مجال المجموعات

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، حقل المجموعات هو بنية رياضية تتكون من زوج(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}يتكون من مجموعةX{\displaystyle X}وعائلة​F{\displaystyle {\mathcal {F}}}من مجموعات فرعية منX{\displaystyle X}يُطلق عليه اسم الجبر علىX{\displaystyle X}التي تحتوي على المجموعة الفارغة كعنصر، وتكون مغلقة تحت عمليات أخذ المكملات فيX،{\displaystyle X,}الاتحادات المحدودة ، والتقاطعات المحدودة .

لا ينبغي الخلط بين حقول المجموعات والحقول في نظرية الحلقات ولا مع الحقول في الفيزياء . وبالمثل، فإن مصطلح "الجبر على"X{\displaystyle X}"يتم استخدامها بمعنى الجبر البولياني ويجب عدم الخلط بينها وبين الجبر على الحقول أو الحلقات في نظرية الحلقات.

تلعب حقول المجموعات دورًا أساسيًا في نظرية تمثيل الجبر البولياني. يمكن تمثيل كل جبر بولياني كحقل من المجموعات.

التعريفات

حقل المجموعات هو زوج(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}يتكون من مجموعةX{\displaystyle X}وعائلة​F{\displaystyle {\mathcal {F}}}من مجموعات فرعية منX،{\displaystyle X,}يُطلق عليه اسم الجبر علىX،{\displaystyle X,}والتي لها الخصائص التالية:

  1. مغلق بموجب نظام المكمل فيX{\displaystyle X}:X∖F∈F للجميع F∈F.{\displaystyle X\setminus F\in {\mathcal {F}}{\text{ لكل }}F\in {\mathcal {F}}.}
  2. يحتوي على المجموعة الفارغة (أو يحتوي علىX{\displaystyle X}) كعنصر:∅∈F.{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}.}
    • بافتراض تحقق الشرط (1)، فإن هذا الشرط (2) يعادل ما يلي:X∈F.{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}.}
  3. يتحقق أي من الشروط المكافئة التالية أو جميعها [ ملاحظة 1 ] :
    1. مغلق في ظل الاتحادات الثنائية : F∪جي∈F للجميع F،جي∈F.{\displaystyle F\cup G\in {\mathcal {F}}{\text{ لكل }}F,G\in {\mathcal {F}}.}
    2. مغلق تحت التقاطعات الثنائية : F∩جي∈F للجميع F،جي∈F.{\displaystyle F\cap G\in {\mathcal {F}}{\text{ لكل }}F,G\in {\mathcal {F}}.}
    3. مغلق تحت الاتحادات المحدودة : F1∪⋯∪Fن∈F لجميع الأعداد الصحيحة ن≥1 وكل شيء F1،...،Fن∈F.{\displaystyle F_{1}\cup \cdots \cup F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ لجميع الأعداد الصحيحة }}n\geq 1{\text{ وجميع }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}
    4. مغلق تحت التقاطعات المحدودة : F1∩⋯∩Fن∈F لجميع الأعداد الصحيحة ن≥1 وكل شيء F1،...،Fن∈F.{\displaystyle F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}\in {\mathcal {F}}{\text{ لجميع الأعداد الصحيحة }}n\geq 1{\text{ وجميع }}F_{1},\ldots ,F_{n}\in {\mathcal {F}}.}

بعبارة أخرى،F{\displaystyle {\mathcal {F}}}يشكل جبرًا فرعيًا من مجموعة القوى الجبر البولياني لـX{\displaystyle X}(بنفس عنصر الهوية)X∈F{\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}يشير العديد من المؤلفين إلىF{\displaystyle {\mathcal {F}}}نفسها كحقل من المجموعات. عناصر منX{\displaystyle X}تُسمى هذه النقاط، بينما تُسمى عناصرF{\displaystyle {\mathcal {F}}}تُسمى هذه المجموعات بالمجمعات ، ويُقال إنها المجموعات المقبولة منX.{\displaystyle X.}

مجموعة من المجموعات(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}يُطلق عليه اسم الفضاء القابل للقياس والجبرF{\displaystyle {\mathcal {F}}}يُطلق عليها اسم جبر سيجما إذا تحقق الشرط الإضافي التالي (4):

  1. يتحقق أي من الشرطين التاليين أو كلاهما:
    1. مغلق في ظل النقابات القابلة للعد : ⋃أنا=1∞Fأنا:=F1∪F2∪⋯∈F{\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cup F_{2}\cup \cdots \in {\mathcal {F}}}للجميعF1،F2،...∈F.{\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}
    2. مغلق عند التقاطعات التي يمكن عدها : ⋂أنا=1∞Fأنا:=F1∩F2∩⋯∈F{\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }F_{i}:=F_{1}\cap F_{2}\cap \cdots \in {\mathcal {F}}}للجميعF1،F2،...∈F.{\displaystyle F_{1},F_{2},\ldots \in {\mathcal {F}}.}

حقول المجموعات في نظرية تمثيل الجبر البولياني

تمثيل حجري

الزوجان(Y،2Y){\displaystyle (Y,2^{Y})}من مجموعة عشوائيةY{\displaystyle Y}ومجموعة الطاقة الخاصة بها2Y{\displaystyle 2^{Y}}هو حقل من المجموعات. إذاY{\displaystyle Y}محدود (أي،ن{\displaystyle n}(العنصر)، ثم2Y{\displaystyle 2^{Y}}محدود (أي،2ن{\displaystyle 2^{n}}(العنصر-). يبدو أن كل حقل منتهٍ من المجموعات (وهذا يعني،(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}معF{\displaystyle {\mathcal {F}}}محدود، بينماX{\displaystyle X}(قد يكون لانهائيًا) يقبل تمثيلًا بالشكل(Y،2Y){\displaystyle (Y,2^{Y})}مع محدودY{\displaystyle Y}ويعني ذلك دالةو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}وهذا يُرسي علاقة مباشرة بينF{\displaystyle {\mathcal {F}}}و2Y{\displaystyle 2^{Y}}عبر الصورة المعكوسة :S=و-1[ب]={x∈X|و(x)∈ب}{\displaystyle S=f^{-1}[B]=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}أينS∈F{\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}وب∈2Y{\displaystyle B\in 2^{Y}}(إنه،ب⊂Y{\displaystyle B\subset Y}إحدى النتائج البارزة: عدد المركبات، إذا كان محدودًا، يكون دائمًا على الشكل التالي:2ن.{\displaystyle 2^{n}.}

ولهذا الغرض يختار المرءY{\displaystyle Y}أن تكون مجموعة جميع ذرات حقل المجموعات المعطى، وتُعرّفو{\displaystyle f}بواسطةو(x)=أ{\displaystyle f(x)=A}حينماx∈أ{\displaystyle x\in A}من أجل نقطةx∈X{\displaystyle x\in X}ومجمعأ∈F{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}هذا هو الذرة؛ وهذا يعني أن مجموعة فرعية غير فارغة منأ{\displaystyle A}مختلف عنأ{\displaystyle A}لا يمكن أن يكون معقدًا.

بمعنى آخر: الذرات هي جزء منX{\displaystyle X}؛Y{\displaystyle Y}هي مجموعة القسمة المقابلة ؛ وو{\displaystyle f}هو الإسقاط الكنسي المقابل.

وبالمثل، يمكن تمثيل كل جبر بولياني منتهٍ كمجموعة قوى - وهي مجموعة قوى مجموعة ذراته ؛ حيث يقابل كل عنصر من عناصر الجبر البولياني مجموعة الذرات التي تقع أسفله (والتي يمثل اتحادها العنصر). ويمكن بناء تمثيل مجموعة القوى هذا بشكل أعم لأي جبر بولياني ذري كامل .

في حالة الجبر البولياني غير الكامل وغير الذري، يمكننا تعميم تمثيل مجموعة القوى من خلال النظر في حقول المجموعات بدلاً من مجموعات القوى الكاملة. وللقيام بذلك، نلاحظ أولاً أن ذرات الجبر البولياني المنتهي تُقابل مرشحاته الفائقة، وأن الذرة تقع أسفل عنصر من عناصر الجبر البولياني المنتهي إذا وفقط إذا كان هذا العنصر موجودًا في المرشح الفائق المقابل للذرة. يقودنا هذا إلى بناء تمثيل للجبر البولياني بأخذ مجموعة مرشحاته الفائقة وتكوين مُركبات بربط كل عنصر من عناصر الجبر البولياني بمجموعة المرشحات الفائقة التي تحتوي على ذلك العنصر. ينتج عن هذا البناء بالفعل تمثيل للجبر البولياني كحقل من المجموعات، ويُعرف بتمثيل ستون . وهو أساس نظرية تمثيل ستون للجبر البولياني ، ومثال على إجراء إكمال في نظرية الترتيب قائم على المُثُل أو المرشحات ، على غرار قطوع ديديكيند .

بدلاً من ذلك، يمكن النظر إلى مجموعة التشاكلات على الجبر البولياني ذي العنصرين، وتكوين مركبات بربط كل عنصر من عناصر الجبر البولياني بمجموعة هذه التشاكلات التي تُسقطه على العنصر الأعلى. (هذا النهج مكافئ لأن المرشحات الفائقة للجبر البولياني هي تحديدًا الصور العكسية للعناصر الأعلى تحت هذه التشاكلات). باستخدام هذا النهج، يتضح أن تمثيل ستون يمكن اعتباره أيضًا تعميمًا لتمثيل الجبر البولياني المنتهي بواسطة جداول الحقيقة .

حقول المجموعات المنفصلة والمتراصة: نحو ثنائية ستون

  • يُطلق على حقل المجموعات اسم فصلي (أو متمايز ) إذا وفقط إذا كان لكل زوج من النقاط المتميزة يوجد مركب يحتوي على إحداها وليس الأخرى.
  • يُطلق على حقل المجموعات اسم حقل مضغوط إذا وفقط إذا كان لكل مرشح مناسب علىX{\displaystyle X}تقاطع جميع المجمعات الموجودة في المرشح غير فارغ.

تنشأ هذه التعريفات من دراسة الطوبولوجيا المولدة بواسطة مركبات حقل من المجموعات. (وهي مجرد واحدة من الطوبولوجيات البارزة على مجموعة النقاط المعطاة؛ وكثيراً ما تُعطى طوبولوجيا أخرى بخصائص مختلفة تماماً، ولا سيما أنها ليست صفرية الأبعاد). بالنظر إلى حقل من المجموعاتX=(X،F){\displaystyle \mathbf {X} =(X,{\mathcal {F}})}تشكل هذه المركبات أساسًا لعلم الطوبولوجيا. ونرمز لها بـتي(X){\displaystyle T(\mathbf {X} )}الفضاء الطوبولوجي المقابل،(X،تي){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}أينتي{\displaystyle {\mathcal {T}}}هي الطوبولوجيا التي تتشكل من خلال أخذ اتحادات عشوائية من المجمعات. ثم

  • تي(X){\displaystyle T(\mathbf {X} )}هو دائمًا فضاء ذو ​​أبعاد صفرية .
  • تي(X){\displaystyle T(\mathbf {X} )}تكون فضاء هاوسدورف إذا وفقط إذاX{\displaystyle \mathbf {X} }هو فصلي.
  • تي(X){\displaystyle T(\mathbf {X} )}مساحة صغيرة ذات مجموعات مفتوحة صغيرةF{\displaystyle {\mathcal {F}}}إذا وفقط إذاX{\displaystyle \mathbf {X} }صغير الحجم.
  • تي(X){\displaystyle T(\mathbf {X} )}هي مساحة منطقية ذات مجموعات مفتوحة ومغلقةF{\displaystyle {\mathcal {F}}}إذا وفقط إذاX{\displaystyle \mathbf {X} }هو فاصل ومختصر في آن واحد (وفي هذه الحالة يوصف بأنه وصفي )

تمثيل ستون للجبر البولياني يكون دائمًا منفصلًا ومضغوطًا؛ ويُعرف الفضاء البولياني المقابل باسم فضاء ستون للجبر البولياني. وبالتالي، فإن المجموعات المفتوحة المغلقة في فضاء ستون هي تحديدًا مُركبات تمثيل ستون. ويستند فرع الرياضيات المعروف باسم ازدواجية ستون على حقيقة أنه يمكن استعادة تمثيل ستون للجبر البولياني من فضاء ستون المقابل فقط، ومن ثم توجد ازدواجية بين الجبر البولياني والفضاءات البوليانية.

حقول المجموعات ذات البنية الإضافية

جبر سيجما وفضاءات القياس

إذا كانت جبرية على مجموعة ما مغلقة تحت الاتحادات القابلة للعد (وبالتالي تحت التقاطعات القابلة للعد أيضًا )، فإنها تُسمى جبرية سيجما ، ويُسمى حقل المجموعات المقابل لها فضاءً قابلاً للقياس . تُسمى مُركبات الفضاء القابل للقياس مجموعات قابلة للقياس . تُوفر نظرية لوميس - سيكورسكي ازدواجية من نوع ستون بين الجبر البولياني الكامل القابل للعد (والذي يُمكن تسميته جبرية سيجما المجردة ) والفضاءات القابلة للقياس.

مساحة القياس هي ثلاثية(X،F،μ){\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}أين(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}هي مساحة قابلة للقياس وμ{\displaystyle \mu }هو مقياس مُعرَّف عليه. إذاμ{\displaystyle \mu }في الواقع، يُعدّ مقياس الاحتمال مقياسًا، ونتحدث عن فضاء احتمالي ونُطلق على فضاءه القابل للقياس اسم فضاء العينة . تُسمى نقاط فضاء العينة بنقاط العينة ، وهي تُمثل نتائج مُحتملة، بينما تُسمى المجموعات القابلة للقياس (المُركّبات) بالأحداث ، وهي تُمثل خصائص النتائج التي نرغب في تحديد احتمالاتها. (يستخدم الكثيرون مصطلح فضاء العينة ببساطة للإشارة إلى المجموعة الأساسية لفضاء الاحتمال، خاصةً في حالة كون كل مجموعة جزئية حدثًا). تلعب فضاءات القياس وفضاءات الاحتمال دورًا أساسيًا في نظرية القياس ونظرية الاحتمالات على التوالي.

في تطبيقات الفيزياء، غالبًا ما نتعامل مع فضاءات القياس وفضاءات الاحتمالات المشتقة من هياكل رياضية غنية مثل فضاءات الضرب الداخلي أو المجموعات الطوبولوجية التي لها بالفعل طوبولوجيا مرتبطة بها - لا ينبغي الخلط بين هذا وبين الطوبولوجيا الناتجة عن أخذ اتحادات عشوائية من المركبات.

الحقول الطوبولوجية للمجموعات

الحقل الطوبولوجي للمجموعات هو ثلاثية(X،تي،F){\displaystyle (X,{\mathcal {T}},{\mathcal {F}})}أين(X،تي){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}هو فضاء طوبولوجي و(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}هو حقل من المجموعات مغلق تحت عامل الإغلاق الخاص بـتي{\displaystyle {\mathcal {T}}}أو بعبارة أخرى، في ظل عامل التداخل الداخلي ، أي أن إغلاق وداخل كل مُركّب هو أيضاً مُركّب.F{\displaystyle {\mathcal {F}}}يشكل جبرًا فرعيًا من الجبر الداخلي لمجموعة القوى على(X،تي).{\displaystyle (X,{\mathcal {T}}).}

تلعب الحقول الطوبولوجية للمجموعات دورًا أساسيًا في نظرية تمثيل الجبر الداخلي وجبر هيتينغ . يوفر هذان النوعان من البنى الجبرية الدلالات الجبرية للمنطق الموجه S4 (وهو تجريد رياضي رسمي للمنطق المعرفي ) والمنطق الحدسي على التوالي. كما توفر الحقول الطوبولوجية للمجموعات التي تمثل هذه البنى الجبرية دلالات طوبولوجية ذات صلة لهذه المنطق.

يمكن تمثيل كل جبر داخلي كحقل طوبولوجي من المجموعات، حيث يتوافق الجبر البولياني الأساسي للجبر الداخلي مع مُركبات الحقل الطوبولوجي للمجموعات، وتتوافق عوامل الإغلاق والداخلية للجبر الداخلي مع تلك الخاصة بالطوبولوجيا. ويمكن تمثيل كل جبر هيتينغ بحقل طوبولوجي من المجموعات، حيث تتوافق الشبكة الأساسية لجبر هيتينغ مع شبكة مُركبات الحقل الطوبولوجي للمجموعات المفتوحة في الطوبولوجيا. علاوة على ذلك، يمكن اختيار الحقل الطوبولوجي للمجموعات الذي يُمثل جبر هيتينغ بحيث تُولد المُركبات المفتوحة جميع المُركبات كجبر بولياني. تُوفر هذه التمثيلات المُترابطة أداة رياضية مُحددة جيدًا لدراسة العلاقة بين أنماط الصدق (الصدق المُحتمل مقابل الصدق الضروري، المُدروسة في المنطق الموجه) ومفاهيم الإثبات والدحض (المُدروسة في المنطق الحدسي)، وبالتالي فهي مُرتبطة ارتباطًا وثيقًا بنظرية المُرافقين الموجهين للمنطق الوسيط .

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي، تُشكّل المجموعات المفتوحة والمغلقة بشكلٍ بديهي حقلًا طوبولوجيًا للمجموعات، حيث أن كل مجموعة مفتوحة ومغلقة هي داخلها وإغلاقها الخاص. يمكن اعتبار تمثيل ستون للجبر البولياني حقلًا طوبولوجيًا للمجموعات، ومع ذلك، بشكل عام، قد تختلف طوبولوجيا الحقل الطوبولوجي للمجموعات عن الطوبولوجيا الناتجة عن أخذ اتحادات عشوائية من المركبات، وبشكل عام أيضًا، لا يشترط أن تكون مركبات الحقل الطوبولوجي للمجموعات مفتوحة أو مغلقة في الطوبولوجيا.

الحقول الجبرية للمجموعات وحقول ستون

يُطلق على الحقل الطوبولوجي للمجموعات اسم الحقل الجبري إذا وفقط إذا كان هناك أساس لطوبولوجيته يتكون من مجمعات.

إذا كان حقل المجموعات الطوبولوجي متراصًا وجبريًا في آنٍ واحد، فإن طوبولوجيته تكون متراصة، ومجموعاته المفتوحة المتراصة هي تحديدًا المجمعات المفتوحة. علاوة على ذلك، تُشكّل المجمعات المفتوحة أساسًا للطوبولوجيا.

تُسمى الحقول الطوبولوجية للمجموعات التي تتميز بالانفصال والتراص والجبرية بحقول ستون ، وهي تُعمم تمثيل ستون للجبر البولياني. بفرض وجود جبر داخلي، يُمكننا تكوين تمثيل ستون للجبر البولياني الأساسي له، ثم توسيعه إلى حقل طوبولوجي للمجموعات بأخذ الطوبولوجيا المُولدة من المُركبات المُقابلة للعناصر المفتوحة للجبر الداخلي (والتي تُشكل أساسًا للطوبولوجيا). تكون هذه المُركبات هي المُركبات المفتوحة تحديدًا، ويُنتج هذا البناء حقل ستون يُمثل الجبر الداخلي - وهو تمثيل ستون . (تُعرف طوبولوجيا تمثيل ستون أيضًا باسم طوبولوجيا ماكينزي-تارسكي ستون، نسبةً إلى علماء الرياضيات الذين عمموا نتيجة ستون للجبر البولياني إلى الجبر الداخلي، ويجب عدم الخلط بينها وبين طوبولوجيا ستون للجبر البولياني الأساسي للجبر الداخلي، والتي ستكون طوبولوجيا أدق).

حقول الطلب المسبق

حقل الطلب المسبق هو ثلاثي(X،≤،F){\displaystyle (X,\leq ,{\mathcal {F}})}أين(X،≤){\displaystyle (X,\leq )}هي مجموعة تم طلبها مسبقاً و(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}هو حقل من المجموعات.

كما هو الحال مع الحقول الطوبولوجية للمجموعات، تلعب حقول الترتيب الجزئي دورًا هامًا في نظرية تمثيل الجبر الداخلي. يمكن تمثيل أي جبر داخلي كحقل ترتيب جزئي، حيث تتوافق معاملاته الداخلية ومعاملات الإغلاق مع معاملات طوبولوجيا ألكسندروف الناتجة عن الترتيب الجزئي. بعبارة أخرى، لكلS∈F{\displaystyle S\in {\mathcal {F}}}: أنانت(S)={x∈X: يوجد y∈S مع y≤x}{\displaystyle \mathrm {Int} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}y\leq x\}}و جل(S)={x∈X: يوجد y∈S مع x≤y}{\displaystyle \mathrm {Cl} (S)=\{x\in X:{\text{ there exists a }}y\in S{\text{ with }}x\leq y\}}

على غرار الحقول الطوبولوجية للمجموعات، تنشأ حقول الترتيب المسبق بشكل طبيعي في المنطق الموجه، حيث تمثل النقاط العوالم الممكنة في دلالات كريپكي لنظرية ما في المنطق الموجه S4 ، ويمثل الترتيب المسبق علاقة الوصول إلى هذه العوالم الممكنة في هذه الدلالات، وتمثل المركبات مجموعات من العوالم الممكنة التي تتحقق فيها جمل فردية في النظرية، مما يوفر تمثيلاً لجبر ليندنبوم-تارسكي الخاص بالنظرية. وهي حالة خاصة من الأطر الموجهة العامة ، وهي حقول مجموعات ذات علاقة وصول إضافية توفر تمثيلات للجبر الموجه.

الحقول الجبرية والترتيب المسبق القانوني

يُطلق على حقل الترتيب المسبق اسم حقل جبري (أو محكم ) إذا وفقط إذا كان يحتوي على مجموعة من المركبات.أ{\displaystyle {\mathcal {A}}}والذي يحدد الطلب المسبق بالطريقة التالية:x≤y{\displaystyle x\leq y}إذا وفقط إذا كان لكل مركبS∈أ{\displaystyle S\in {\mathcal {A}}}،x∈S{\displaystyle x\in S}يشير إلىy∈S{\displaystyle y\in S}إن حقول الترتيب المسبق التي تم الحصول عليها من نظريات S4 هي دائمًا جبرية، والمجموعات التي تحدد الترتيب المسبق هي مجموعات العوالم الممكنة التي تكون فيها جمل النظرية المغلقة تحت الضرورة صحيحة.

يُقال إن حقل الترتيب المسبق الجبري المدمج المنفصل هو حقلٌ قانوني . بفرض وجود جبر داخلي، وباستبدال طوبولوجيا تمثيل ستون الخاص به بالترتيب المسبق القانوني المقابل (ترتيب التخصيص المسبق)، نحصل على تمثيل للجبر الداخلي كحقل ترتيب مسبق قانوني. وباستبدال الترتيب المسبق بطوبولوجيا ألكسندروف المقابلة له ، نحصل على تمثيل بديل للجبر الداخلي كحقل طوبولوجي للمجموعات. (طوبولوجيا هذا " التمثيل الألكسندروفي " هي ببساطة انعكاس ألكسندروف الثنائي لطوبولوجيا تمثيل ستون). بينما يُمكن تمثيل الجبر الموجه بواسطة أطر موجهة عامة لأي جبر موجه طبيعي، إلا أنه فقط في حالة الجبر الداخلي (الذي يُقابل المنطق الموجه S4 ) يُقابل الإطار الموجه العام حقلًا طوبولوجيًا للمجموعات بهذه الطريقة.

الجبر المركب وحقول المجموعات على الهياكل العلائقية

يمكن تعميم تمثيل الجبر الداخلي بواسطة حقول الترتيب المسبق إلى نظرية تمثيل للجبر البولياني (العادي) العشوائي مع المؤثرات . ولهذا، نعتبر البنى(X،(Rأنا)أنا،F){\displaystyle (X,(R_{i})_{I},{\mathcal {F}})}أين(X،(Rأنا)أنا){\displaystyle (X,(R_{i})_{I})}هي بنية علائقية، أي مجموعة تحتوي على عائلة مفهرسة من العلاقات المعرفة عليها، و(X،F){\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}هو حقل من المجموعات. الجبر المركب (أو جبر المركبات ) المحدد بواسطة حقل من المجموعاتX=(X،(Rأنا)أنا،F){\displaystyle \mathbf {X} =(X,\left(R_{i}\right)_{I},{\mathcal {F}})}في بنية علائقية، يكون الجبر البولياني مع عوامل التشغيل ج(X)=(F،∩،∪،′،∅،X،(وأنا)أنا){\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )=({\mathcal {F}},\cap ,\cup ,\prime ,\emptyset ,X,(f_{i})_{I})} أين للجميعأنا∈أنا،{\displaystyle i\in I,}لوRأنا{\displaystyle R_{i}}هي علاقة من علاقات التعددن+1،{\displaystyle n+1,}ثموأنا{\displaystyle f_{i}}هو عامل من نوعن{\displaystyle n}وللجميعS1،...،Sن∈F{\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {F}}}وأنا(S1،...،Sن)={x∈X: يوجد x1∈S1،...،xن∈Sن بحيث Rأنا(x1،...،xن،x)}{\displaystyle f_{i}(S_{1},\ldots ,S_{n})=\left\{x\in X:{\text{ there exist }}x_{1}\in S_{1},\ldots ,x_{n}\in S_{n}{\text{ such that }}R_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n},x)\right\}}

يمكن تعميم هذا البناء على حقول المجموعات على هياكل جبرية عشوائية تحتوي على كل من المؤثرات والعلاقات، ويمكن اعتبار المؤثرات حالة خاصة من العلاقات.F{\displaystyle {\mathcal {F}}}هي مجموعة القوى الكاملة لـX{\displaystyle X}ثمج(X){\displaystyle {\mathcal {C}}(\mathbf {X} )}يُطلق عليه اسم الجبر المركب الكامل أو جبر القوى .

يمكن تمثيل كل جبر بولياني (عادي) مع عوامل تشغيل كحقل من المجموعات على بنية علائقية بمعنى أنه متماثل مع الجبر المركب المقابل للحقل.

(تاريخياً، تم استخدام مصطلح المركب لأول مرة في الحالة التي يكون فيها الهيكل الجبري عبارة عن مجموعة، ويعود أصله إلى نظرية المجموعات في القرن التاسع عشر حيث كانت تسمى مجموعة فرعية من مجموعة ما بالمركب .)

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ تكون العبارات المذكورة متكافئة إذا تحققت العبارتان (1) و(2). وينتج تكافؤ العبارتين (أ) و(ب) من قوانين دي مورغان . وينطبق هذا أيضًا على تكافؤ العبارتين (ج) و(د).

مراجع

  • جولدبلات، ر. ، المنطق الجبري متعدد الأنماط: دراسة استقصائية ، مجلة المنطق التابعة لـ IGPL، المجلد 8، العدد 4، ص  393-450، يوليو 2000
  • جولدبلات، ر.، أنواع الجبر المركب ، حوليات المنطق البحت والتطبيقي، 44، ص  173-242، 1989
  • جونستون، بيتر ت. (1982). المساحات الحجرية (  الطبعة الثالثة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-33779-8.
  • ناتورمان، كاليفورنيا، الجبر الداخلي والطوبولوجيا ، أطروحة دكتوراه، قسم الرياضيات، جامعة كيب تاون، 1991
  • باتريك بلاكبيرن، يوهان ف. أ. ك. فان بنثام، فرانك وولتر (محررون)، دليل المنطق الموجه، المجلد 3 من دراسات في المنطق والاستدلال العملي ، إلسيفير، 2006