رقم سكيوز

في نظرية الأعداد ، يُعرف عدد سكيوز بأنه أصغر عدد طبيعي${\displaystyle x}$والتي تكون دالة عد الأعداد الأولية${\displaystyle \pi (x)}$يتجاوز دالة التكامل اللوغاريتمي${\displaystyle \operatorname {li} (x).}$ وقد سميت على اسم عالم الرياضيات الجنوب أفريقي ستانلي سكيوز الذي قام أولاً بحساب حد أعلى لقيمتها.

لا تزال القيمة الدقيقة لعدد سكيوز غير معروفة، ولكن من المعروف أن هناك تقاطعًا بين${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$و${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$قريب${\displaystyle e^{727.95133}\approx 1.3972\times 10^{316}.}$ليس من المعروف ما إذا كان هذا هو أصغر معبر.

يُطلق هذا الاسم أحيانًا أيضًا على أي من حدود الأعداد الكبيرة التي وجدها سكيوز.

على الرغم من أنه لم يعثر أحد على قيمة لـ${\displaystyle x}$والتي${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$أثبت المشرف على أبحاث سكيوز، جيه إي ليتلوود، في كتابه "ليتلوود" (1914) وجود مثل هذا العدد (وبالتالي، وجود أول عدد من هذا النوع)؛ ووجد بالفعل أن إشارة الفرق${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$تتغير مرات لا حصر لها. إلا أن برهان ليتلوود لم يُظهر عددًا محددًا من هذه التغييرات.${\displaystyle x}$ولم يحدد حتى أي حدود للقيمة.

كانت مهمة سكيوز هي جعل برهان ليتلوود على الوجود فعالاً : إظهار حد أعلى ملموس لأول تغيير في الإشارة. ووفقًا لجورج كريزل ، لم يكن هذا الأمر يُعتبر بديهيًا حتى من حيث المبدأ في ذلك الوقت. ^{[ 1 ]}

أثبت سكيوز (1933) أنه بافتراض صحة فرضية ريمان ، يوجد عدد${\displaystyle x}$انتهاك${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$أقل

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

دون افتراض فرضية ريمان، أثبت سكيوز (1955) لاحقًا وجود قيمة لـ${\displaystyle x}$أقل

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$

تم تقليص هذه الحدود العليا بشكل كبير منذ ذلك الحين باستخدام حسابات حاسوبية واسعة النطاق لأصفار دالة زيتا لريمان . وقدّم ليمان (1966) أول تقدير للقيمة الفعلية لنقطة التقاطع ، حيث بيّن أنها تقع في مكان ما بين${\displaystyle 1.53\times 10^{1165}}$و${\displaystyle 1.65\times 10^{1165}}$هناك أكثر من${\displaystyle 10^{500}}$الأعداد الصحيحة المتتالية${\displaystyle x}$مع${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$دون افتراض فرضية ريمان، أثبت إتش جيه جيه تي ريل ( 1987 ) حدًا أعلى لـ ${\displaystyle 7\times 10^{370}}$. وكان التقدير الأفضل هو${\displaystyle 1.39822\times 10^{316}}$اكتشفها بايز وهدسون (2000) ، اللذان أظهرا أن هناك على الأقل${\displaystyle 10^{153}}$أعداد صحيحة متتالية قريبة من هذه القيمة حيث${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$وجد بايز وهدسون قيمًا أقل بكثير من${\displaystyle x}$أين${\displaystyle \pi (x)}$يقترب من${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$لا يبدو أن احتمال وجود نقاط تقاطع بالقرب من هذه القيم قد تم استبعاده بشكل قاطع حتى الآن، على الرغم من أن الحسابات الحاسوبية تشير إلى أن وجودها غير مرجح. وقد أدخل تشاو وبليمن (2010) تحسينًا وتصحيحًا طفيفًا على نتيجة بايز وهدسون. ووجد ساوتر وديميشيل (2010) فاصلًا زمنيًا أصغر للتقاطع، والذي حسّنه زيغوفيتز (2010) تحسينًا طفيفًا . ويُظهر المصدر نفسه وجود عدد من${\displaystyle x}$انتهاك${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$أقل${\displaystyle e^{727.9513468}\approx 1.397182\times 10^{316}}$ويمكن اختصار ذلك إلى${\displaystyle e^{727.9513386}\approx 1.397171\times 10^{316}}$بافتراض فرضية ريمان، أجرى ستول وديميشيل (2011) تحليلاً باستخدام ما يصل إلى 2 × 10¹¹ صفرًا معقدًا، مما يقدم دليلًا حسابيًا على احتمال وجود نقطة تقاطع قريبة${\displaystyle 1.397162914\times 10^{316}}$.

فترة العبور

سنة	عدد الأصفار المركبة المستخدمة	بواسطة	فاصلة	عدد الأعداد الصحيحة المتتالية مع${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$منح
2000	106	بايز وهدسون	[1.39821924 × 10316 ، 1.39821925 × 10316 ]	> 1 × 10153
2010	107	تشاو وبليمين	[exp(727.951858), exp(727.952178)]	1 × 10154
2010	2.2 × 107	ساوتر وديميشيل	[exp(727.95132478), exp(727.95134682)] (بدون رطوبة نسبية) [exp(727.95133239), exp(727.95133920)] (بافتراض وجود رطوبة نسبية)	6.6587 × 10152 (بدون رطوبة نسبية)1.2741 × 10151 (بافتراض الرطوبة النسبية)
2010	2.2 × 107	زيغوفيتز	[exp(727.951324783), exp(727.951346802)] (بدون رطوبة نسبية) [exp(727.951332973), exp(727.951338612)] (بافتراض وجود رطوبة نسبية)	6.695531258 × 10152 (بدون رطوبة نسبية)1.15527413 × 10152 (بافتراض الرطوبة النسبية)

وبالعمل في الاتجاه المعاكس، أثبت روسر وشونفيلد (1962) أنه لا توجد نقاط تقاطع أدنى${\displaystyle x=10^{8}}$، وقد حسّنها برنت (1975) إلى${\displaystyle 8\times 10^{10}}$، بقلم كوتنيك (2008) إلى${\displaystyle 10^{14}}$، من تأليف بلات وترودجيان (2014) إلى${\displaystyle 1.39\times 10^{17}}$و بواسطة بوث (2015) إلى${\displaystyle 10^{19}}$.

لا توجد قيمة صريحة${\displaystyle x}$من المعروف على وجه اليقين امتلاك العقار${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$على الرغم من أن الحسابات الحاسوبية تشير إلى بعض الأرقام الصريحة التي من المحتمل جدًا أن تفي بهذا الشرط.

على الرغم من الكثافة الطبيعية للأعداد الصحيحة الموجبة التي${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$أظهر وينتنر (1941) أن الكثافة اللوغاريتمية لهذه الأعداد الصحيحة الموجبة موجودة وموجبة. وأظهر روبنشتاين وسارناك (1994) أن هذه النسبة تساوي تقريبًا2.6 × 10 ⁻⁷ ، وهو رقم كبير بشكل مدهش بالنظر إلى المسافة التي يجب على المرء قطعها للعثور على المثال الأول.

قدم ريمان صيغة صريحة لـ${\displaystyle \pi (x)}$، والتي تكون حدودها الرئيسية (مع تجاهل بعض مسائل التقارب الدقيقة)

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{الحدود الأصغر}}}$

حيث يكون المجموع شاملاً${\displaystyle \rho }$في مجموعة الأصفار غير التافهة لدالة زيتا لريمان .

أكبر حد خطأ في التقريب${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {li} (x)}$(إذا كانت فرضية ريمان صحيحة) تكون سالبة${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$مما يدل على أن${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$عادة ما يكون أكبر من${\displaystyle \pi (x)}$أما الحدود الأخرى المذكورة أعلاه فهي أصغر حجماً، كما أنها تميل إلى امتلاك وسائط معقدة مختلفة وعشوائية ظاهرياً ، لذا فهي في الغالب تلغي بعضها بعضاً. مع ذلك، قد تصادف أحياناً أن يكون للعديد من الحدود الأكبر حجماً نفس الوسيط المعقد تقريباً، وفي هذه الحالة ستعزز بعضها بعضاً بدلاً من أن تلغي بعضها بعضاً، وستطغى على الحد.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$.

يرجع سبب كبر عدد سكيوز إلى أن هذه الحدود الأصغر أصغر بكثير من حد الخطأ الرئيسي، ويرجع ذلك أساسًا إلى أن الصفر المركب الأول لدالة زيتا له جزء تخيلي كبير جدًا ، لذا يجب أن يكون لعدد كبير منها (عدة مئات) نفس الوسيط تقريبًا للتغلب على الحد المهيمن. احتمال${\displaystyle N}$عدد الأعداد المركبة العشوائية التي لها نفس الوسيط تقريبًا هو حوالي 1 في${\displaystyle 2^{N}}$وهذا يفسر السبب${\displaystyle \pi (x)}$أحيانًا يكون أكبر من${\displaystyle \operatorname {li} (x),}$ويوضح أيضاً لماذا يُعدّ حدوث ذلك نادراً. كما يُبيّن لماذا يعتمد إيجاد الأماكن التي يحدث فيها ذلك على حسابات واسعة النطاق لملايين الأصفار عالية الدقة لدالة زيتا لريمان.

الحجة المذكورة أعلاه ليست برهانًا، لأنها تفترض أن أصفار دالة زيتا لريمان عشوائية، وهو افتراض غير صحيح. باختصار، يتألف برهان ليتلوود من نظرية ديريشليه التقريبية لإثبات أن العديد من الحدود قد تتشابه في حجتها. في حال كانت فرضية ريمان خاطئة، يصبح البرهان أبسط بكثير، وذلك ببساطة لأن الحدود${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$بالنسبة للأصفار التي تنتهك فرضية ريمان (ذات الجزء الحقيقي الأكبر من 1/2 ) ، فإنها في النهاية تكون أكبر من${\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}$.

سبب استخدام هذا المصطلح${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$بمعنى آخر، بشكل عام،${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$في الواقع، يتم حساب قوى الأعداد الأولية ، وليس الأعداد الأولية نفسها، مع${\displaystyle p^{n}}$مرجحة بواسطة${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$. على المدى${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$وهو مشابه تقريبًا لتصحيح من الدرجة الثانية يأخذ في الاعتبار مربعات الأعداد الأولية.

يوجد تعريف مكافئ لعدد سكيوز للأعداد الأولية المكونة من k عنصر ( توث (2019) ). ليكن${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$يرمز إلى مجموعة أولية مكونة من ( k  + 1)،${\displaystyle \pi _{P}(x)}$عدد الأعداد الأولية${\displaystyle p}$أقل${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$جميعها أعداد أولية، فلنفترض${\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ودع${\displaystyle C_{P}}$لنرمز إلى ثابت هاردي-ليتلوود الخاص به (انظر تخمين هاردي-ليتلوود الأول ). ثم العدد الأولي الأول${\displaystyle p}$وهذا ينتهك متباينة هاردي-ليتلوود للزوج ( k  + 1)${\displaystyle P}$أي، العدد الأولي الأول${\displaystyle p}$بحيث

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(إن وُجد عدد أولي كهذا) هو عدد سكيوز لـ${\displaystyle P.}$

يوضح الجدول أدناه أعداد سكيوز المعروفة حاليًا للأعداد الأولية المكونة من k عنصر:

عدد سكيوز (إن وجد) للأعداد الأولية المثيرة${\displaystyle (p,p+6)}$لا يزال الأمر مجهولاً.

ومن غير المعروف أيضاً ما إذا كانت جميع المجموعات k المسموح بها لها رقم Skewes مقابل.

• نظريات ميرتنز §  تغييرات الإشارة

• ديميشيلز، باتريك. "دالة عد الأعداد الأولية والمواضيع ذات الصلة" (ملف PDF) . ديميشيل . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 8 سبتمبر 2006. تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 سبتمبر 2009 .
• أسيموف، إ. (1976). "مُشوَّه!". من الأمور الكبيرة والصغيرة . نيويورك: دار آيس بوكس ​​للنشر. ISBN 978-0441610723.