برنارد ريمان

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

جورج فريدريش بيرنهارد ريمان ( / ˈriːmɑːn / ; [ 1 ] الألمانية : [ ˈɡeːɔʁk ˈfʁiːdʁɪç ˈbɛʁnhaʁt ˈʁiːman ]​ⓘ ؛ [ 2 ] [ 3 ] (17سبتمبر 1826-20يوليو 1866) كانعالم رياضياتقدم إسهامات جليلة فيالتحليلونظرية الأعدادوالهندسةالتفاضلية. في مجالالتحليل الحقيقي، اشتهر بصياغته الدقيقة الأولى للتكامل،تكاملريمان، وعمله علىمتسلسلات فورييه. تشمل إسهاماته فيالتحليل المركب،على وجه الخصوص، تقديمأسطح ريمان، مما فتح آفاقًا جديدة في المعالجة الهندسية الطبيعية للتحليل المركب.تُعتبرورقته البحثية التي نشرها عام 1859حولدالة عد الأعداد الأولية، والتي تضمنت الصياغة الأصليةلفرضية ريماننظرية الأعداد التحليلية. من خلال إسهاماته الرائدةفي الهندسة التفاضلية، وضع ريمان أسس رياضياتالنسبية العامة. [ 4 ] يعتبره الكثيرون أحد أعظم علماء الرياضيات على مر العصور. [ 5 ] [ 6 ]   

سيرة

السنوات الأولى

وُلد ريمان في 17 سبتمبر 1826 في بريسيلينز ، وهي قرية بالقرب من داننبرغ في مملكة هانوفر . كان والده، فريدريش برنارد ريمان، قسًا لوثريًا فقيرًا في بريسيلينز، وقد شارك في الحروب النابليونية . توفيت والدته، شارلوت إيبيل، عام 1846. كان ريمان الثاني بين ستة أطفال. أظهر ريمان موهبة رياضية استثنائية، كقدرته على الحساب، منذ صغره، لكنه كان يعاني من الخجل والخوف من التحدث أمام الجمهور، وكان يتمتع بصحة ضعيفة. [ 7 ]

تعليم

في عام ١٨٤٠، انتقل ريمان إلى هانوفر ليعيش مع جدته ويلتحق بالمدرسة الإعدادية (الليسيوم)، إذ لم يكن هذا النوع من المدارس متاحًا في قريته. بعد وفاة جدته عام ١٨٤٢، انتقل إلى مدرسة يوهانيوم لونيبورغ الثانوية في لونيبورغ . هناك، درس ريمان الكتاب المقدس بتعمق، لكنه كان كثيرًا ما ينشغل بالرياضيات. وقد أُعجب أساتذته بقدرته على إجراء عمليات حسابية معقدة، كان يتفوق فيها غالبًا على معرفة معلمه. في عام ١٨٤٦، في سن التاسعة عشرة، بدأ دراسة فقه اللغة واللاهوت المسيحي ليصبح قسًا ويساعد في إعالة أسرته.

في ربيع عام ١٨٤٦، أرسل والده ريمان إلى جامعة غوتينغن بعد أن جمع ما يكفي من المال ، حيث كان يخطط لدراسة اللاهوت . إلا أنه ما إن وصل إلى هناك، حتى بدأ بدراسة الرياضيات على يد كارل فريدريش غاوس (وتحديدًا محاضراته عن طريقة المربعات الصغرى ). نصح غاوس ريمان بالتخلي عن عمله اللاهوتي والاتجاه إلى مجال الرياضيات؛ وبعد موافقة والده، انتقل ريمان إلى جامعة برلين عام ١٨٤٧. [ ٨ ] خلال فترة دراسته، كان كارل غوستاف جاكوب جاكوبي ، وبيتر غوستاف ليجون ديريشليه ، وجاكوب شتاينر ، وغوتولد آيزنشتاين يُدرّسون . مكث ريمان في برلين لمدة عامين، ثم عاد إلى غوتينغن عام ١٨٤٩.

الأوساط الأكاديمية

ألقى ريمان أولى محاضراته عام ١٨٥٤، والتي أسست مجال الهندسة الريمانية ، ومهدت بذلك الطريق لنظرية النسبية العامة لألبرت أينشتاين . [ ٩ ] وفي عام ١٨٥٧، جرت محاولة لترقية ريمان إلى أستاذ غير متفرغ في جامعة غوتنغن . ورغم فشل هذه المحاولة، إلا أنها أسفرت في النهاية عن حصول ريمان على راتب منتظم. وفي عام ١٨٥٩، بعد وفاة ديريشليه (الذي كان يشغل كرسي غاوس في جامعة غوتنغن)، رُقّي ريمان لرئاسة قسم الرياضيات في الجامعة نفسها. وكان أيضًا أول من اقترح استخدام أبعاد أعلى من ثلاثة أو أربعة أبعاد لوصف الواقع الفيزيائي. [ ١٠ ] [ ٩ ]

عائلة بروتستانتية ووفاة في إيطاليا

شاهد قبر ريمان في بيغانزولو في بيدمونت ، إيطاليا

في عام 1862 تزوج من إليز كوخ؛ وأنجبا ابنة.

فرّ ريمان من غوتينغن عندما اشتبكت جيوش هانوفر وبروسيا هناك عام 1866. [ 11 ] توفي بمرض السل خلال رحلته الثالثة إلى إيطاليا في سيلاسكا (التي أصبحت الآن قرية تابعة لفيربانيا على بحيرة ماجوري )، حيث دُفن في مقبرة بيغانزولو (فيربانيا). كان ريمان مسيحيًا متدينًا، ابن قس بروتستانتي ، ورأى في حياته كرياضي وسيلة أخرى لخدمة الله. طوال حياته، تمسك بإيمانه المسيحي واعتبره أهم جانب في حياته. عند وفاته، كان يُردد الصلاة الربانية مع زوجته، وتوفي قبل أن يُنهياها. [ 12 ] في هذه الأثناء، تخلصت مدبرة منزله في غوتينغن من بعض الأوراق في مكتبه، بما في ذلك الكثير من الأعمال غير المنشورة. رفض ريمان نشر الأعمال غير المكتملة، وربما فُقدت بعض الأفكار العميقة. [ 11 ]

الهندسة الريمانية

فتحت أعمال ريمان المنشورة آفاقًا بحثية جديدة تجمع بين التحليل والهندسة. وقد أصبحت هذه الأعمال فيما بعد جزءًا أساسيًا من نظريات الهندسة الريمانية ، والهندسة الجبرية ، ونظرية التشعبات المعقدة . وقد طوّر فيليكس كلاين، ولا سيما أدولف هورويتز ، نظرية أسطح ريمان . ويُعدّ هذا الفرع من الرياضيات جزءًا من أسس علم الطوبولوجيا ، ولا يزال يُطبّق بطرق مبتكرة في الفيزياء الرياضية .

في عام ١٨٥٣، طلب غاوس من تلميذه ريمان إعداد أطروحة تأهيلية حول أسس الهندسة. وعلى مدى شهور عديدة، طوّر ريمان نظريته حول الأبعاد العليا ، وألقى محاضرته في غوتينغن في ١٠ يونيو ١٨٥٤، بعنوان " حول الفرضيات التي تقوم عليها الهندسة" . [ ١٣ ] [ ١٤ ] [ ١٥ ] لم تُنشر المحاضرة إلا بعد اثني عشر عامًا، في عام ١٨٦٨، على يد ديديكيند، أي بعد عامين من وفاة ريمان. ويبدو أن استقبالها في البداية كان بطيئًا، لكنها تُعتبر الآن من أهم الأعمال في الهندسة.

الموضوع الذي أسسه هذا العمل هو الهندسة الريمانية . وجد ريمان الطريقة الصحيحة لتوسيع الهندسة التفاضلية للأسطح إلى n بُعد ، وهو ما أثبته غاوس نفسه في نظريته الشاملة . تُسمى العناصر الأساسية بالمقياس الريماني وموتر انحناء ريمان . بالنسبة لحالة السطح (ثنائي الأبعاد)، يمكن اختزال الانحناء عند كل نقطة إلى عدد (كمية قياسية)، حيث تُعد الأسطح ذات الانحناء الموجب أو السالب الثابت نماذج للهندسات غير الإقليدية .

مقياس ريمان هو مجموعة من الأرقام عند كل نقطة في الفضاء (أي موتر ) يسمح بقياس السرعة في أي مسار، حيث يعطي تكامله المسافة بين طرفي المسار. على سبيل المثال، وجد ريمان أنه في أربعة أبعاد مكانية، نحتاج إلى عشرة أرقام عند كل نقطة لوصف المسافات والانحناءات على سطح متعدد الشعب ، مهما كان مشوهًا.

التحليل المعقد

في أطروحته، وضع أساسًا هندسيًا للتحليل المركب باستخدام أسطح ريمان ، والتي من خلالها يمكن تحويل الدوال متعددة القيم، مثل اللوغاريتم (باستخدام عدد لا نهائي من الصفائح) أو الجذر التربيعي (باستخدام صفيحتين)، إلى دوال أحادية . الدوال المركبة هي دوال توافقية (أي أنها تحقق معادلة لابلاس، وبالتالي معادلات كوشي-ريمان ) على هذه الأسطح، ويتم وصفها بموقع نقاطها الشاذة وطوبولوجيا الأسطح. يُعطى "الجنس" الطوبولوجي لأسطح ريمان بواسطةز=w/2-ن+1{\displaystyle g=w/2-n+1}حيث يكون السطحن{\displaystyle n}تتجمع الأوراق عندw{\displaystyle w}نقاط التفرع. لـز>1{\displaystyle g>1}سطح ريمان(3ز-3){\displaystyle (3g-3)}المعلمات (المعاملات ) .

إسهاماته في هذا المجال عديدة. تنص نظرية ريمان الشهيرة على أن أي نطاق متصل ببساطة في المستوى المركب يكون "مكافئًا ثنائيًا شكليًا" (أي يوجد تقابل بينهما يكون شكليًا وله معكوس شكلي) مع أي منهماج{\displaystyle \mathbb {C} }أو إلى داخل دائرة الوحدة. يُعدّ تعميم هذه النظرية على أسطح ريمان هو نظرية التوحيد الشهيرة ، التي برهنها هنري بوانكاريه وفيليكس كلاين في القرن التاسع عشر . وهنا أيضًا، قُدّمت البراهين الدقيقة لأول مرة بعد تطوير أدوات رياضية أكثر ثراءً (في هذه الحالة، علم الطوبولوجيا). ولإثبات وجود الدوال على أسطح ريمان، استخدم شرطًا أدنى، أطلق عليه مبدأ ديريشليه . اكتشف كارل فايرشتراس ثغرة في البرهان: لم يُدرك ريمان أن فرضيته الأساسية (وجود الحد الأدنى) قد لا تكون صحيحة؛ فقد لا يكون فضاء الدوال كاملًا، وبالتالي لم يكن وجود الحد الأدنى مضمونًا. ومن خلال عمل ديفيد هيلبرت في حساب التفاضل والتكامل، تم إثبات مبدأ ديريشليه نهائيًا. على أي حال، كان فايرشتراس مُعجبًا جدًا بريمان، وخاصة بنظريته في الدوال الأبيلية . عندما ظهرت أعمال ريمان، سحب فايرشتراس بحثه من مجلة كريل ولم ينشره. كان بينهما تفاهم جيد عندما زاره ريمان في برلين عام ١٨٥٩. شجع فايرشتراس تلميذه هيرمان أماندوس شوارتز على إيجاد بدائل لمبدأ ديريشليه في التحليل المركب، وقد نجح في ذلك. تُظهر حكاية من أرنولد سومرفيلد [ ١٦ ] الصعوبات التي واجهها علماء الرياضيات المعاصرون مع أفكار ريمان الجديدة. ففي عام ١٨٧٠، اصطحب فايرشتراس أطروحة ريمان معه في عطلة إلى ريجي، واشتكى من صعوبة فهمها. ساعده الفيزيائي هيرمان فون هيلمهولتز في العمل طوال الليل، وعاد معلقًا بأنها "طبيعية" و"مفهومة جدًا".

من أبرز إنجازاته الأخرى عمله على الدوال الأبيلية ودوال ثيتا على أسطح ريمان. كان ريمان يتنافس مع فايرشتراس منذ عام 1857 لحل مسائل معكوس جاكوبي للتكاملات الأبيلية، وهي تعميم للتكاملات الإهليلجية . استخدم ريمان دوال ثيتا في عدة متغيرات واختزل المسألة إلى تحديد أصفار هذه الدوال. كما بحث ريمان في مصفوفات الدورة ووصفها من خلال "علاقات دورة ريمان" (متناظرة، الجزء الحقيقي سالب). وبحسب فرديناند جورج فروبينيوس وسولومون ليفشيتز، فإن صحة هذه العلاقة مكافئة لتضمينجن/Ω{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\Omega }(أينΩأوميغاهي شبكة مصفوفة الدورة) في فضاء إسقاطي بواسطة دوال ثيتا. بالنسبة لقيم معينة منن{\displaystyle n}، هذا هو التنوع اليعقوبي لسطح ريمان، وهو مثال على متعدد الشعب الأبيلية.

واصل العديد من علماء الرياضيات، مثل ألفريد كليبش، تطوير أعمال ريمان حول المنحنيات الجبرية. واعتمدت هذه النظريات على خصائص دالة مُعرَّفة على أسطح ريمان. فعلى سبيل المثال، تنص نظرية ريمان-روخ (كان روخ تلميذًا لريمان) على عدد التفاضلات المستقلة خطيًا (مع معرفة الشروط المتعلقة بأصفارها وأقطابها) لسطح ريمان.

بحسب ديتليف لاوغفيتز ، [ 17 ] ظهرت الدوال الذاتية الشكل لأول مرة في مقال حول معادلة لابلاس على الأسطوانات المشحونة كهربائياً. ومع ذلك، استخدم ريمان هذه الدوال للتحويلات المطابقة (مثل تحويل المثلثات الطوبولوجية إلى دائرة) في محاضرته عام 1859 حول الدوال فوق الهندسية أو في أطروحته حول الأسطح الدنيا .

التحليل الحقيقي

في مجال التحليل الحقيقي ، اكتشف تكامل ريمان في أطروحته للتأهيل . ومن بين إنجازاته، أثبت أن كل دالة متصلة قطاعيًا قابلة للتكامل. وبالمثل، يعود تكامل ستيلتيس إلى عالم الرياضيات غوتينغر، ولذلك يُطلق عليهما معًا اسم تكامل ريمان-ستيلتيس .

في بحثه لنيل درجة التأهيل العلمي حول متسلسلات فورييه ، حيث تابع أعمال أستاذه ديريشليه، بيّن ريمان أن الدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان "قابلة للتمثيل" بواسطة متسلسلات فورييه. وكان ديريشليه قد أثبت ذلك للدوال المتصلة والقابلة للتفاضل جزئيًا (وبالتالي ذات عدد قابل للعد من النقاط غير القابلة للتفاضل). وقدّم ريمان مثالًا على متسلسلة فورييه تمثل دالة متصلة، تكاد تكون غير قابلة للتفاضل في أي نقطة، وهي حالة لم يتناولها ديريشليه. كما أثبت ريمان أيضًا مبرهنة ريمان-ليبيغ : إذا كانت الدالة قابلة للتمثيل بواسطة متسلسلة فورييه، فإن معاملات فورييه تؤول إلى الصفر عندما تكون قيمة n كبيرة . 

كانت مقالة ريمان أيضًا نقطة انطلاق عمل جورج كانتور مع متسلسلات فورييه، والتي كانت الدافع وراء نظرية المجموعات .

كما عمل على المعادلات التفاضلية فوق الهندسية عام 1857 باستخدام أساليب تحليلية معقدة، وقدم الحلول من خلال سلوك المسارات المغلقة حول النقاط الشاذة (الموصوفة بمصفوفة المونودرومي ). ويُعد إثبات وجود هذه المعادلات التفاضلية باستخدام مصفوفات المونودرومي المعروفة سابقًا أحد مسائل هيلبرت.

نظرية الأعداد

قدّم ريمان إسهاماتٍ بارزةً في نظرية الأعداد التحليلية الحديثة . ففي ورقةٍ بحثيةٍ قصيرةٍ واحدة ، هي الوحيدة التي نشرها في هذا المجال، درس دالة زيتا التي تحمل اسمه اليوم، مُثبتًا أهميتها في فهم توزيع الأعداد الأولية . وكانت فرضية ريمان إحدى سلسلةٍ من التخمينات التي وضعها حول خصائص هذه الدالة.

في أعمال ريمان، توجد العديد من التطورات المثيرة للاهتمام. فقد أثبت المعادلة الدالية لدالة زيتا (المعروفة بالفعل لليونارد أويلر )، والتي تكمن وراءها دالة ثيتا. ومن خلال جمع دالة التقريب هذه على الأصفار غير التافهة على الخط ذي الجزء الحقيقي 1/2، قدم صيغة دقيقة و"صريحة" لـπ(x){\displaystyle \pi (x)}.

كان ريمان على دراية بعمل بافنوتي تشيبيشيف حول نظرية الأعداد الأولية . وقد زار تشيبيشيف ديريشليه في عام 1852.

كتابات

تشمل أعمال ريمان ما يلي:

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "ريمان" . قاموس راندوم هاوس ويبستر غير المختصر .
  2. ^ دودينريداكتيون. كلاينر، ستيفان. كنوبل، رالف (2015) [نشر لأول مرة عام 1962]. Das Aussprachewörterbuch [ قاموس النطق ] (باللغة الألمانية) ( الطبعة السابعة). برلين: دودنفيرلاغ. ص 229، 381، 398، 735. ISBN   978-3-411-04067-4.
  3. ^ كريش، إيفا ماريا؛ ستوك، إبرهارد؛ هيرشفيلد، أورسولا؛ أندرس، لوتز كريستيان (2009). Deutsches Aussprachewörterbuch [ قاموس النطق الألماني ] (باللغة الألمانية). برلين: والتر دي جرويتر. ص 366، 520، 536، 875. ISBN  978-3-11-018202-6.
  4. ↑ ويندورف، مارسيا (23 سبتمبر 2020). "برنهارد ريمان وضع أسس نظرية النسبية لأينشتاين" . interestingengineering.com . تاريخ الاسترجاع: 14 أكتوبر 2023 .
  5. ^ جي وبابادوبولوس ويامادا 2017 ، ص. 614
  6. ↑ ماكليلاري، جون. الهندسة من منظور قابل للتفاضل . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 282. 
  7. ↑ واتسون، ب. (2010). العبقرية الألمانية: عصر النهضة الثالث في أوروبا، والثورة العلمية الثانية، والقرن العشرين. المملكة المتحدة: سايمون وشوستر المملكة المتحدة.
  8. ↑ ستيفن هوكينج (4 أكتوبر 2005). خلق الله الأعداد الصحيحة . دار رانينغ برس. الصفحات 814-815 . ISBN  978-0-7624-1922-7.
  9. 1 2 ويندورف، مارسيا (23 سبتمبر 2020). "برنهارد ريمان وضع أسس نظرية النسبية لأينشتاين" . interestingengineering.com . تاريخ الاسترجاع: 6 أبريل 2023 .
  10. ↑ أعمال، ص 268، طبعة 1876، نقلاً عن بيربونت، الهندسة غير الإقليدية، نظرة إلى الماضي
  11. 1 2 دو سوتوي، ماركوس (2003). موسيقى الأعداد الأولية: البحث عن حل أعظم لغز في الرياضيات . هاربر كولينز. ​​ISBN 978-0-06-621070-4.
  12. ↑ "الرياضي المسيحي - ريمان" . 24 أبريل 2012. تم الاطلاع عليه في 13 أكتوبر 2014 .
  13. ^ "Deutsches Textarchiv – Riemann، Bernhard: Ueber die Hypothesen، welche der Geometrie zu Grunde liegen. In: Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13 (1868)، S. 133-150" . www.deutschestextarchiv.de .
  14. ↑ حول الفرضيات التي تكمن في أسس الهندسة . برنارد ريمان. ترجمة ويليام كينغدون كليفورد [مجلة نيتشر، المجلد الثامن، العددان 183 و184، الصفحات 14-17، 36، 37].
  15. ↑ ريمان، برنارد؛ جوست، يورغن (2016). حول الفرضيات التي تقوم عليها أسس الهندسة . نصوص كلاسيكية في العلوم (الطبعة الأولى، 2016 ). تشام: دار نشر سبرينغر الدولية : دار النشر: بيركهاوزر. ISBN   978-3-319-26042-6.
  16. ↑ أرنولد سومرفيلد ، " Vorlesungen über Theoretische Physik "، Bd.2 (ميكانيكا تشوه الشكل المتوسط)، هاري دويتش، S.124. سمع سومرفيلد القصة من أستاذ الفيزياء التجريبية آخنر أدولف فولنر .
  17. ^ ديتليف لاوغويتز : برنهارد ريمان 1826-1866 . بيركهاوزر، بازل 1996، ISBN 978-3-7643-5189-2

للمزيد من القراءة