هندسة الاتصال

في الرياضيات ، هندسة التلامس هي دراسة بنية هندسية على متعددات شعب ناعمة تُعطى بواسطة توزيع مستوٍ في حزمة الظل التي تلبي شرطًا يسمى "عدم التكامل التام". على نحو مكافئ، يمكن إعطاء مثل هذا التوزيع (محليًا على الأقل) كنواة لشكل تفاضلي واحد، ويترجم شرط عدم التكامل إلى شرط عدم الانحطاط الأقصى على الشكل. هذه الشروط معاكسة لشرطين مكافئين لـ "التكامل التام " لتوزيع مستوٍ، أي أنه يكون مماسًا لتوزيع مستوٍ واحد على متعدد الشعب، والذي يكون تكافؤه هو محتوى نظرية فروبينيوس .

الهندسة التلامسية هي في كثير من النواحي نظيرة ذات أبعاد فردية للهندسة السمبلكتيكية ، وهي بنية على بعض المتشعبات ذات الأبعاد الزوجية. كل من الهندسة التلامسية والهندسة السمبلكتيكية مستمدة من الصيغة الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية ، حيث يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار إما فضاء الطور ذي الأبعاد الزوجية لنظام ميكانيكي أو سطح فائق الطاقة ثابت، والذي، لكونه ذو بعد مشترك واحد، له بعد فردي.

مثل الهندسة السمبلكتيكية، فإن هندسة التلامس لها تطبيقات واسعة في الفيزياء ، مثل البصريات الهندسية ، والميكانيكا الكلاسيكية ، والديناميكا الحرارية ، والكمية الهندسية ، والأنظمة القابلة للتكامل ونظرية التحكم . كما أن هندسة التلامس لها تطبيقات في الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد ؛ على سبيل المثال، استخدمها كرونهايمر وموروكا لإثبات تخمين الخاصية P ، واستخدمها مايكل هاتشينجز لتحديد ثابت للمتعددات الثلاثية الملساء، واستخدمها لينهارد نج لتحديد ثوابت العقد. كما استخدمها ياكوف إلياشبيرج لاستنتاج توصيف طوبولوجي لمتعددات شتاين ذات الأبعاد الستة على الأقل.

تم استخدام هندسة الاتصال لوصف القشرة البصرية . ^[1]

إن بنية الاتصال على متعدد الشعب ذي الأبعاد الفردية هي عائلة متغيرة بسلاسة من المساحات الفرعية ذات البعد الواحد لكل مساحة مماس للمتعدد الشعب، وتلبي شرط عدم التكامل. يمكن وصف العائلة على أنها جزء من حزمة على النحو التالي:

بالنظر إلى متعدد الشعب الأملس ذو البعد n M ، ونقطة p ∈ M ، فإن عنصر التلامس لـ M مع نقطة التلامس p هو فضاء فرعي خطي ذو بعد ( n  − 1) للفضاء المماس لـ M عند p . ^{[2] [3]} يمكن إعطاء عنصر التلامس بواسطة نواة دالة خطية على الفضاء المماس لـ M عند p . ومع ذلك، إذا تم إعطاء فضاء فرعي بواسطة نواة دالة خطية ω، فسيتم إعطاؤه أيضًا بواسطة أصفار λω حيث λ ≠ 0 هو أي عدد حقيقي غير صفري. وبالتالي، فإن نوى { λω : λ ≠ 0 } تعطي جميعها نفس عنصر التلامس. ويترتب على ذلك أنه يمكن تحديد فضاء جميع عناصر التلامس لـ M بقسمة حزمة ظل التمام T* M (مع إزالة القسم الصفري )، ^[2] وهي: ${\displaystyle 0_{م}}$

${\displaystyle {\text{PT}}^{*}M=({\text{T}}^{*}M-{0_{M}})/{\sim }\ {\text{ حيث، بالنسبة إلى }}\omega _{i}\in {\text{T}}_{p}^{*}M،\ \ \omega _{1}\sim \omega _{2}\ \iff \ \exists \ \lambda \neq 0\ :\ \omega _{1}=\lambda \omega _{2}.}$

بنية الاتصال على متعدد الشعب ذي الأبعاد الفردية M ، والبعد 2k + 1 ، هي توزيع سلس لعناصر الاتصال، يشار إليها بـ ξ ، وهي عامة عند كل نقطة. [ ^{2] [3]} شرط العامة هو أن ξ غير قابلة للتكامل .

افترض أن لدينا توزيعًا سلسًا لعناصر الاتصال، ξ ، معطى محليًا بواسطة α تفاضلي من شكل واحد ؛ أي قسم سلس من حزمة ظل التمام. يمكن إعطاء شرط عدم التكامل صراحةً على النحو التالي: ^[2]

${\displaystyle \alpha \wedge ({\text{d}}\alpha )^{k}\neq 0\ {\text{حيث}}\({\text{d}}\alpha )^{k}=\underbrace {{\text{d}}\alpha \wedge \ldots \wedge {\text{d}}\alpha } _{k{\text{-times}}}.}$

لاحظ أنه إذا تم إعطاء ξ بواسطة التفاضلية α ذات الشكل 1 ، فإن نفس التوزيع يتم إعطاؤه محليًا بواسطة β = ƒ⋅ α ، حيث ƒ هي دالة سلسة غير صفرية . إذا كانت ξ قابلة للتوجيه المشترك، فإن α يتم تعريفها عالميًا.

يتبع من نظرية فروبينيوس حول التكامل أن مجال التلامس ξ غير قابل للتكامل تمامًا . هذه الخاصية لحقل التلامس هي عكس كونها مجالًا يتكون من المستويات المماسية لعائلة من الأسطح الفائقة غير المتداخلة في M. على وجه الخصوص، لا يمكنك العثور على سطح فائق في M تتفق فضاءاته المماسية مع ξ ، حتى محليًا. في الواقع، لا يوجد متعدد شعب فرعي ذو بعد أكبر من k تقع فضاءاته المماسية في ξ .

إحدى نتائج التعريف هي أن تقييد الشكل ثنائي الأبعاد ω  =  dα إلى مستوى فائق في ξ هو شكل ثنائي الأبعاد غير متحلل. يوفر هذا البناء لأي متعدد شعب اتصال M حزمة سيمبلكتيكية طبيعية من الرتبة الأولى أصغر من بُعد M. لاحظ أن فضاء المتجه السمبلكتيكي يكون دائمًا زوجي الأبعاد، بينما يجب أن تكون متعددات الشعب الاتصالية ذات أبعاد فردية.

الحزمة الظلية T * N لأي متعدد شعب N ذي n بعد هي نفسها متعدد شعب (من البعد 2 n ) وتدعم بشكل طبيعي بنية سيمبلكتيكية دقيقة ω = dλ . ( يُطلق على هذا الشكل λ أحادي الشكل أحيانًا اسم شكل ليوفيل ). هناك عدة طرق لإنشاء متعدد شعب اتصال مرتبط، بعضها من البعد 2 n  − 1، وبعضها من البعد 2 n  + 1.

الإسقاط

ليكن M إسقاطًا لحزمة ظل التمام لـ N : وبالتالي فإن M هي حزمة ألياف على N حيث تكون أليافها عند نقطة x هي مساحة الخطوط في T* N ، أو على نحو مكافئ، مساحة المستويات الفائقة في T N. لا ينحدر λ من الشكل 1 إلى شكل 1 حقيقي على M. ومع ذلك، فهو متجانس من الدرجة 1، وبالتالي فهو يحدد شكل 1 بقيم في حزمة الخطوط O(1)، وهي ثنائية حزمة الخطوط التوتولوجية الليفية لـ M. يحدد جوهر هذا الشكل 1 توزيع اتصال.

أسطح الطاقة

افترض أن H دالة سلسة على T* N ، وأن E قيمة منتظمة لـ H ، بحيث تكون مجموعة المستوى عبارة عن متعدد شعب سلس للبعد المشترك 1. يسمى حقل المتجه Y بحقل متجه أويلر (أو ليوفيل) إذا كان عرضيًا إلى L ومتوافقًا توافقيًا، مما يعني أن المشتق Lie لـ dλ بالنسبة إلى Y هو مضاعف لـ dλ في جوار L.${\displaystyle L=\{(q,p)\in T^{*}N\mid H(q,p)=E\}}$

ثم يكون القيد على L هو نموذج اتصال على L . ${\displaystyle i_{Y}\,d\lambda }$

نشأ هذا البناء في ميكانيكا هاميلتونية ، حيث H هو هاميلتوني لنظام ميكانيكي مع مساحة التكوين N ومساحة الطور T * N ، و E هي قيمة الطاقة.

حزمة ظل التمام الوحدوية

اختر مقياس ريماني على متعدد الشعب N وليكن H هو الطاقة الحركية المرتبطة. عندئذٍ تكون مجموعة المستوى H = 1/2 هي حزمة ظل التمام الوحدوية لـ N ، متعدد شعب ناعم من البعد 2 n  − 1 يتشكل عبر N مع ألياف تكون كروية. عندئذٍ تكون صيغة ليوفيل المقيدة بحزمة ظل التمام الوحدوية عبارة عن بنية اتصال. يتوافق هذا مع حالة خاصة للبناء الثاني، حيث يتوافق تدفق حقل متجه أويلر Y مع القياس الخطي لزخم p s ، مما يترك q s ثابتًا. حقل المتجه R ، المحدد بواسطة المساواة

λ ( R ) = 1 و dλ ( R ,  A ) = 0 لجميع حقول المتجهات A ،

يُطلق عليه حقل متجه ريب ، وهو يُولِّد التدفق الجيوديسي للمقياس الريماني. وبصورة أكثر دقة، باستخدام المقياس الريماني، يمكن للمرء تحديد كل نقطة من حزمة ظل التمام لـ N بنقطة من حزمة ظل التمام لـ N ، ومن ثم تكون قيمة R عند تلك النقطة من حزمة ظل التمام (الوحدة) هي المتجه (الوحدة) المقابل الموازي لـ N.

الحزمة النفاثة الأولى

من ناحية أخرى، يمكن بناء متعدد شعب اتصال M من البعد 2 n  + 1 من خلال النظر في حزمة النفاثة الأولى للوظائف ذات القيمة الحقيقية على N. هذه الحزمة متماثلة مع T * N × R باستخدام المشتق الخارجي للدالة. مع إحداثيات ( x ،  t )، يكون لـ M بنية اتصال

α = dt + λ .

وعلى العكس من ذلك، إذا كان لأي متعدد شعب اتصال M ، فإن حاصل الضرب M × R له بنية طبيعية لمتعدد شعب متعاطف. إذا كان α شكل اتصال على M ، إذن

ω = د ( و ^ت α)

هو شكل متعاطف على M × R ، حيث يشير t إلى المتغير في اتجاه R. يُطلق على هذا المتشعب الجديد اسم التعاطف (أحيانًا التعاطف في الأدبيات) لمتشعب الاتصال M.

كمثال رئيسي، ضع في اعتبارك R ³ ، المزودة بالإحداثيات ( x ، y ، z ) والشكل الواحد dz − y dx . يمتد مستوى الاتصال ξ عند نقطة ( x ، y ، z ) بواسطة المتجهات X ₁ = ∂ _y و X ₂ = ∂ _x + y ∂ _z .

من خلال استبدال المتغيرات الفردية x و y بالمتغيرات المتعددة x ₁ و ... و  x _n و y ₁ و ... و  y _n ، يمكننا تعميم هذا المثال على أي R ^{2 n + 1.} وفقًا لنظرية داربو ، فإن كل بنية اتصال على متعدد الشعب تبدو محليًا مثل بنية الاتصال هذه على فضاء المتجه ذي الأبعاد (2 n  + 1).

تشكل متعددات ساساكيان فئة مهمة من متعددات الاتصال.

كل متعدد شعب ثلاثي الأبعاد مدمج وموجه ومتصل يسمح بوجود بنية اتصال. [ 4 ] ^هذه النتيجة تنطبق على أي متعدد شعب مدمج ومتصل تقريبًا . ^[5]

إن أكثر الفضاءات الفرعية إثارة للاهتمام في متعدد الشعب التلامسي هي متعددات الشعب الفرعية الأسطورية. إن عدم قابلية تكامل حقل المستوى الفائق التلامسي على متعدد الشعب ذي الأبعاد (2 n  + 1) يعني أنه لا يوجد متعدد شعب فرعي ذي أبعاد 2 n يحتوي عليه كحزمة مماس، حتى محليًا. ومع ذلك، فمن الممكن بشكل عام العثور على متعددات شعب فرعية ذات أبعاد n (مضمنة أو مغمورة) تقع فضاءاتها المماسية داخل حقل التلامس: تسمى هذه متعددات الشعب الفرعية الأسطورية .

إن متعددات الشعب الفرعية الليجندرية تشبه متعددات الشعب الفرعية لاجرانجية لمتعددات الشعب السمبليكتية. وهناك علاقة دقيقة: إن رفع متعدد الشعب الفرعي الليجندرية في عملية دمج متعدد الشعب التلامسي هو متعدد الشعب الفرعي لاجرانجي.

أبسط مثال على متعددات الشعب الفرعية الليجندرية هي العقد الليجندرية داخل متعدد الشعب الثلاثي المتصل. قد تكون العقد الليجندرية غير المكافئة مكافئة للعقد الملساء؛ أي أن هناك عقدًا نظيرية ملساء حيث لا يمكن اختيار النظير ليكون مسارًا للعقد الليجندرية.

إن المتشعبات الفرعية الليجندرية هي أجسام صلبة للغاية؛ وعادةً ما يوجد عدد لا نهائي من فئات التضمين النظيرية الليجندرية والتي تكون جميعها نظيرية سلسة. توفر نظرية المجال السمبليكتيكي ثوابت للمتشعبات الفرعية الليجندرية تسمى التماثل التلامسي النسبي والتي يمكنها أحيانًا التمييز بين المتشعبات الفرعية الليجندرية المتميزة المتطابقة طوبولوجيًا (أي نظيرية سلسة).

إذا كان α هو شكل اتصال لبنية اتصال معينة، فيمكن تعريف حقل متجه ريب R على أنه العنصر الفريد لنواة dα (أحادية البعد) بحيث α( R ) = 1. إذا نشأ متعدد الشعب التلامسي كسطح فائق الطاقة ثابت داخل متعدد الشعب السمبليكتيكي، فإن حقل متجه ريب هو القيد على متعدد الشعب الفرعي لحقل متجه هاميلتوني المرتبط بدالة الطاقة. (ينتج القيد حقل متجه على السطح الفائق التلامسي لأن حقل متجه هاميلتوني يحافظ على مستويات الطاقة.)

يمكن استخدام ديناميكيات حقل ريب لدراسة بنية متعدد الشعب التلامسي أو حتى متعدد الشعب الأساسي باستخدام تقنيات تماثل فلور مثل نظرية المجال السمبلكتي ، وفي ثلاثة أبعاد، تماثل التلامس المضمن . ستؤدي أشكال التلامس المختلفة التي تعطي أنويتها نفس بنية التلامس إلى حقول متجه ريب مختلفة، والتي تختلف ديناميكياتها بشكل عام. تعتمد النكهات المختلفة لتماثل التلامس مسبقًا على اختيار شكل التلامس، وبناء هياكل جبرية للمسارات المغلقة لحقول متجه ريب الخاصة بها؛ ومع ذلك، يتبين أن هذه الهياكل الجبرية مستقلة عن شكل التلامس، أي أنها متغيرات ثابتة لبنية التلامس الأساسية، بحيث يمكن في النهاية اعتبار شكل التلامس خيارًا مساعدًا. في حالة تماثل التلامس المضمن، يحصل المرء على متغير متعدد الشعب الأساسي ثلاثي الأبعاد، أي أن تماثل التلامس المضمن مستقل عن بنية التلامس؛ وهذا يسمح للمرء بالحصول على نتائج تنطبق على أي حقل متجه ريب على متعدد الشعب.

تم تسمية حقل ريب على اسم جورج ريب .

تظهر جذور هندسة التلامس في أعمال كريستيان هويجنز وإسحاق بارو وإسحاق نيوتن . طور سوفوس لي نظرية تحويلات التلامس (أي التحويلات التي تحافظ على بنية التلامس) ، بهدفين مزدوجين هما دراسة المعادلات التفاضلية (على سبيل المثال تحويل ليجاندر أو التحويل القياسي ) ووصف "تغيير عنصر الفضاء"، وهو مألوف من الثنائية الإسقاطية .

يظهر أول استخدام معروف لمصطلح "مشعب التلامس" في ورقة بحثية عام 1958 ^{[6] [7] [8]}

• تشابه فلور ، بعض نكهاته تعطي متغيرات متشعبات الاتصال ومتشعباتها الفرعية الأسطورية
• الهندسة الفرعية الريمانية

• إتناير، ج. (2003). "محاضرات تمهيدية عن هندسة الاتصال". وقائع الندوات. الرياضيات البحتة . وقائع الندوات في الرياضيات البحتة. 71 : 81– 107. arXiv : math/0111118 . doi :10.1090/pspum/071/2024631. ISBN 9780821835074. S2CID  6174175.
• جيجيس، هـ. (2003). “هندسة الاتصال”. أرخايف : الرياضيات/0307242 .
• جيجيس، هانسيورج (2008). مقدمة لطوبولوجيا الاتصال. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-1-139-46795-7.
• Aebischer (1994). الهندسة المتعاطفة . بيركهاوزر. ISBN 3-7643-5064-4.
• أرنولد، السادس (1989). الأساليب الرياضية في الميكانيكا الكلاسيكية . دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-96890-3.

• أرنولد، السادس (1988). الأساليب الهندسية في نظرية المعادلات التفاضلية العادية . دار نشر سبرينغر. رقم ISBN 0-387-96649-8.

• ثورستون، ويليام (1997). الهندسة والطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد . مطبعة جامعة برينستون. رقم ISBN 0-691-08304-5.

• لوتز، ر. (1988). "بعض الملاحظات التاريخية والمستقبلية حول هندسة الاتصال". مؤتمر الهندسة التفاضلية والطوبولوجيا (سردينيا 1988) . مزق. القوات المسلحة الكونغولية. الخيال العلمي. جامعة. كالياري. المجلد. 58 ملحق. ص  361 – 393. السيد  1122864.
• جيجز، هـ. (2001). "تاريخ موجز لهندسة التلامس والطوبولوجيا". إكسبو. الرياضيات . 19 : 25– 53. doi : 10.1016/S0723-0869(01)80014-1 .
• أرنولد، فلاديمير آي. (2012) [1990]. هويجنز وبارو، نيوتن وهوك: رواد في التحليل الرياضي ونظرية الكارثة من المتطورات إلى شبه البلورات. بيركهاوزر. رقم ISBN 978-3-0348-9129-5.
• اتصل بموضوع الهندسة على arxiv.org

• اتصال متعدد في أطلس متعدد