008). مدخل إلى نظرية النسبية لأينشتاين (طبعة مُعاد طباعتها ). أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN  978-0-19-859686-8.
  6. 1 2 3 جون أ. بيكوك (1999). "3. الكون المتجانس 3.1 مقياس روبرتسون-ووكر" . الفيزياء الكونية . مطبعة جامعة كامبريدج : ناسا / قاعدة بيانات إيباك للمجرات الخارجية - معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا .أُرشف بتاريخ 8 سبتمبر 2025 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
  7. ↑ دودلسون، سكوت (2003). علم الكونيات الحديث . سان دييغو، كاليفورنيا: أكاديميك برس. ISBN 978-0-12-219141-1.
  8. ↑ ريس، مارتن (2001). ستة أرقام فقط: القوى العميقة التي تشكل الكون . علم الفلك/العلوم (طبعة مُعاد طباعتها). نيويورك، نيويورك: بيسيك بوكس. ISBN  978-0-465-03673-8.
  9. ↑ "الكون 101" . ناسا . تم الاسترجاع في 9 سبتمبر 2015. الكثافة الفعلية للذرات تعادل تقريبًا بروتونًا واحدًا لكل 4 أمتار مكعبة .
  10. ↑ سكولنيك، دانيال ؛ ريس، آدم ج.؛ موراكامي، يوكي س.؛ بيترسون، إريك ر.؛ براوت، ديلون؛ أسيفيدو، ماريا؛ كاريريس، باستيان؛ جونز، ديفيد أ.؛ سعيد، خالد؛ هاوليت، كولان؛ أناند، غاغانديب س. (15 يناير 2025). "توتر هابل في فنائنا الخلفي: DESI وقرب عنقود كوما" . رسائل المجلة الفيزيائية الفلكية . 979 (1): L9. arXiv : 2409.14546 . Bibcode : 2025ApJ...979L...9S . doi : 10.3847/2041-8213/ada0bd . ISSN 2041-8205 . 
  11. ↑ نيميروف، روبرت ج .؛ باتلا، بيجوناث (2008). "مغامرات في علم الكونيات لفريدمان: توسيع مفصل لمعادلات فريدمان الكونية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 76 (3): 265-276 . arXiv : astro-ph/0703739 . Bibcode : 2008AmJPh..76..265N . doi : 10.1119/1.2830536 . S2CID 51782808 . 
  12. ↑ بيرغستروم، لارس؛ غوبار، أرييل (2008). علم الكونيات وفيزياء الجسيمات الفلكية . كتب سبرينغر براكسيس في علم الفلك وعلوم الكواكب (الطبعة الثانية، طبعة معاد طباعتها ). تشيتشستر، المملكة المتحدة: براكسيس للنشر. ص 61. ISBN   978-3-540-32924-4.
  13. ↑ روسو، إتش سي؛ أوجيدا-ماي، بي. (يونيو 2006). "التناظر الفائق لنماذج الكون الباروتروبية لـ FRW". المجلة الدولية للفيزياء النظرية . 45 (6): 1152-1157 . arXiv : gr-qc/0510004 . Bibcode : 2006IJTP...45.1152R . doi : 10.1007/s10773-006-9123-2 . ISSN 0020-7748 . S2CID 119496918 .  
  14. 1 2 لونغ إير، مالكولم س. (2023). تكوين المجرات . مكتبة علم الفلك والفيزياء الفلكية. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. doi : 10.1007/978-3-662-65891-8 . ISBN 978-3-662-65890-1.
  15. ↑ مكريا، دبليو إتش؛ ميلن، إي إيه (1934). "الأكوان النيوتونية وانحناء الفضاء". المجلة الفصلية للرياضيات . 5 : 73-80 . Bibcode : 1934QJMat...5...73M . doi : 10.1093/qmath/os-5.1.73 .
  16. 1 2 3 تروب، إدوارد أ.؛ فرينكل، فيكتور يا.؛ تشيرنين، أرتور د. (1993-06-03). ألكسندر أ. فريدمان: الرجل الذي جعل الكون يتوسع . ترجمة: درون، ألكسندر؛ بوروف، مايكل ( الطبعة الأولى). مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9780511608131 . ISBN  978-0-521-38470-4.
  17. ↑ بيلينكي، آري (2012-10-01). "ألكسندر فريدمان وأصول علم الكونيات الحديث" . مجلة الفيزياء اليوم . 65 (10): 38-43 . Bibcode : 2012PhT....65j..38B . doi : 10.1063/PT.3.1750 . ISSN 0031-9228 . من الواضح أن فريدمان، في تمهيده لنظرية الانفجار العظيم، قد تجاوز بكثير أسلافه أو خلفائه الأوائل مثل لومتر. 
  18. ↑ مورفي، مات (28 نوفمبر 2022). "احتجاجات الصين: الورقة البيضاء تصبح رمزاً للمظاهرات النادرة" . بي بي سي نيوز .
  19. ↑ سوليفان، هيلين (29 نوفمبر 2022). "الورقة البيضاء، والمعادلات، والألبكة: رموز احتجاجات الصين ضد كوفيد-19" . صحيفة الغارديان . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0261-3077 . تاريخ الاسترجاع: 24 أبريل 2026 . 

للمزيد من القراءة

  • ليبشر، ديرك إيكهارد (2005). "توسع" . علم الكونيات . برلين: سبرينغر. ص 53 – 77. ISBN  3-540-23261-3.