متباينة سوبوليف

في الرياضيات ، يوجد في التحليل الرياضي فئة من متراجحات سوبوليف ، تربط بين المعايير، بما في ذلك معايير فضاءات سوبوليف . تُستخدم هذه المتراجحات لإثبات نظرية تضمين سوبوليف ، التي تُبين وجود تضمينات بين فضاءات سوبوليف معينة ، ونظرية ريليخ-كوندراخوف التي تُظهر أنه في ظل شروط أقوى قليلاً، يمكن تضمين بعض فضاءات سوبوليف بشكل مضغوط في فضاءات أخرى. سُميت هذه المتراجحات نسبةً إلى سيرجي لفوفيتش سوبوليف .

لنرمز بـ W ^k,p ( R ⁿ ) إلى فضاء سوبوليف الذي يتكون من جميع الدوال الحقيقية على R ⁿ التي تكون مشتقاتها الضعيفة حتى الرتبة k دوالًا في L ^p . هنا ، k عدد صحيح غير سالب و 1 ≤ p < ∞ . ينص الجزء الأول من نظرية تضمين سوبوليف على أنه إذا كان k > ℓ و p < n و 1 ≤ p < q < ∞ عددين حقيقيين بحيث

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}={\frac {1}{q}}-{\frac {\ell }{n}},}$

(منح${\displaystyle n}$،${\displaystyle p}$،${\displaystyle k}$و${\displaystyle \ell }$هذا الأمر مُرضٍ للبعض.${\displaystyle q\in [1,\infty )}$متاح${\displaystyle (k-\ell )p<n}$)، ثم

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq W^{\ell ,q}(\mathbf {R} ^{n})}$

والتضمين متصل: لكل${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$، لدى المرء ${\displaystyle f\in W^{l,q}(\mathbf {R} ^{n})}$، و

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{\ell }f\vert ^{q}{\biggr )}^{\frac {1}{q}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

في الحالة الخاصة k = 1 و ℓ = 0 ، يعطي تضمين سوبوليف

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subseteq L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$

حيث p ^∗ هو المرافق السوبوليفي لـ p ، المعطى بواسطة

${\displaystyle {\frac {1}{p^{*}}}={\frac {1}{p}}-{\frac {1}{n}}}$

ولكل${\displaystyle f\in W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}$، لدى المرء ${\displaystyle f\in L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}$و

${\displaystyle {\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert f\vert ^{p^{*}}{\biggr )}^{\frac {1}{p^{*}}}\leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}.}$

تُعدّ هذه الحالة الخاصة من تضمين سوبوليف نتيجة مباشرة لمتباينة غالياردو-نيرنبرغ-سوبوليف . ويجب تفسير النتيجة على أنها تعني أنه إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$في${\displaystyle L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}$له مشتق واحد في${\displaystyle L^{p}}$، ثم${\displaystyle f}$وقد حسّن ذلك السلوك المحلي، مما يعني أنه ينتمي إلى هذا المكان${\displaystyle L^{p^{*}}}$أين${\displaystyle p^{*}>p}$. (لاحظ أن${\displaystyle 1/p^{*}<1/p}$، لهذا السبب${\displaystyle p^{*}>p}$وبالتالي، فإن أي نقاط تفرد محلية في${\displaystyle f}$يجب أن يكون أكثر اعتدالاً من المعتاد في وظيفة نموذجية في${\displaystyle L^{p}}$.

ينطبق الجزء الثاني من نظرية سوبوليف للتضمين على التضمينات في فضاءات هولدر C ^r,α ( R ⁿ ) . إذا كان n < pk و

${\displaystyle {\frac {1}{p}}-{\frac {k}{n}}=-{\frac {r+\alpha }{n}},{\mbox{ أو، بصورة مكافئة، }}r+\alpha =k-{\frac {n}{p}}}$

إذا كانت α ∈ (0, 1)، فإن التمثيل يكون

${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\alpha }(\mathbf {R} ^{n}).}$

بمعنى آخر، لكل${\displaystyle f\in W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})}$و${\displaystyle x,y\in \mathbf {R} ^{n}}$، لدى المرء${\displaystyle f\in C^{r}(\mathbf {R} ^{n})}$، فضلاً عن ذلك،

${\displaystyle \vert \nabla ^{r}f(x)-\nabla ^{r}f(y)\vert \leq C{\biggl (}\int _{\mathbf {R} ^{n}}\vert \nabla ^{k}f\vert ^{p}{\biggr )}^{\frac {1}{p}}\vert x-y\vert ^{\alpha }.}$

يُعد هذا الجزء من تضمين سوبوليف نتيجة مباشرة لمتباينة موري . وبشكل بديهي، يُعبّر هذا التضمين عن حقيقة أن وجود عدد كافٍ من المشتقات الضعيفة يستلزم استمرارية ما للمشتقات الكلاسيكية.${\displaystyle \alpha =1}$ثم${\displaystyle W^{k,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset C^{r,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}$لكل${\displaystyle \gamma \in (0,1)}$.

وعلى وجه الخصوص، طالما${\displaystyle pk>n}$، سيظل معيار التضمين ساريًا مع${\displaystyle r=0}$وقيمة إيجابية ما${\displaystyle \alpha }$أي بالنسبة لدالة${\displaystyle f}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، لو${\displaystyle f}$لديه${\displaystyle k}$المشتقات في${\displaystyle L^{p}}$و${\displaystyle pk>n}$، ثم${\displaystyle f}$ستكون متصلة (وفي الواقع متصلة هولدر مع أس موجب ما)${\displaystyle \alpha }$).

لنفترض أن u دالة حقيقية قابلة للتفاضل باستمرار على R ⁿ ذات دعم مضغوط . عندئذٍ، من أجل 1 ≤ p < n، يوجد ثابت C يعتمد فقط على n و p بحيث

${\displaystyle \|u\|_{L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{p}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

مع${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n}$القضية${\displaystyle 1<p<n}$ويعود الفضل في ذلك إلى سوبوليف ^{[ 2 ]} والقضية${\displaystyle p=1}$إلى غالياردو ونيرنبرغ بشكل مستقل. ^{[ 3 ] [ 4 ]} تشير متباينة غالياردو-نيرنبرغ-سوبوليف مباشرةً إلى تضمين سوبوليف

${\displaystyle W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})\subset L^{p^{*}}(\mathbf {R} ^{n}).}$

ثم يتم الحصول على التضمينات بترتيبات أخرى على R ^{n عن طريق التكرار المناسب.}

استند برهان سوبوليف الأصلي لنظرية تضمين سوبوليف إلى ما يلي، والمعروف أحيانًا باسم نظرية هاردي-ليتلوود-سوبوليف للتكامل الكسري . ويُعرف بيان مكافئ باسم لِمّة سوبوليف في ( أوبين، 1982 ، الفصل 2) . أما البرهان فيوجد في ( شتاين، 1970 ، الفصل الخامس، §1.3) .

ليكن 0 < α < n و 1 < p < q < ∞ . ولتكن I _α = (−Δ) ^{− α /2} جهد ريس على R ⁿ . عندئذٍ، بالنسبة لـ q المعرّف بـ

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{p}}-{\frac {\alpha }{n}}}$

يوجد ثابت C يعتمد فقط على p بحيث

${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

إذا كانت قيمة p تساوي 1 ، فسيكون لدينا تقديران بديلان محتملان. الأول هو التقدير الكلاسيكي من النوع الضعيف:

${\displaystyle m\left\{x:\left|I_{\alpha }f(x)\right|>\lambda \right\}\leq C\left({\frac {\|f\|_{1}}{\lambda }}\right)^{q},}$

حيث 1/ q = 1 − α / n . أو بدلاً من ذلك، يمكن الحصول على التقدير للبعد n≥2$${\displaystyle \left\|I_{\alpha }f\right\|_{q}\leq C\|Rf\|_{1},}$$أين${\displaystyle Rf}$هو تحويل ريز ذو القيم المتجهة ، انظر ( شيكورا، سبيكتور وفان شافتينجن 2017 ) . إن محدودية تحويلات ريز تعني أن المتباينة الأخيرة توفر طريقة موحدة لكتابة عائلة المتباينات الخاصة بجهد ريز.

تشير مبرهنة هاردي-ليتلوود-سوبوليف إلى تضمين سوبوليف بشكل أساسي من خلال العلاقة بين تحويلات ريز وإمكانات ريز.

لنفترض أن n < p ≤ ∞ . عندئذٍ يوجد ثابت C ، يعتمد فقط على p و n ، بحيث

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(\mathbf {R} ^{n})}}$

لكل u ∈ C ¹ ( R ⁿ ) ∩ L ^p ( R ⁿ ) ، حيث

${\displaystyle \gamma =1-{\frac {n}{p}}.}$

وبالتالي إذا كان u ∈ W ^{1, p} ( R ⁿ ) ، فإن u في الواقع متصل هولدر ذو الأس γ ، بعد إعادة تعريفه على مجموعة قياسها 0.

وينطبق الأمر نفسه على نطاق محدود U ذي حدود ليبشيتز. في هذه الحالة،

${\displaystyle \|u\|_{C^{0,\gamma }(U)}\leq C\|u\|_{W^{1,p}(U)}}$

حيث يعتمد الثابت C الآن على n و p و U. تنتج هذه الصيغة من المتباينة من الصيغة السابقة بتطبيق التمديد الحافظ للمعيار لـ W ^{1, p} ( U ) إلى W ^{1, p} ( R ⁿ ) . سُميت هذه المتباينة نسبةً إلى تشارلز ب. موري الابن.

ليكن U مجموعة جزئية مفتوحة ومحدودة من R ⁿ ، ذات حدود من النوع C ^1. ( قد تكون U غير محدودة أيضًا، ولكن في هذه الحالة يجب أن تكون حدودها، إن وجدت، ذات سلوك جيد بما فيه الكفاية.)

لنفترض أن u ∈ W ^k,p ( U ) . عندئذٍ ندرس حالتين:

لو${\displaystyle u\in W^{1,n}(\mathbf {R} ^{n})}$إذن، u هي دالة لتذبذب متوسط ​​محدود و

${\displaystyle |u|_{\operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})}\leq C\|Du\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})},}$

لثابت C يعتمد فقط على n . ^{[ 5 ] : §I.2} هذا التقدير هو نتيجة منطقية لمتباينة بوانكاريه . (تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الطرف الأيسر هو معيار BMO شبه المعياري).

يمكن توسيع النتيجة السابقة إلى درجة تعسفية${\displaystyle k}$^{[ 6 ] : §12.2}. لـ${\displaystyle k\geq 2}$، لو${\displaystyle kp=n}$ثم لكل${\displaystyle u\in W^{k,n/k}(\mathbf {R} ^{n})}$يوجد كثير حدود${\displaystyle P}$درجة علمية${\displaystyle k-1}$بحيث

${\displaystyle \Vert u-P\circ u\Vert _{\operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})}\leq C\Vert D^{k}u\Vert _{L^{n/k}(\mathbf {R} ^{n})}}$

بالإضافة إلى ذلك، لأي${\displaystyle j=1,\dots ,k-1}$لدينا

${\displaystyle \Vert D^{j}(u-P\circ u)\Vert _{L^{n/j}(\mathbf {R} ^{n})}\leq C\Vert D^{k}u\Vert _{L^{n/k}(\mathbf {R} ^{n})}}$

وهذا يعني على وجه الخصوص تضمين التضمين

${\displaystyle W^{k,n/k}(\mathbf {R} ^{n})\hookrightarrow \operatorname {BMO} (\mathbf {R} ^{n})\cap W^{1,q_{1}}(\mathbf {R} ^{n})\cap \dots \cap W^{k-1,q_{k-1}}(\mathbf {R} ^{n})}$

لجميع الأسس${\displaystyle q_{j}}$مُرضٍ${\displaystyle n/k\leq q_{j}\leq n/j}$،${\displaystyle j=1,\dots ,k-1}$.

تنص متباينة ناش، التي قدمها جون ناش ( 1958 ) ، على أنه يوجد ثابت C > 0 ، بحيث يكون لكل u ∈ L ¹ ( R ⁿ ) ∩ W ^1,2 ( R ⁿ ) ، 

${\displaystyle \|u\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}^{1+2/n}\leq C\|u\|_{L^{1}(\mathbf {R} ^{n})}^{2/n}\|Du\|_{L^{2}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

تنتج هذه المتباينة من الخصائص الأساسية لتحويل فورييه . في الواقع، عند التكامل على متمم الكرة ذات نصف القطر ρ ،

${\displaystyle \int _{|x|\geq \rho }\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \int _{|x|\geq \rho }{\frac {|x|^{2}}{\rho ^{2}}}\left|{\hat {u}}(x)\right|^{2}\,dx\leq \rho ^{-2}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|Du|^{2}\,dx}$

1

لأن${\displaystyle 1\leq |x|^{2}/\rho ^{2}}$من ناحية أخرى، يمتلك المرء

${\displaystyle |{\hat {u}}|\leq \|u\|_{L^{1}}}$

والتي، عند تكاملها على الكرة ذات نصف القطر ρ تعطي

${\displaystyle \int _{|x|\leq \rho }|{\hat {u}}(x)|^{2}\,dx\leq \rho ^{n}\omega _{n}\|u\|_{L^{1}}^{2}}$

2

حيث ωn هو حجم الكرة ذات _البعد n . باختيار ρ لتقليل مجموع ( 1 ) و( 2 ) وتطبيق نظرية بارسيفال:

${\displaystyle \|{\hat {u}}\|_{L^{2}}=\|u\|_{L^{2}}}$

يعطي المتباينة.

في الحالة الخاصة n = 1 ، يمكن تعميم متباينة ناش لتشمل حالة L ^p ، وفي هذه الحالة تُعدّ تعميمًا لمتباينة غالياردو-نيرنبرغ-سوبوليف ( بريزيس 2011 ، تعليقات على الفصل 8). في الواقع، إذا كانت I فترة محدودة، فإنه لكل 1 ≤ r < ∞ ولكل 1 ≤ q ≤ p < ∞، تتحقق المتباينة التالية

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(I)}\leq C\|u\|_{L^{q}(I)}^{1-a}\|u\|_{W^{1,r}(I)}^{a},}$

أين:

${\displaystyle a\left({\frac {1}{q}}-{\frac {1}{r}}+1\right)={\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}}.}$

تنص أبسط نظريات تضمين سوبوليف، الموضحة أعلاه، على أنه إذا كانت الدالة${\displaystyle f}$في${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$له مشتق واحد في${\displaystyle L^{p}}$، ثم${\displaystyle f}$هي نفسها في${\displaystyle L^{p^{*}}}$، أين

${\displaystyle 1/p^{*}=1/p-1/n.}$

يمكننا أن نرى ذلك على النحو التالي:${\displaystyle n}$يميل إلى اللانهاية،${\displaystyle p^{*}}$الأساليب${\displaystyle p}$وبالتالي، إذا كان البعد${\displaystyle n}$من المساحة التي${\displaystyle f}$إذا تم تعريفها على أنها كبيرة، فإن التحسن في السلوك المحلي لـ${\displaystyle f}$من وجود مشتق في${\displaystyle L^{p}}$صغير (${\displaystyle p^{*}}$أكبر قليلاً من${\displaystyle p}$). على وجه الخصوص، بالنسبة للدوال على فضاء لا نهائي الأبعاد، لا يمكننا أن نتوقع أي نظير مباشر لنظريات تضمين سوبوليف الكلاسيكية.

مع ذلك، يوجد نوع من متباينات سوبوليف، وضعه ليونارد غروس ( غروس 1975 ) ويُعرف باسم متباينة سوبوليف اللوغاريتمية ، والتي لها ثوابت مستقلة عن الأبعاد، وبالتالي تظل صحيحة في حالة الأبعاد اللانهائية. تنص متباينة سوبوليف اللوغاريتمية، باختصار، على أنه إذا كانت دالة ما في${\displaystyle L^{p}}$بالنسبة إلى مقياس غاوسي وله مشتق واحد هو أيضًا في${\displaystyle L^{p}}$، ثم${\displaystyle f}$هو في "${\displaystyle L^{p}}$-log"، مما يعني أن تكامل${\displaystyle |f|^{p}\log |f|}$هي محدودة. المتباينة التي تعبر عن هذه الحقيقة لها ثوابت لا تتضمن بُعد الفضاء، وبالتالي، فإن المتباينة صحيحة في سياق مقياس غاوسي على فضاء لا نهائي الأبعاد. من المعروف الآن أن متباينات سوبوليف اللوغاريتمية صحيحة لأنواع عديدة من المقاييس، وليس فقط المقاييس الغاوسية.

على الرغم من أنه قد يبدو كما لو أن${\displaystyle L^{p}}$يُعد شرط -log تحسناً طفيفاً جداً مقارنةً بالوضع الحالي${\displaystyle L^{p}}$هذا التحسين كافٍ لاستخلاص نتيجة مهمة، وهي خاصية الانكماش الفائق لمؤثر شكل ديريشليه المرتبط . تعني هذه النتيجة أنه إذا كانت دالة ما تقع ضمن نطاق الدالة الأسية لمؤثر شكل ديريشليه - مما يعني أن للدالة، بمعنى ما، عددًا لا نهائيًا من المشتقات في${\displaystyle L^{p}}$—إذن فإن الوظيفة تنتمي إلى${\displaystyle L^{p^{*}}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle p^{*}>p}$( نظرية غروس 1975 رقم 6).

• آدامز، روبرت أ. (1975)، فضاءات سوبوليف ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  65، دار النشر الأكاديمية، رقم ISBN 978-0-12-044150-1، MR 0450957 .
• Aubin، Thierry (1976)، “Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes”، نشرة العلوم الرياضية ، 2e Série، 100 (2): 149–173 ، MR 0488125 
• أوبين، تيري (1982)، التحليل غير الخطي على المتشعبات. معادلات Monge-Ampère , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد.  252، سبرينغر-فيرلاغ ، دوى : 10.1007/978-1-4612-5734-9 ، ISBN 978-0-387-90704-8، MR 0681859 .
• بريزيس، حاييم (1983)، تحليل الوظائف: النظرية والتطبيقات ، باريس: ماسون ، ISBN 0-8218-0772-2
• بريزيس، حاييم (2011)، التحليل الوظيفي، فضاءات سوبوليف والمعادلات التفاضلية الجزئية ، سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ، رقم ISBN 978-0-387-70913-0
• إيفانز، لورانس (1998)، المعادلات التفاضلية الجزئية ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 0-8218-0772-2
• غروس، ليونارد (1975)، "متباينات سوبوليف اللوغاريتمية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 97 (4): 1061-1083 ، doi : 10.2307/2373688 ، JSTOR 2373688 
• ليوني، جيوفاني (2009)، مدخل إلى فضاءات سوبوليف ، دراسات عليا في الرياضيات، الجمعية الرياضية الأمريكية ، رقم ISBN 978-0-8218-4768-8MR 2527916 ، Zbl 1180.46001 ، مراجعة MAA  
• مازيا، فلاديمير ج. (1985)، فضاءات سوبوليف ، سلسلة سبرينغر في الرياضيات السوفيتية، سبرينغر-فيرلاغترجمة من الروسية بواسطة تي أو شابوشنيكوفا.
• ناش، ج. (1958)، "استمرارية حلول المعادلات القطعية والإهليلجية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 80 (4): 931-954 ، Bibcode : 1958AmJM...80..931N ، doi : 10.2307/2372841 ، hdl : 10338.dmlcz/101876 ، JSTOR 2372841 .
• نيتشاس، ج. (2012)، الطرق المباشرة في نظرية المعادلات الإهليلجية ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات.
• نيكولسكي، إس إم (2001) [1994]، "نظريات التضمين" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• شيكورا، أرمين؛ سبكتور، دانيال. فان شافتينجن، جان (2017)، “An${\displaystyle L^{1}}$تقدير من النوع لإمكانات ريسز"، Revista Matemática Iberoamericana ، 33 (1): 291–304 ، arXiv : 1411.2318 ، doi : 10.4171/rmi/937 ، S2CID 55497245 
• شتاين، إلياس (1970)، التكاملات المفردة وخصائص قابلية اشتقاق الدوال ، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 0-691-08079-8