متعدد الشعب شبه الريماني

في الرياضيات ، يُعدّ الفضاء شبه الريماني نوعًا من تعميم الفضاء الريماني . وبصورة عامة، لقياس المسافات في الفضاء شبه الريماني، يُسمح لك بالتحرك فقط على طول المنحنيات المماسية لما يُسمى بالفضاءات الفرعية الأفقية .

تحمل المشعبات شبه الريمانية (وبالتالي، من باب أولى ، المشعبات الريمانية) مقياسًا داخليًا طبيعيًا يُسمى مقياس كارنو-كاراثيودوري . ويكون بُعد هاوسدورف لهذه الفضاءات المترية دائمًا عددًا صحيحًا وأكبر من بُعدها الطوبولوجي (إلا إذا كانت في الواقع مشعبًا ريمانيًا).

تظهر المتشعبات شبه الريمانية بكثرة في دراسة الأنظمة المقيدة في الميكانيكا الكلاسيكية ، مثل حركة المركبات على سطح ما، وحركة أذرع الروبوتات، وديناميكيات مدارات الأقمار الصناعية. ويمكن فهم الكميات الهندسية، مثل طور بيري، بلغة الهندسة شبه الريمانية. كما أن زمرة هايزنبرغ ، المهمة في ميكانيكا الكم ، تحمل بنية شبه ريمانية طبيعية.

عن طريق التوزيع على${\displaystyle M}$نعني حزمة فرعية من الحزمة المماسية لـ${\displaystyle M}$(انظر أيضًا التوزيع ).

بافتراض التوزيع${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$حقل متجه في${\displaystyle H(M)}$يُطلق عليه اسم أفقي . منحنى${\displaystyle \gamma }$على${\displaystyle M}$يُطلق عليه اسم أفقي إذا${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$لأي ${\displaystyle t}$.

توزيع${\displaystyle H(M)}$يُطلق عليه اسم غير قابل للتكامل تمامًا أو مولد للأقواس إذا كان لأي${\displaystyle x\in M}$لدينا أن أي متجه مماس يمكن تمثيله كتركيبة خطية من أقواس لي للحقول الأفقية، أي متجهات من الشكل$${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)}$$حيث جميع حقول المتجهات${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$أفقية. يُعرف هذا الشرط أيضًا باسم شرط هورماندر .

المتشعب شبه الريماني هو ثلاثي${\displaystyle (M,H,g)}$، أين${\displaystyle M}$هو متعدد الشعب قابل للتفاضل ،${\displaystyle H}$هو توزيع "أفقي" غير قابل للتكامل تمامًا و${\displaystyle g}$هو مقطع أملس من الأشكال التربيعية الموجبة المحددة على${\displaystyle H}$.

أي مشعب فرعي ريماني (متصل) يحمل مقياسًا جوهريًا طبيعيًا ، يُسمى مقياس كارنو-كاراثيودوري، ويُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

حيث يتم أخذ الحد الأدنى على طول جميع المنحنيات الأفقية${\displaystyle \gamma$ :[0,1]\to M} بحيث${\displaystyle \gamma (0)=x}$،${\displaystyle \gamma (1)=y}$يمكن اعتبار المنحنيات الأفقية إما متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز ، أو متصلة بشكل مطلق، أو في فضاء سوبوليف .${\displaystyle H^{1}([0,1],M)}$إنتاج نفس المقياس في جميع الحالات.

إن حقيقة أن المسافة بين نقطتين تكون دائمًا محدودة (أي أن أي نقطتين متصلتان بمنحنى أفقي) هي نتيجة لشرط هورماندر المعروف باسم نظرية تشاو راشيفسكي .

يتم تحديد موقع السيارة على الطائرة من خلال ثلاثة معايير: إحداثيات${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$للموقع والزاوية${\displaystyle \alpha }$وهذا يصف اتجاه السيارة. لذلك، يمكن وصف موضع السيارة بنقطة في سطح متعدد الشعب.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

يمكن للمرء أن يتساءل: ما هي أقصر مسافة يجب قطعها بالسيارة للانتقال من موقع إلى آخر؟ هذا يُعرّف مقياس كارنو-كاراثيودوري على المتشعب.

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

يمكن بناء مثال وثيق الصلة بالمقياس شبه الريماني على مجموعة هايزنبرغ : خذ عنصرين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$في جبر لي المقابل بحيث

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

يشمل التوزيع جميع فروع الجبر.${\displaystyle H}$تمتد عبر تحولات يسارية من${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$غير قابلة للتكامل تمامًا . ثم باختيار أي شكل تربيعي موجب أملس على${\displaystyle H}$يعطي مقياسًا فرعيًا ريمانيًا على المجموعة.

لكل مشعب شبه ريماني، يوجد هاميلتوني ، يُسمى هاميلتوني شبه ريماني ، مُنشأ من مقياس المشعب. وعلى العكس، فإن كل هاميلتوني تربيعي من هذا النوع يُنشئ مشعبًا شبه ريماني.

تُسمى حلول معادلات هاميلتون-جاكوبي المقابلة لهاميلتونيان شبه ريماني بالجيوديسيات، وهي تعمم الجيوديسيات الريمانية .

• مجموعة كارنو ، وهي فئة من مجموعات لي التي تشكل مشعبات ريمان الفرعية.
• توزيع
• حالة هورماندر
• التحكم الأمثل

• أغراتشيف، أندريه؛ باريلاري، دافيد؛ بوسكاين، أوغو، محرران (2019)، مقدمة شاملة في الهندسة شبه الريمانية (ملف PDF) ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، مطبعة جامعة كامبريدج، doi : 10.1017/9781108677325 ، ISBN 9781108677325
• بيليش، أندريه؛ ريسلر، جان جاك، محررون. (1996)، الهندسة ريماني الفرعية ، التقدم في الرياضيات، المجلد.  144، بيركهاوزر فيرلاغ، ISBN 978-3-7643-5476-3MR 1421821​ 
• غروموف، ميخائيل (1996)، "فضاءات كارنو-كاراثيودوري من منظور داخلي"، في بيلايش، أندريه؛ ريسلر، جان جاك (محرران)، الهندسة شبه الريمانية (ملف PDF) ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  144، بازل، بوسطن، برلين: بيركهاوزر، الصفحات 79-323 ، ISBN  3-7643-5476-3، MR 1421823 ، مؤرشف من الأصل (PDF) في 9 يوليو 2015 
• لو دون، إنريكو، ملاحظات محاضرة حول الهندسة شبه الريمانية (ملف PDF)
• مونتغمري، ريتشارد (2002)، جولة في هندسات سوبريمان، وجيوديسياتها وتطبيقاتها ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد  91، الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 0-8218-1391-9