مساحة خالية من الكحول

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الفضاء الرصين هو فضاء طوبولوجي X بحيث تكون كل مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال (غير فارغة) من X هي إغلاق نقطة واحدة بالضبط من X : أي أن كل مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال غير فارغة لها نقطة عامة فريدة .

التعريفات

تتعدد تعريفات الفضاءات الرصينة ، والموثقة في هذا القسم. [ 1 ] [ 2 ] في كل حالة مما يلي، يُعطي استبدال "فريد" بـ "واحد على الأكثر" صياغة مكافئة لبديهية T0 . أما استبدالها بـ "واحد على الأقل" فيُكافئ خاصية أن حاصل قسمة T0 للفضاء رصين، وهو ما يُشار إليه أحيانًا في الأدبيات بـ "امتلاك نقاط كافية".

مع المجموعات المغلقة غير القابلة للاختزال

تُسمى المجموعة المغلقة غير قابلة للاختزال إذا لم يكن بالإمكان كتابتها كاتحاد مجموعتين جزئيتين مغلقتين فعليتين. ويُسمى الفضاء فضاءً متماسكاً إذا كانت كل مجموعة جزئية مغلقة غير قابلة للاختزال وغير فارغة فيه هي إغلاق لنقطة وحيدة.

من حيث التشكلات بين الأطر والمواقع

يكون الفضاء الطوبولوجي X رصينًا إذا كان كل تطبيق من مجموعته المرتبة جزئيًا من المجموعات الفرعية المفتوحة إلى {0، 1} والذي يحافظ على جميع عمليات الربط وجميع التقاطعات المحدودة هو الصورة العكسية لدالة متصلة فريدة من نوعها من فضاء النقطة الواحدة إلى X.

يمكن اعتبار هذا بمثابة تطابق بين مفهوم النقطة في مكان ما والنقطة في فضاء طوبولوجي، وهو التعريف المحفز.

باستخدام مرشحات أولية تمامًا

يُقال إن مرشح F للمجموعات المفتوحة أولي تمامًا إذا كان لأي عائلةياأنا{\displaystyle O_{i}}من المجموعات المفتوحة بحيث⋃أناياأنا∈F{\displaystyle \bigcup _{i}O_{i}\in F}لدينا ذلكياأنا∈F{\displaystyle O_{i}\in F}بالنسبة لبعض i . يكون الفضاء X رصينًا إذا كان كل مرشح أولي تمامًا هو مرشح الجوار لنقطة فريدة في X.

من حيث الشبكات

شبكة​x∙{\displaystyle x_{\bullet }}تكون الدالة متقاربة ذاتيًا إذا كانت تتقارب إلى كل نقطةxأنا{\displaystyle x_{i}}فيx∙{\displaystyle x_{\bullet }}أو ما يعادل ذلك إذا كان مرشح احتمالية حدوثه عددًا أوليًا تمامًا. شبكةx∙{\displaystyle x_{\bullet }}ذلك يتقارب إلىx{\displaystyle x}يتقارب بقوة إذا كان بإمكانه التقارب فقط إلى نقاط في إغلاقx{\displaystyle x}يكون الفضاء رصينًا إذا كانت كل شبكة متقاربة ذاتيًاx∙{\displaystyle x_{\bullet }}يتقارب بقوة إلى نقطة فريدةx{\displaystyle x}[ 2 ]​

على وجه الخصوص، تكون المساحة T 1 ورصينة تمامًا إذا كانت كل شبكة متقاربة ذاتيًا ثابتة.

كخاصية للحزم في الفضاء

تكون الفضاء X رصينة إذا كان كل عامل من فئة الحزم Sh ( X ) إلى Set الذي يحافظ على جميع النهايات المحدودة وجميع النهايات المشتركة الصغيرة يجب أن يكون عامل الساق لنقطة فريدة x .

الخصائص والأمثلة

أي فضاء هاوسدورف (T 2 ) يكون فضاءً رصيناً (المجموعات الفرعية الوحيدة غير القابلة للاختزال هي المجموعات المفردة)، وجميع الفضاءات الرصينة هي فضاءات كولموغوروف (T 0 )، وكلا الاستلزامين صارمان. [ 3 ]

لا يمكن مقارنة حالة الرصانة بحالة T 1 :

  • مثال على فضاء T 1 غير رصين هو مجموعة لا نهائية ذات طوبولوجيا متقطعة ، حيث يكون الفضاء بأكمله مجموعة فرعية مغلقة غير قابلة للاختزال بدون نقطة عامة؛
  • مثال على فضاء رصين ليس T 1 هو فضاء سيربينسكي .

علاوة على ذلك، فإن T2 أقوى تمامًا من T1 وأكثر رصانة ، أي أنه بينما يكون كل فضاء T2 في آن واحد T1 وأكثر رصانة ، توجد فضاءات تكون في الوقت نفسه T1 وأكثر رصانة، ولكنها ليست T2 . أحد هذه الأمثلة هو التالي: ليكن X مجموعة الأعداد الحقيقية، مع إضافة نقطة جديدة p إليها؛ والمجموعات المفتوحة هي جميع المجموعات المفتوحة الحقيقية، وجميع المجموعات المنتهية التي تحتوي على p .

إن رصانة X هي بالضبط شرط يجبر شبكة المجموعات الفرعية المفتوحة من X على تحديد X حتى التشاكل ، وهو أمر ذو صلة بالطوبولوجيا عديمة الجدوى .

يؤدي الرصانة إلى تحويل طلب التخصص المسبق إلى طلب جزئي كامل موجه .

كل مجموعة جزئية كاملة موجهة مستمرة مزودة بطوبولوجيا سكوت تكون رصينة.

الفضاءات المحدودة T 0 تتسم بالرزانة. [ 4 ]

الطيف الأولي Spec ( R ) لحلقة تبديلية R ذات طوبولوجيا زاريسكي هو فضاء مضغوط ورصين . [ 3 ] في الواقع، كل فضاء طيفي (أي فضاء مضغوط ورصين تكون فيه مجموعة المجموعات الفرعية المفتوحة المضغوطة مغلقة تحت التقاطعات المحدودة وتشكل أساسًا للطوبولوجيا) متماثل طوبولوجيًا مع Spec( R ) لحلقة تبديلية R ما . هذه نظرية لملفين هوخستر . [ 5 ] وبشكل أعم، فإن الفضاء الطوبولوجي الأساسي لأي مخطط هو فضاء رصين.

إن المجموعة الفرعية من Spec( R ) التي تتكون فقط من المُثُل القصوى ، حيث R هي حلقة تبديلية، ليست رصينة بشكل عام.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ماك لين، سوندرز (1992). الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ص 472-482 . ISBN  978-0-387-97710-2.
  2. 1 2 سوندرهاوف، فيليب (1 ديسمبر 2000). "الرصانة من منظور الشبكات". الهياكل الفئوية التطبيقية . 8 (4): 649-653 . doi : 10.1023/A:1008673321209 .
  3. 1 2 هارت، كلاس بيتر؛ ناجاتا، جون إيتي؛ فوغان، جيري إي. (2004). موسوعة الطوبولوجيا العامة . إلسفير. ص 155 – 156. رقم ISBN  978-0-444-50355-8.
  4. ↑ "الطوبولوجيا العامة - فضاءات T 0 المحدودة رصينة" .
  5. ↑ هوخستر، ميلفين (1969)، "بنية المثالي الأولي في الحلقات التبادلية"، معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 142 : 43-60 ، doi : 10.1090/s0002-9947-1969-0251026-x

للمزيد من القراءة