حلقة سيجما

في الرياضيات ، تسمى مجموعة غير فارغة من المجموعات حلقة 𝜎 (تنطق سيجما-رينغ ) إذا كانت مغلقة تحت الاتحاد القابل للعد والتكمل النسبي .

يترك${\displaystyle {\mathcal {R}}}$لتكن مجموعة غير فارغة من المجموعات . إذن${\displaystyle {\mathcal {R}}}$تكون حلقة 𝜎 إذا:

1. مغلق في ظل النقابات القابلة للعد :${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$لو${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. مغلق تحت المكمل النسبي :${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$لو${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

هاتان الخاصيتان تعنيان ما يلي: $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$ حينما${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$هي عناصر من${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

وذلك لأن $${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right).}$$

كل حلقة 𝜎 هي حلقة δ ولكن توجد حلقات δ ليست حلقات 𝜎 .

إذا تم إضعاف الخاصية الأولى إلى حالة الإغلاق تحت الاتحاد المحدود (أي،${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$حينما${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$) ولكن ليس اتحادًا قابلاً للعد، إذن${\displaystyle {\mathcal {R}}}$هو حلقة ولكنه ليس حلقة من نوع 𝜎 .

يمكن استخدام حلقات 𝜎 بدلاً من حقول 𝜎 ( جبر 𝜎 ) في تطوير نظرية القياس والتكامل ، إذا لم يُرغب في اشتراط أن تكون المجموعة الشاملة قابلة للقياس. كل حقل 𝜎 هو أيضاً حلقة 𝜎 ، ولكن ليس بالضرورة أن تكون حلقة 𝜎 حقلاً 𝜎 .

خاتم 𝜎​${\displaystyle {\mathcal {R}}}$وهي مجموعة من المجموعات الفرعية من${\displaystyle X}$يُحدث مجالًا 𝜎 لـ${\displaystyle X.}$يُعرِّف${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{E\subseteq X:E\in {\mathcal {R}}\ {\text{or}}\ E^{c}\in {\mathcal {R}}\}.}$ثم${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هو حقل 𝜎 على المجموعة${\displaystyle X}$- للتحقق من الإغلاق بموجب اتحاد قابل للعد، استدعِ أ${\displaystyle \sigma }$الحلقة مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد. في الواقع${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هو الحقل الأدنى 𝜎 الذي يحتوي${\displaystyle {\mathcal {R}}}$لأنه يجب أن يكون موجودًا في كل حقل 𝜎 يحتوي على${\displaystyle {\mathcal {R}}.}$

• حلقة دلتا – حلقة مغلقة تحت التقاطعات القابلة للعد 
• حقل المجموعات - مفهوم جبري في نظرية القياس، ويشار إليه أيضًا باسم جبر المجموعات 
• الربط (جبر سيجما) – البنية الجبرية لجبر المجموعات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظام 𝜆 (نظام دينكين) – عائلة مغلقة تحت المكملات والاتحادات المنفصلة القابلة للعد 
• دالة قابلة للقياس - نوع من الدوال الرياضية 
• فئة الرتابة – نظرية القياس ونظرية الاحتمالات. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظام باي – عائلة من المجموعات المغلقة تحت التقاطع 
• حلقة المجموعات – عائلة مغلقة تحت الاتحادات والمكملات النسبية 
• فضاء العينة - مجموعة جميع النتائج أو المخرجات الممكنة لتجربة إحصائية أو عملية تجريبية 
• خاصية الجمع 𝜎 – دالة الربط 
• الجبر سيجما – البنية الجبرية لجبر المجموعات 
• 𝜎-مثالي – الأسرة المغلقة ضمن مجموعات فرعية والاتحادات القابلة للعد 

• والتر رودين ، 1976. مبادئ التحليل الرياضي ، الطبعة الثالثة. ماكجرو هيل. يستخدم الفصل الأخير حلقات 𝜎 في تطوير نظرية ليبيغ.

العائلات${\displaystyle {\mathcal {F}}}$من مجموعات أكثر$أوميغا$ v ت هـ
ينطبق بالضرورة على${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$أو، هو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب:	إخراج​${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \Omega \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	FIP
نظام π
شبه حلقي										أبداً
شبه الجبر (شبه الحقل)										أبداً
فصل دراسي رتيب						فقط إذا${\displaystyle A_{i}\searrow }$	فقط إذا${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
نظام 𝜆 (نظام دينكين)				فقط إذا${\displaystyle A\subseteq B}$			فقط إذا${\displaystyle A_{i}\nearrow }$أو أنها منفصلة			أبداً
الحلقة (نظرية الترتيب)
الحلقة (نظرية القياس)										أبداً
حلقة دلتا										أبداً
𝜎-ring										أبداً
الجبر (مجال)										أبداً
الجبر π (حقل π)										أبداً
فلتر
فلتر مناسب				أبداً	أبداً				أبداً
مرشح أولي (قاعدة المرشح)
قاعدة بيانات التصفية الفرعية
الطوبولوجيا المفتوحة							(حتى التعسفي)${\displaystyle \cup }$)			أبداً
الطوبولوجيا المغلقة						(حتى التعسفي)${\displaystyle \cap }$)				أبداً
ينطبق بالضرورة على${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$أو، هو${\displaystyle {\mathcal {F}}}$مغلق بموجب:	موجه للأسفل	التقاطعات المحدودة	الاتحادات المحدودة	المكملات النسبية	يكمل في$أوميغا$	التقاطعات القابلة للعد	النقابات القابلة للعد	يتضمن$أوميغا$	يتضمن${\displaystyle \varnothing }$	خاصية التقاطع المحدود
بالإضافة إلى ذلك، فإن شبه الحلقة هو نظام π حيث كل مكمل${\displaystyle B\setminus A}$يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$ الجبر الجزئي هو حلقة جزئية حيث كل مكمل${\displaystyle \Omega \setminus A}$يساوي اتحادًا منفصلاً محدودًا لمجموعات في${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$هي عناصر اعتباطية من${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ويفترض أن${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$