التوزيع (الهندسة التفاضلية)

بفرض عدد صحيح${\displaystyle n\leq m=\mathrm {dim} (M)}$توزيع سلس${\displaystyle \Delta }$على${\displaystyle M}$يُطلق عليه اسم النظامي من الرتبة${\displaystyle n}$إذا كانت جميع الفضاءات الفرعية${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}M}$لها نفس الأبعاد${\displaystyle n}$على الصعيد المحلي، يرقى هذا إلى طلب أن يتم توفير كل أساس محلي من قبل${\displaystyle n}$حقول متجهة مستقلة خطيًا .

بشكل أكثر إيجازًا، التوزيع المنتظم هو حزمة فرعية متجهة.${\displaystyle \Delta \subset TM}$من الرتبة${\displaystyle n}$(هذا هو التعريف الأكثر شيوعًا في الواقع). رتبة${\displaystyle n}$يُطلق على التوزيع أحيانًا اسم${\displaystyle n}$توزيع المستوى، ومتى${\displaystyle n=m-1}$، يتحدث المرء عن توزيعات المستويات الفائقة .

بافتراض التوزيع${\displaystyle \Delta }$، وتتكون أقسامها من حقول متجهة على${\displaystyle M,}$تشكيل فضاء متجهي فرعي${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq \Gamma (TM)={\mathfrak {X}}(M)}$من فضاء جميع الحقول المتجهة على${\displaystyle M}$. (ملاحظة:${\displaystyle \Gamma (TM)}$هو فضاء أقسام${\displaystyle TM.}$) توزيع${\displaystyle \Delta }$يُطلق عليه اسم "الضموري" إذا${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$وهي أيضًا جبر لي جزئي : بمعنى آخر، لأي حقلين متجهين${\displaystyle X,Y\in \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$قوس لي${\displaystyle [X,Y]}$ينتمي إلى${\displaystyle \Gamma (\Delta )\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$.

محلياً، يعني هذا الشرط أنه لكل نقطة${\displaystyle x\in M}$يوجد أساس محلي${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$توزيع في حي من${\displaystyle x}$بحيث يكون ذلك، بالنسبة للجميع${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$قوس لي${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$يقع ضمن نطاق${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$، أي${\displaystyle [X_{i},X_{j}]}$هو مزيج خطي من${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}.}$

تُعدّ التوزيعات الانعكاسية عنصرًا أساسيًا في دراسة الأنظمة التكاملية . وتظهر فكرة مشابهة في ميكانيكا هاميلتون : دالتان${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$يقال إن العناصر الموجودة على مشعب سيمبليكتية في حالة انعكاس متبادل إذا اختفى قوس بواسون الخاص بها.

مشعب متكامل لرتبة${\displaystyle n}$توزيع${\displaystyle \Delta }$هو متعدد الشعب الفرعي${\displaystyle N\subset M}$من الأبعاد${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle T_{x}N=\Delta _{x}}$لكل${\displaystyle x\in N}$يُطلق على التوزيع اسم قابل للتكامل إذا كان يمر عبر أي نقطة${\displaystyle x\in M}$يوجد فضاء متكامل. الفضاءات الأساسية للحزمة${\displaystyle \Delta \subset TM}$وبالتالي، فهي عبارة عن مشعبات تكاملية متصلة، منفصلة، ​​وقصوى ، وتسمى أيضًا أوراقًا ؛ أي${\displaystyle \Delta }$يُعرّف هذا التعريف توريقًا ذا أبعاد n من${\displaystyle M}$.

محلياً، تعني قابلية التكامل أنه لكل نقطة${\displaystyle x\in M}$يوجد مخطط محلي${\displaystyle (U,\{\chi _{1},\ldots ,\chi _{n}\})}$بحيث يكون لكل${\displaystyle y\in U}$، المساحة${\displaystyle \Delta _{y}}$يمتد بواسطة متجهات الإحداثيات${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \chi _{1}}}(y),\ldots ,{\frac {\partial }{\partial \chi _{n}}}(y)}$بمعنى آخر، كل نقطة تقبل مخطط توريق، أي التوزيع${\displaystyle \Delta }$يكون مماسًا لأوراق التوريق. علاوة على ذلك، يتطابق هذا التوصيف المحلي مع تعريف التكامل لـ${\displaystyle G}$الهياكل ، عندما${\displaystyle G}$هي مجموعة المصفوفات المثلثية العلوية الحقيقية القابلة للعكس (مع${\displaystyle (n\times n)}$و${\displaystyle (m-n,m-n)}$(كتل).

من السهل ملاحظة أن أي توزيع قابل للتكامل يكون تلقائيًا انعكاسيًا. أما العكس فهو أقل وضوحًا ولكنه صحيح وفقًا لنظرية فروبينيوس .

بغض النظر عن أي توزيع${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$، ويُعرَّف علم الكذب المرتبط به بأنه تصنيف، على النحو التالي:

${\displaystyle \Delta ^{(0)}\subseteq \Delta ^{(1)}\subseteq \ldots \subseteq \Delta ^{(i)}\subseteq \Delta ^{(i+1)}\subseteq \ldots }$

أين${\displaystyle \Delta ^{(0)}:=\Gamma (\Delta )}$،${\displaystyle \Delta ^{(1)}:=\langle [\Delta ^{(0)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$و${\displaystyle \Delta ^{(i+1)}:=\langle [\Delta ^{(i)},\Delta ^{(0)}]\rangle _{{\mathcal {C}}^{\infty }(M)}}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle \Delta ^{(i)}\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$يشير إلى مجموعة حقول المتجهات التي تمتد بواسطة${\displaystyle i}$أقواس لي المتكررة للعناصر في${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$يستخدم بعض المؤلفين تصنيفًا سلبيًا متناقصًا للتعريف.

ثم${\displaystyle \Delta }$يُطلق عليها اسم منتظمة ضعيفة (أو منتظمة فقط من قبل بعض المؤلفين) إذا وُجدت متتالية${\displaystyle \{T^{i}M\subseteq TM\}_{i}}$من الحزم الفرعية المتداخلة للمتجهات بحيث${\displaystyle \Gamma (T^{i}M)=\Delta ^{(i)}}$(لذلك${\displaystyle T^{0}M=\Delta }$^{[ 1 ]} لاحظ أنه في هذه الحالة، يستقر علم الكذب المرتبط به عند نقطة معينة .${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$، منذ صفوف${\displaystyle T^{i}M}$محصورة من الأعلى بـ${\displaystyle \mathrm {rank} (TM)=\mathrm {dim} (M)}$سلسلة الأعداد الصحيحة${\displaystyle (\mathrm {rank} (\Delta ^{(0)}),\mathrm {rank} (\Delta ^{(1)}),\ldots ,\mathrm {rank} (\Delta ^{(m)}))}$ويُطلق عليه حينها اسم متجه النمو لـ${\displaystyle \Delta }$.

أي توزيع منتظم ضعيف له حزمة متجهات متدرجة مرتبطة به$${\displaystyle \mathrm {gr} (TM):=T^{0}M\oplus {\Big (}\bigoplus _{i=0}^{m-1}T^{i+1}M/T^{i}M{\Big )}\oplus TM/T^{m}M.}$$علاوة على ذلك، فإن قوس لي لحقول المتجهات ينزل، لأي${\displaystyle i,j=0,\ldots ,m}$، إلى${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$- تشاكل الحزمة الخطي${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(TM)\times \mathrm {gr} _{j}(TM)\to \mathrm {gr} _{i+j+1}(TM)}$، والتي تسمى${\displaystyle (i,j)}$-انحناء . على وجه الخصوص،${\displaystyle (0,0)}$يختفي الانحناء بشكل متطابق إذا وفقط إذا كان التوزيع انعكاسيًا.

بتجميع الانحناءات معًا، نحصل على تشاكل${\displaystyle {\mathcal {L}}:\mathrm {gr} (TM)\times \mathrm {gr} (TM)\to \mathrm {gr} (TM)}$، والتي تسمى أيضًا قوس ليفي ، والتي تجعل${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)}$إلى حزمة من جبر لي عديم القوة؛ لهذا السبب،${\displaystyle (\mathrm {gr} (TM),{\mathcal {L}})}$ويُطلق عليه أيضًا اسم "إضعاف القدرة "${\displaystyle \Delta }$[ ^{1 ]​}

الحزمة${\displaystyle \mathrm {gr} (TM)\to M}$ومع ذلك، فإن هذا ليس تافهاً محلياً بشكل عام، لأن جبر لي${\displaystyle \mathrm {gr} _{i}(T_{x}M):=T_{x}^{i}M/T_{x}^{i+1}M}$لا تكون متماثلة عند تغيير النقطة${\displaystyle x\in M}$إذا حدث هذا، فإن التوزيع المنتظم الضعيف${\displaystyle \Delta }$يُطلق عليه أيضًا اسم منتظم (أو منتظم بقوة من قِبل بعض المؤلفين). تجدر الإشارة إلى أن التسميات (منتظم بقوة، منتظم بشكل ضعيف) المستخدمة هنا لا علاقة لها إطلاقًا بمفهوم الانتظام الذي نوقش أعلاه (والذي يُفترض دائمًا)، أي بُعد الفضاءات${\displaystyle \Delta _{x}}$أن يكون ثابتاً.

توزيع${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$يُطلق عليها اسم مولدة للأقواس (أو غير هولونومية ، أو يُقال إنها تحقق شرط هورماندر ) إذا تم أخذ عدد محدود من أقواس لي من العناصر في${\displaystyle \Gamma (\Delta )}$يكفي لتوليد الفضاء الكامل لحقول المتجهات على${\displaystyle M}$باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، يمكن كتابة هذا الشرط على النحو التالي:${\displaystyle \Delta ^{(m)}={\mathfrak {X}}(M)}$بالتأكيد${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ثم يقول المرء أيضاً أن${\displaystyle \Delta }$يتم توليد الأقواس في${\displaystyle m+1}$خطوات ، أو له عمق${\displaystyle m+1}$.

من الواضح أن علامة لي المرتبطة بتوزيع توليد الأقواس تستقر عند النقطة${\displaystyle m}$على الرغم من أن كون التوزيع منتظمًا بشكل ضعيف وتوليد الأقواس خاصيتان مستقلتان (انظر الأمثلة أدناه)، فعندما يحقق التوزيع كلتيهما، يكون العدد الصحيح${\displaystyle m}$التعريفان متطابقان.

بفضل نظرية تشاو-راشيفسكي ، بالنظر إلى توزيع توليد الأقواس${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$على مشعب متصل، أي نقطتين في${\displaystyle M}$يمكن ربطها بمسار مماس للتوزيع. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

توزيع${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$يكون مستقراً في حال تعرضه لأي${\displaystyle C^{2}}$في حالة الاضطراب الصغير، يوجد تحويل تماثلي يرسم التوزيع${\displaystyle \Delta '}$العودة إلى${\displaystyle \Delta }$لا توجد سوى 3 حالات: ^{[ 4 ]}

• الرتبة 1: التليف، وهو في الأساس حقل متجه بدون طول.
• رتبة كورانك 1: توزيع المستوى الفائق. عندما يكون البعد المحيط فرديًا، يكون شكل التماس . وعندما يكون البعد المحيط زوجيًا، يكون شكل التماس الزوجي.
• الرتبة 2، البعد 4: الحالة الخاصة لتوزيعات إنجل. جميع توزيعات إنجل محلية الشكل$${\displaystyle \alpha =dz-xdy,\quad \beta =dx-wdy}$$

وبالمثل، تتميز توزيعات إنجل بـ ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {rank} {\mathcal {D}}&=2\\\operatorname {rank} [{\mathcal {D}},{\mathcal {D}}]&=3\\\operatorname {rank} [{\mathcal {D}},[{\mathcal {D}},{\mathcal {D}}]]&=4,\end{aligned}}}$$

• أي حقل متجه${\displaystyle X}$على${\displaystyle M}$يُعرّف توزيعًا من الرتبة 1، عن طريق تحديد${\displaystyle \Delta _{x}:=\langle X_{x}\rangle \subseteq T_{x}M}$، وهو قابل للتكامل تلقائيًا: صورة أي منحنى تكاملي${\displaystyle \gamma :I\to M}$هو متعدد الشعب متكامل.
• التوزيع التافه للرتب${\displaystyle k}$على${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$يتم توليدها بواسطة الأول${\displaystyle k}$حقول متجهات الإحداثيات${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}}$وهي قابلة للتكامل تلقائيًا، وتُعرَّف المتشعبات التكاملية بواسطة المعادلات.${\displaystyle \{x_{i}=c_{i}\}_{i=k+1,\ldots ,n}}$، لأي ثوابت${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} }$.
• بشكل عام، أي توزيع قابل للتكامل/التكامل يكون منتظمًا بشكل ضعيف (مع${\displaystyle \Delta ^{(i)}=\Gamma (\Delta )}$لكل${\displaystyle i}$)، لكنها لا تقوم أبدًا بإنشاء أقواس.

• توزيع مارتينيه على${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$، ل${\displaystyle \omega =dy-z^{2}dx\in \Omega ^{1}(M)}$أو بعبارة أخرى، يتم توليدها بواسطة حقول المتجهات${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z^{2}{\frac {\partial }{\partial y}}}$و${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}}$. إنها تولد أقواسًا لأن${\displaystyle \Delta ^{(2)}={\mathfrak {X}}(M)}$لكنها ليست منتظمة بشكل ضعيف:${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$يحتل المرتبة الثالثة في كل مكان باستثناء السطح${\displaystyle z=0}$.
• توزيع جهات الاتصال على${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2n+1}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \Delta =\ker(\omega )\subseteq TM}$، ل${\displaystyle \omega =dz+\sum _{i=1}^{n}x_{i}dy_{i}\in \Omega ^{1}(M)}$أو بعبارة أخرى، يتم توليدها بواسطة حقول المتجهات${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y_{i}}}}$و${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+y_{i}{\frac {\partial }{\partial z}}}$، ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$إنها منتظمة بشكل ضعيف، مع متجه نمو${\displaystyle (2n,2n+1)}$، وتوليد الأقواس، مع${\displaystyle \Delta ^{(1)}={\mathfrak {X}}(M)}$يمكن أيضًا تعريف هياكل اتصال مجردة على متعدد الشعب${\displaystyle M^{2n+1}}$باعتبارها توزيعًا فائق المستوى غير قابل للتكامل إلى أقصى حد، أي أنها أبعد ما يكون عن كونها انعكاسية. ويُظهر نظير لنظرية داربو أن هذا الهيكل له النموذج المحلي الفريد الموصوف أعلاه.
• توزيع إنجل على${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{4}}$يُعطى بواسطة${\displaystyle \Delta =\ker(\omega _{1})\cap \ker(\omega _{2})\subseteq TM}$، ل${\displaystyle \omega _{1}=dz-wdx\in \Omega ^{1}(M)}$و${\displaystyle \omega _{2}=dy-zdx\in \Omega ^{1}(M)}$أو بعبارة أخرى، يتم توليدها بواسطة حقول المتجهات${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}+z{\frac {\partial }{\partial y}}+w{\frac {\partial }{\partial z}}}$و${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial w}}}$إنها منتظمة بشكل ضعيف، مع متجه نمو${\displaystyle (2,3,4)}$وتوليد الأقواس. يمكن أيضًا تعريف بنية إنجل مجردة على متعدد الشعب${\displaystyle M^{4}}$كتوزيع منتظم ضعيف من الرتبة 2${\displaystyle \Delta \subseteq TM}$بحيث${\displaystyle \Delta ^{(1)}}$يحتل المرتبة الثالثة و${\displaystyle \Delta ^{(2)}}$لها رتبة 4؛ أثبت إنجل أن هذا الهيكل له النموذج المحلي الفريد الموصوف أعلاه. ^{[ 6 ]}
• بشكل عام، بنية غورسات على متعدد الشعب${\displaystyle M^{k+2}}$هو توزيع من الرتبة 2 يتميز بالانتظام الضعيف وتوليد الأقواس، مع متجه نمو${\displaystyle (2,3,\ldots ,k+1,k+2)}$. ل${\displaystyle k=1}$و${\displaystyle k=2}$يستعيد المرء، على التوالي، توزيعات التلامس على مشعبات ثلاثية الأبعاد وتوزيعات إنجل. وتكون هياكل جورسيه متماثلة محليًا مع توزيع كارتان لحزم النفاثات${\displaystyle J^{k}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}$.

تنطبق تعريفات المشعبات التكاملية وقابلية التكامل المذكورة أعلاه أيضًا على الحالة الشاذة (مع إزالة شرط البعد الثابت). ومع ذلك، لا تنطبق نظرية فروبينيوس في هذا السياق، كما أن خاصية الالتفاف غير كافية عمومًا لقابلية التكامل (توجد أمثلة مضادة في الأبعاد المنخفضة).

بعد عدة نتائج جزئية، ^{[ 7 ]} تم حل مشكلة التكامل للتوزيعات الشاذة بشكل كامل بواسطة نظرية أثبتها ستيفان ^{[ 8 ] [ 9 ]} وسوسمان ^{[ 10 ] [ 11 ]} بشكل مستقل. وتنص هذه النظرية على أن التوزيع الشاذ${\displaystyle \Delta }$تكون قابلة للتكامل إذا وفقط إذا تحققت الخاصيتان التاليتان:

• ${\displaystyle \Delta }$يتم توليدها بواسطة عائلة${\displaystyle F\subseteq {\mathfrak {X}}(M)}$من حقول المتجهات؛
• ${\displaystyle \Delta }$ثابت بالنسبة لكل${\displaystyle X\in F}$، أي${\displaystyle (\phi _{X}^{t})_{*}(\Delta _{y})\subseteq \Delta _{\phi _{X}^{t}(y)}}$، أين${\displaystyle \phi _{X}^{t}}$هو تدفق​${\displaystyle X}$،${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$و${\displaystyle y\in \mathrm {dom} (X)}$.

على غرار الحالة العادية، يُعرّف التوزيع المفرد القابل للتكامل توريقًا مفردًا ، والذي يتكون بشكل بديهي من تجزئة لـ${\displaystyle M}$إلى فضاءات فرعية (الفضاءات التكاملية القصوى لـ${\displaystyle \Delta }$) بأبعاد مختلفة.

يمكن تحديد تعريف التوريق الشاذ بدقة بعدة طرق متكافئة. في الواقع، تزخر المراجع العلمية بالعديد من الصيغ والتعديلات والتعميمات لنظرية ستيفان-سوسمان، باستخدام مفاهيم مختلفة للتوريق الشاذ تبعًا للتطبيقات المقصودة، مثل هندسة بواسون ^{[ 12 ] [ 13 ]} أو الهندسة غير التبادلية ^{[ 14 ] [ 15 ]} .

• بالنظر إلى تأثير زمرة لي على متشعب${\displaystyle M}$تُشكّل مولداتها المتناهية الصغر توزيعًا شاذًا قابلًا للتكامل دائمًا؛ وتُمثّل أوراق التوريق الشاذ المرتبط به مدارات فعل المجموعة. ويكون التوزيع/التوريق منتظمًا إذا وفقط إذا كان الفعل حرًا.
• بافتراض وجود مشعب بواسون${\displaystyle (M,\pi )}$صورة${\displaystyle \pi ^{\sharp }=\iota _{\pi }:T^{*}M\to TM}$هو توزيع مفرد قابل للتكامل دائمًا؛ أوراق التوريق المفرد المرتبط به هي تحديدًا الأوراق التبسيطية لـ${\displaystyle (M,\pi )}$يكون التوزيع/التورق منتظمًا إذا وفقط إذا كان مشعب بواسون منتظمًا.
• وبشكل أعم، صورة الخريطة المرجعية${\displaystyle \rho :A\to TM}$من أي جبر لي${\displaystyle A\to M}$يُعرّف توزيعًا شاذًا قابلًا للتكامل تلقائيًا، وتكون أوراق التوريق الشاذ المرتبط به هي أوراق جبر لي. يكون التوزيع/التوريق منتظمًا إذا وفقط إذا${\displaystyle \rho }$لها رتبة ثابتة، أي أن جبر لي منتظم. بالنظر، على التوالي، إلى جبر لي للفعل${\displaystyle M\times {\mathfrak {g}}}$وظل التمام الجبري لي${\displaystyle T^{*}M}$، يستعيد المرء المثالين المذكورين أعلاه.
• في الأنظمة الديناميكية ، ينشأ التوزيع المفرد من مجموعة حقول المتجهات التي تتبادل مع حقل معين.
• توجد أيضًا أمثلة وتطبيقات في نظرية التحكم ، حيث يمثل التوزيع المعمم قيودًا متناهية الصغر للنظام.