رقم سيربينسكي

في نظرية الأعداد ، عدد سيربينسكي هو عدد طبيعي فردي k بحيث${\displaystyle k\times 2^{n}+1}$يكون عدداً مركباً لجميع الأعداد الطبيعية n . في عام 1960، أثبت واكلاف سيربينسكي أن هناك عدداً لا نهائياً من الأعداد الفردية k التي تتمتع بهذه الخاصية.

بمعنى آخر، عندما يكون k عددًا من أعداد سيربينسكي، فإن جميع عناصر المجموعة التالية تكون مركبة:

${\displaystyle \left\{\,k\cdot 2^{n}+1:n\in \mathbb {N} \,\right\}.}$

أما إذا كان النموذج بدلاً من ذلك${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$إذن، k هو عدد ريزل .

تبدأ سلسلة أرقام سيربينسكي المعروفة حاليًا بما يلي:

78557، 271129، 271577، 322523، 327739، 482719، 575041، 603713، 903983، 934909، 965431، 1259779، 1290677، 1518781، 1624097، 1639459، 1777613، 2131043، 2131099، 2191531، 2510177، 2541601، 2576089، 2931767، 2931991، ... (التسلسل A076336 في OEIS ) .

أثبت جون سيلفريدج في عام 1962 أن العدد 78557 هو عدد سيربينسكي، حيث بيّن أن جميع الأعداد التي تأخذ الصيغة 78557⋅2n ⁺ 1 لها عامل في المجموعة المغطية {3، 5، 7، 13، 19، 37، 73 }. أما بالنسبة لعدد سيربينسكي آخر معروف، وهو 271129، فإن المجموعة المغطية له هي {3، 5، 7، 13، 17، 241 }. تمتلك معظم أعداد سيربينسكي المعروفة حاليًا مجموعات تغطية مماثلة. ^{[ 1 ]}

مع ذلك، في عام ١٩٩٥ ، أثبت أ. س. إيزوتوف أنه يمكن إثبات أن بعض القوى الرابعة هي أعداد سيربينسكي دون الحاجة إلى تحديد مجموعة تغطية لجميع قيم n. يعتمد برهانه على تحليل أوريفويل: t⁴ ⋅²⁴m⁺² + 1 = (t² ⋅²⁲m⁺¹ ⁺ t² ^{⋅²⁲m⁺¹ +} 1) ⋅ (t² ⋅²⁲m⁺¹ - t² ⋅²⁲m⁺¹ + 1 ) . يثبت ^{هذا أن جميع} قيم n ^{≡ 2 (} mod ^{4 )} تُنتج عددًا مركبًا ، ^{وبالتالي يبقى استبعاد} n ≡ 0 ، 1 ، 3 ( ^{mod 4} ) فقط باستخدام مجموعة تغطية. ^{[ ٢ ]}

تُطرح مسألة سيربينسكي لإيجاد قيمة أصغر عدد سيربينسكي. في مراسلات خاصة مع بول إيردوس ، افترض سيلفريدج أن 78557 هو أصغر عدد سيربينسكي. ^{[ 3 ]} لم يتم اكتشاف أعداد سيربينسكي أصغر، ويُعتقد الآن أن 78557 هو أصغر عدد. ^{[ 4 ]}

لإثبات أن 78557 هو بالفعل أصغر عدد سيربينسكي، يجب إثبات أن جميع الأعداد الفردية الأصغر من 78557 ليست أعداد سيربينسكي. أي، لكل عدد فردي k أقل من 78557، يجب أن يوجد عدد صحيح موجب n بحيث يكون k² / ⁽ⁿ + 1) عددًا أوليًا. ^{[ 1 ]} يحاول مشروع الحوسبة التطوعية الموزعة PrimeGrid استبعاد جميع القيم المتبقية لـ k . ^{[ 5 ]}

k = 21181، 22699، 24737، 55459، و 67607.

يمكن الاطلاع على الحالة الحالية للمضاعفات المتبقية على موقع PrimeGrid الإلكتروني. ^{[ 6 ]}

في عام 1976، حدد ناثان مندلسون أن العدد الأولي 271129 هو عدد سيربينسكي. وهو ثاني أصغر عدد سيربينسكي معروف، وأصغر عدد سيربينسكي أولي معروف، ولكن من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد أخرى أصغر منه. تُطرح مسألة سيربينسكي الأولية للبحث عن قيمة أصغر عدد سيربينسكي أولي ، وهناك بحث مستمر بعنوان "بحث سيربينسكي الأولي" يسعى لإثبات أن 271129 هو أول عدد سيربينسكي أولي. ^{[ 7 ]}

لنفترض أن 78557 هو أصغر عدد سيربينسكي، وأن 271129 هو أصغر عدد سيربينسكي أولي. هذا يعني أن العدد الثاني لسيربينسكي غير معروف: إذ قد يوجد عدد سيربينسكي مركب بين 78557 و271129. ويجري حاليًا بحثٌ لإثبات أن 271129 هو العدد الثاني لسيربينسكي، وذلك باختبار جميع الأعداد الصحيحة في هذا النطاق، سواءً كانت أولية أم لا. ^{[ 8 ]}

العدد الذي يُمثل كلاً من معيارَي سيربينسكي وريزل يُسمى عدد برييه (نسبةً إلى إريك برييه ). أصغر خمسة أمثلة معروفة هي: 3316923598096294713661، و10439679896374780276373، و11615103277955704975673، و12607110588854501953787، و17855036657007596110949 ( A076335 ). من غير المعروف ما إذا كانت هناك أعداد برييه أخرى أصغر من هذه (أي أنها قد لا تكون أصغر خمسة أعداد). ^{[ 9 ]}

• رقم كولين
• رقم البروث
• رقم وودال

• جاي، ريتشارد ك. (2004)، مسائل غير محلولة في نظرية الأعداد ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص  120، ISBN 0-387-20860-7

• مشكلة سيربينسكي: التعريف والوضع
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية سيربينسكي للأعداد المركبة" . عالم الرياضيات .
• مؤرشف في أرشيف الأشباحوآلة Waybackغرايم ، د. جيمس (13 نوفمبر 2017). "78557 وأعداد بروث الأولية" (فيديو) . يوتيوب . برادي هاران . تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 نوفمبر 2017 .