لويس نيرنبرغ

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

كان لويس نيرنبرغ (28 فبراير 1925 - 26 يناير 2020) عالم رياضيات كندي أمريكي ، ويُعتبر أحد أبرز علماء الرياضيات في القرن العشرين. [ 2 ] [ 3 ]

انصبّ معظم عمله على مجال المعادلات التفاضلية الجزئية . وتُعتبر العديد من إسهاماته اليوم أساسية في هذا المجال، مثل مبدأه القوي للقيمة القصوى للمعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة من الرتبة الثانية، ونظرية نيولاندر-نيرنبرغ في الهندسة العقدية . ويُعدّ شخصيةً رائدةً في مجال التحليل الهندسي ، حيث ترتبط العديد من أعماله ارتباطًا وثيقًا بدراسة التحليل العقدي والهندسة التفاضلية . [ 4 ]

سيرة

وُلد نيرنبرغ في هاميلتون، أونتاريو، لأبوين يهوديين مهاجرين من الإمبراطورية الروسية . التحق بمدرسة بارون بينغ الثانوية وجامعة ماكجيل ، وحصل على بكالوريوس العلوم في كلٍ من الرياضيات والفيزياء عام ١٩٤٥. خلال عمله الصيفي في المجلس الوطني للبحوث في كندا ، تعرّف على سارة بول، زوجة إرنست كوران . تحدثت سارة إلى والد كوران، عالم الرياضيات البارز ريتشارد كوران ، لطلب المشورة بشأن الجامعة التي ينبغي على نيرنبرغ التقديم إليها لدراسة الفيزياء النظرية. بعد مناقشتهما، دُعي نيرنبرغ للالتحاق بالدراسات العليا في معهد كوران للعلوم الرياضية بجامعة نيويورك . في عام ١٩٤٩، حصل على درجة الدكتوراه في الرياضيات، تحت إشراف جيمس ستوكر . في أطروحته، حلّ "مسألة فايل" في الهندسة التفاضلية ، وهي مسألة مفتوحة معروفة منذ عام ١٩١٦.

بعد حصوله على الدكتوراه، أصبح أستاذاً في معهد كورانت، حيث بقي طوال مسيرته المهنية. أشرف على 45 طالب دكتوراه، ونشر أكثر من 150 بحثاً بالتعاون مع عدد من المؤلفين، من بينهم هنري بيرستيكي ، وحاييم بريزيس ، ولويس كافاريلي ، ويان يان لي ، وغيرهم الكثير. استمر في إجراء البحوث الرياضية حتى بلغ من العمر 87 عاماً. وفي 26 يناير/كانون الثاني 2020، توفي نيرنبرغ عن عمر ناهز 94 عاماً. [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]

حظي عمل نيرنبرغ بتقدير واسع، بما في ذلك الجوائز والتكريمات التالية:

الإنجازات الرياضية

يشتهر نيرنبرغ بشكل خاص بتعاونه مع شموئيل أغمون وأفرون دوغليس، حيث قاموا بتوسيع نظرية شاودر ، كما كانت تُفهم سابقًا لمعادلات تفاضلية جزئية إهليلجية من الرتبة الثانية، لتشمل الإطار العام للأنظمة الإهليلجية. وقد استخدم، مع باسيليس غيداس ووي مينغ ني، مبدأ القيمة القصوى استخدامًا مبتكرًا لإثبات تناظر العديد من حلول المعادلات التفاضلية. بدأ نيرنبرغ وفريتز جون دراسة فضاء دالة BMO في عام 1961؛ وبينما قدمه جون في الأصل في دراسة المواد المرنة ، فقد طُبِّق أيضًا على ألعاب الحظ المعروفة باسم المارتينجالات . [ 18 ] وقدّم عمله عام 1982 مع لويس كافاريلي وروبرت كون إسهامًا رائدًا في وجود وسلاسة معادلات نافيير-ستوكس ، في مجال ميكانيكا الموائع الرياضية .

وتشمل الإنجازات الأخرى حل مشكلة مينكوفسكي في بعدين، ومتباينة غالياردو-نيرنبرغ للاستيفاء ، ونظرية نيولاندر-نيرنبرغ في الهندسة المعقدة ، وتطوير المؤثرات التفاضلية الزائفة مع جوزيف كون .

طُوِّرت معادلات نافيير-ستوكس في أوائل القرن التاسع عشر لنمذجة فيزياء ميكانيكا الموائع . وفي إنجازٍ رائدٍ في ثلاثينيات القرن العشرين، صاغ جان ليري مفهومًا مؤثرًا للحل الضعيف لهذه المعادلات، وأثبت وجوده. [ 19 ] ثمّ وظّف إيبرهارد هوبف عمله لاحقًا في سياق مسألة القيمة الحدية . [ 20 ]

شهدت سبعينيات القرن العشرين طفرةً نوعيةً بفضل أعمال فلاديمير شيفر . فقد بيّن أنه إذا اقترب حلٌّ سلسٌ لمعادلات نافيير-ستوكس من زمنٍ شاذ، فإنه يُمكن تمديد هذا الحل بشكلٍ متواصلٍ إلى ذلك الزمن الشاذ بعيدًا عن منحنىً في الفضاء، تقريبًا. [ 21 ] ودون افتراضٍ شرطيٍّ على السلاسة، أثبت شيفر وجود حلول ليري-هوف التي تكون سلسةً بعيدًا عن سطحٍ ثنائي الأبعاد في الزمكان. [ 22 ] تُعرف هذه النتائج باسم "الانتظام الجزئي". بعد ذلك بوقتٍ قصير، قام لويس كافاريلي وروبرت كون ونيرنبرغ بتوطين تحليل شيفر وتحسينه. [CKN82] كانت الأداة الرئيسية في تحليل شيفر هي متباينة الطاقة التي تُتيح تحكمًا تكامليًا موضعيًا في الحلول. لا تتحقق هذه المتباينة تلقائيًا في حلول ليري-هوف، لكن شيفر وكافاريلي-كون-نيرنبرغ وضعوا نظريات وجودٍ للحلول التي تُحقق هذه المتباينات. انطلاقاً من هذا التحكم "القبلي"، تمكن كافاريلي-كون-نيرنبرغ من إثبات نتيجة محلية بحتة حول السلاسة بعيداً عن منحنى في الزمكان، مما أدى إلى تحسين الانتظام الجزئي لشيفير.

توصل مايكل سترووي لاحقًا إلى نتائج مماثلة ، كما توصل فانغ هوا لين إلى نسخة مبسطة من تحليل كافاريلي-كون-نيرنبرغ . [ 23 ] [ 24 ] في عام 2014، منحت الجمعية الأمريكية للرياضيات جائزة ستيل للإسهام الرائد في البحث العلمي تقديرًا لبحث كافاريلي-كون-نيرنبرغ ، واصفةً إياه بأنه "معلم بارز" و"مصدر إلهام لجيل من علماء الرياضيات". ولا يزال تحليل نظرية الانتظام لمعادلات نافيير-ستوكس، حتى عام 2021، مسألة مفتوحة معروفة .

المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية غير الخطية

في ثلاثينيات القرن العشرين، وضع تشارلز موري النظرية الأساسية لانتظام المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية شبه الخطية للدوال على نطاقات ثنائية الأبعاد. [ 25 ] قام نيرنبرغ، كجزء من أطروحته للدكتوراه، بتوسيع نتائج موري لتشمل المعادلات الإهليلجية غير الخطية تمامًا. [N53a] استفادت أعمال موري ونيرنبرغ بشكل كبير من ثنائية الأبعاد، وكان فهم المعادلات الإهليلجية ذات النطاقات متعددة الأبعاد مشكلة مفتوحة بارزة.

تُعدّ معادلة مونج-أمبير ، بصيغتها التي تُحدد مُحدِّد مصفوفة هيسيان لدالة ما، أحد الأمثلة القياسية للمعادلات الإهليلجية غير الخطية تمامًا. في محاضرةٍ مُدعوةٍ في المؤتمر الدولي للرياضيات عام 1974 ، أعلن نيرنبرغ عن نتائج توصل إليها مع يوجينيو كالابي حول مسألة القيمة الحدية لمعادلة مونج-أمبير، استنادًا إلى تقديرات انتظام الحدود وطريقة الاستمرارية . [ 26 ] إلا أنهما سرعان ما أدركا أن براهينهما غير مكتملة. [ 26 ] في عام 1977، حسم شيو-يوين تشنغ وشينغ - تونغ ياو مسألة وجود وانتظام داخلي لمعادلة مونج-أمبير ، مُبينين على وجه الخصوص أنه إذا كان مُحدِّد مصفوفة هيسيان لدالة ما أملسًا، فإن الدالة نفسها يجب أن تكون ملساء أيضًا. [ 27 ] استند عملهم إلى العلاقة عبر تحويل ليجندر مع مسألة مينكوفسكي ، التي سبق لهم حلها باستخدام تقديرات هندسية تفاضلية. [ 28 ] وعلى وجه الخصوص، لم يستفد عملهم من انتظام الحدود، وتركت نتائجهم هذه المسائل دون حل.

بالتعاون مع لويس كافاريلي وجويل سبروك ، حلّ نيرنبرغ هذه المسائل، مُثبتًا انتظام الحدود مباشرةً، ومستخدمًا إياه لبناء منهج مباشر لمعادلة مونج-أمبير استنادًا إلى طريقة الاستمرارية. [CNS84] كان كالابي ونيرنبرغ قد أثبتا بنجاح التحكم المنتظم في المشتقتين الأولى والثانية؛ ويكمن مفتاح طريقة الاستمرارية في استمرارية هولدر المنتظمة الأقوى للمشتقات الثانية. وقد وضع كافاريلي ونيرنبرغ وسبروك صيغة دقيقة من ذلك على طول الحدود، [ 29 ] والتي تمكنوا من إثبات كفايتها باستخدام تقديرات كالابي للمشتقة الثالثة في الداخل. [ 30 ] وبالتعاون مع جوزيف كوهن ، توصلوا إلى نتائج مماثلة في سياق معادلة مونج-أمبير المعقدة. [C+85] في مثل هذه الحالات العامة، تعتبر نظرية إيفانز-كريلوف [ 29 ] أداة أكثر مرونة من الحسابات القائمة على الحساب لكالابي.

تمكن كافاريلي ونيرنبرغ وسبروك من توسيع نطاق أساليبهم لتشمل فئات أعم من المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية غير الخطية تمامًا، حيث تُدرس الدوال التي تُحدد فيها علاقات معينة بين القيم الذاتية لمصفوفة هيسيان. [CNS85] وكحالة خاصة من فئة المعادلات الجديدة التي ابتكروها، تمكنوا من حل مسألة القيم الحدية جزئيًا لدوال لاغرانج الخاصة .

الأنظمة الإهليلجية الخطية

يتناول أشهر أعمال نيرنبرغ في خمسينيات القرن العشرين موضوع "انتظام المعادلات الإهليلجية". بالتعاون مع أفرون دوغليس، وسّع نيرنبرغ تقديرات شاودر ، التي اكتُشفت في ثلاثينيات القرن العشرين في سياق المعادلات الإهليلجية من الرتبة الثانية، لتشمل أنظمة إهليلجية عامة من أي رتبة. [DN55] وبالتعاون مع شموئيل أغمون ودوغليس، أثبت نيرنبرغ انتظام الحدود للمعادلات الإهليلجية من أي رتبة. [ADN59] ثم وسّعوا نتائجهم لاحقًا لتشمل أنظمة إهليلجية من أي رتبة. [ADN64] وبالتعاون مع موري، أثبت نيرنبرغ أن حلول الأنظمة الإهليلجية ذات المعاملات التحليلية هي نفسها تحليلية، موسعًا بذلك نطاق العمل المعروف سابقًا ليشمل الحدود. [MN57] تُعتبر هذه المساهمات في مجال انتظام المعادلات الإهليلجية الآن جزءًا من "حزمة معلومات قياسية"، وتُغطى في العديد من الكتب الدراسية. تُعد تقديرات دوغليس-نيرنبرغ وأغمون-دوغليس-نيرنبرغ، على وجه الخصوص، من بين الأدوات الأكثر استخدامًا في المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية. [ 31 ]

بالتعاون مع يانيان لي ، وبدافع من المواد المركبة في نظرية المرونة، درس نيرنبرغ أنظمة القطع الناقص الخطية التي تكون معاملاتها متصلة هولدر في الداخل ولكنها قد تكون غير متصلة على الحدود. وخلصت دراستهما إلى أن تدرج الحل متصل هولدر، مع تقدير L∞ للتدرج مستقل عن المسافة من الحدود. [LN03]

مبدأ الحد الأقصى وتطبيقاته

في حالة الدوال التوافقية ، كان مبدأ القيمة القصوى معروفًا في القرن التاسع عشر، وقد استخدمه كارل فريدريش غاوس . [ 32 ] [ 33 ] في أوائل القرن العشرين، اكتشف سيرجي بيرنشتاين وليون ليختنشتاين وإميل بيكار امتدادات معقدة لمعادلات تفاضلية جزئية إهليلجية عامة من الرتبة الثانية ؛ ولم يُكتشف البرهان الحديث البسيط إلا في عشرينيات القرن العشرين على يد إيبرهارد هوبف . [ 34 ] في أحد أعماله المبكرة، قام نيرنبرغ بتكييف برهان هوبف مع معادلات تفاضلية جزئية مكافئة من الرتبة الثانية ، وبذلك أسس مبدأ القيمة القصوى القوي في هذا السياق. [N53b] وكما في العمل السابق، ترتبت على هذه النتيجة العديد من نظريات التفرد والمقارنة. يُعتبر عمل نيرنبرغ الآن أحد أسس مجال المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة، وهو منتشر في جميع الكتب الدراسية القياسية. [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]

في خمسينيات القرن العشرين، قدّم أ. د. ألكسندروف طريقة انعكاس "المستوى المتحرك" الأنيقة، والتي استخدمها كأساس لتطبيق مبدأ القيمة القصوى لتوصيف الكرة القياسية باعتبارها السطح الفائق المغلق الوحيد في الفضاء الإقليدي ذي الانحناء المتوسط ​​الثابت . وفي عام ١٩٧١، استخدم جيمس سيرين تقنية ألكسندروف لإثبات أن الحلول شديدة التناظر لبعض المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية يجب أن تكون مدعومة على نطاقات متناظرة. أدرك نيرنبرغ أنه يمكن إعادة صياغة عمل سيرين لإثبات أن حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية ترث تناظرات نطاقها والمعادلة نفسها. لا تتحقق هذه النتائج تلقائيًا، ومن الصعب تحديد السمات الخاصة ذات الصلة بمسألة معينة. على سبيل المثال، هناك العديد من الدوال التوافقية في الفضاء الإقليدي التي لا تتمتع بتناظر دوراني، على الرغم من التناظر الدوراني لمؤثر لابلاس والفضاء الإقليدي.

أُحرزت أولى نتائج نيرنبرغ في هذه المسألة بالتعاون مع باسيليس غيداس ووي مينغ ني . وقد طوّروا صيغة دقيقة لتقنية ألكساندروف وسيرين، قابلة للتطبيق حتى على المعادلات الإهليلجية والقطع المكافئ غير الخطية تمامًا. [GNN79] وفي عمل لاحق، طوّروا نسخة من مبرهنة هوبف قابلة للتطبيق على المجالات غير المحدودة، مما حسّن عملهم في حالة المعادلات على هذه المجالات. [GNN81] وتتمحور تطبيقاتهم الرئيسية حول التناظر الدوراني. وبفضل هذه النتائج، في كثير من الحالات ذات الأهمية الهندسية أو الفيزيائية، يكفي دراسة المعادلات التفاضلية العادية بدلًا من المعادلات التفاضلية الجزئية.

لاحقًا، استخدم نيرنبرغ، بالتعاون مع هنري بيرستيكي ، تقدير ألكساندروف-باكلمان-بوتشي [ 29 ] لتحسين وتعديل أساليب جيداس-ني-نيرنبرغ، مما قلل بشكل كبير من الحاجة إلى افتراض انتظام المجال. [BN91a] وفي نتيجة مهمة مع سرينيفاسا فارادان ، واصل بيرستيكي ونيرنبرغ دراسة المجالات دون افتراض انتظامها. بالنسبة للمؤثرات الخطية، ربطوا صحة مبدأ القيمة القصوى بإيجابية القيمة الذاتية الأولى ووجود دالة ذاتية أولى. [BNV94] مع لويس كافاريلي ، طبق بيرستيكي ونيرنبرغ نتائجهم على تناظر الدوال على المجالات الأسطوانية. [BCN96] وقد حصلوا على وجه الخصوص على حل جزئي لتخمين معروف لإنيو دي جورجي حول التناظر الانتقالي، والذي تم حله بالكامل لاحقًا في أطروحة الدكتوراه لأوفيديو سافين. أطروحة. [BCN97b] [ 41 ] [ 42 ] كما طبقوا منهجهم للحصول على ظواهر نوعية في مجالات عامة غير محدودة، موسعين بذلك أعمالاً سابقة لماريا إستيبان وبيير لويس ليونز . [BCN97a]

المتباينات الوظيفية

أثبت كلٌّ من نيرنبرغ وإميليو غالياردو، بشكلٍ مستقل، متبايناتٍ أساسيةً لفضاءات سوبوليف ، تُعرف الآن باسم متباينة غالياردو-نيرنبرغ-سوبوليف ومتباينات غالياردو-نيرنبرغ للاستيفاء . [N59] تُستخدم هذه المتباينات على نطاقٍ واسعٍ في الأدبيات المتعلقة بالمعادلات التفاضلية الجزئية؛ ولذلك، كان من المهم جدًا توسيعها وتكييفها مع مختلف الحالات. وقد أوضح نيرنبرغ نفسه لاحقًا الأسس المحتملة التي يمكن أن تظهر في متباينة الاستيفاء. [N66] وبالتعاون مع لويس كافاريلي وروبرت كون ، وضع نيرنبرغ متبايناتٍ مماثلةً لبعض المعايير الموزونة. [CKN84] وقد خضعت معايير كافاريلي وكوهن ونيرنبرغ لدراسةٍ أكثر شمولًا في أعمالٍ بارزةٍ لفلورين كاترينا وزي-كيانغ وانغ. [ 43 ]

مباشرةً بعد أن قدّم فريتز جون فضاء دالة التذبذب المتوسط ​​المحدود (BMO) في نظرية المرونة ، قام هو ونيرنبرغ بدراسة معمقة لهذا الفضاء، مُثبتين على وجه الخصوص "متباينة جون-نيرنبرغ"، التي تُقيّد حجم المجموعة التي تكون فيها دالة BMO بعيدة عن قيمتها المتوسطة. [JN61] وقد أصبح عملهما، الذي يُعد تطبيقًا لتحليل كالديرون-زيغموند ، جزءًا من الأدبيات الرياضية القياسية. وتُوجد شروحات له في كتب دراسية قياسية في الاحتمالات، [ 44 ] والتحليل المركب، [ 45 ] والتحليل التوافقي، [ 46 ] وتحليل فورييه، [ 47 ] والمعادلات التفاضلية الجزئية. [ 29 ] ومن بين تطبيقات أخرى، يُعد هذا العمل أساسيًا بشكل خاص لمتباينة هارناك ليورغن موزر والأعمال اللاحقة. [ 48 ] [ 49 ] [ 29 ]

قام نيرنبرغ وحاييم بريزيس بتطوير متباينة جون-نيرنبرغ والأسس الأكثر عمومية لنظرية BMO في سياق التطبيقات بين مشعبات ريمانية . [BN95] ومن بين نتائج أخرى، تمكنا من إثبات أن التطبيقات الملساء المتقاربة في معيار BMO لها نفس الدرجة الطوبولوجية ، وبالتالي يمكن تعريف هذه الدرجة بشكل ذي معنى لتطبيقات التذبذب المتوسط ​​المتلاشي (VMO) .

حساب التفاضل والتكامل

في سياق الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ، طوّر كي فان نظرية المينيماكس التي لها تطبيقات في نظرية الألعاب . [ 50 ] [ 51 ] وبالتعاون مع حاييم بريزيس وغيدو ستامباتشيا ، استنتج نيرنبرغ نتائج تُوسّع نظرية فان وتعميم ستامباتشيا لنظرية لاكس-ميلغرام . [BNS72] [ 52 ] ولعملهم تطبيقات في موضوع المتباينات التغيرية . [ 53 ]

من خلال تكييف طاقة ديريشليه ، أصبح من المعتاد تحديد حلول بعض معادلات الموجة كنقاط حرجة للدوال. بالتعاون مع بريزيس وجان ميشيل كورون ، اكتشف نيرنبرغ دالة جديدة يمكن استخدام نقاطها الحرجة مباشرةً لبناء حلول معادلات الموجة. [BCN80] تمكنوا من تطبيق نظرية ممر الجبل على دالتهم الجديدة، مما أثبت وجود حلول دورية لبعض معادلات الموجة، موسعين بذلك نتيجة بول رابينوفيتز . [ 54 ] تضمن جزء من عملهم توسيعات طفيفة لنظرية ممر الجبل القياسية وشرط باليه-سميل ، والتي أصبحت معيارية في الكتب الدراسية. [ 55 ] [ 56 ] [ 57 ] في عام 1991، أوضح بريزيس ونيرنبرغ كيف يمكن تطبيق مبدأ إيكيلاند التبايني لتوسيع نظرية ممر الجبل، مما أدى إلى إمكانية إيجاد نقاط شبه حرجة دون الحاجة إلى شرط باليه-سميل. [BN91b] [ 57 ]

قدّم بريزيس ونيرنبرغ إسهامًا جوهريًا في نظرية النقاط الحرجة، تمثّل في دراسة القيم الصغرى المحلية. [BN93] من حيث المبدأ، يُعدّ اختيار فضاء الدوال بالغ الأهمية، إذ يُمكن لدالة ما أن تُقلّل قيمتها بين الدوال الملساء دون أن تُقلّلها ضمن فئة دوال سوبوليف الأوسع . وبالاستفادة من نتيجة انتظام سابقة لبريزيس وتوسيو كاتو ، استبعد بريزيس ونيرنبرغ هذه الظاهرة لفئة معينة من الدوال الوظيفية من نوع ديريشليه . [ 58 ] وقد وُسّع عملهما لاحقًا على يد خيسوس غارسيا أزوريرو، وخوان مانفريدي ، وإيرينيو بيرال. [ 59 ]

في إحدى أكثر أبحاث نيرنبرغ استشهادًا، درس هو وبريزيس مسألة ديريشليه لمعادلات يامابي على الفضاءات الإقليدية، متتبعين جزءًا من عمل تيري أوبين حول مسألة يامابي . [BN83] كما درس نيرنبرغ، بالتعاون مع بيرستيكي وإيتالو كابوزو-دولسيتا، المعادلات فوق الخطية من نوع يامابي، وقدم نتائج متنوعة حول وجود الحلول وعدم وجودها. [BCN94]

التحليل الوظيفي غير الخطي

أجرى أغمون ونيرنبرغ دراسة مستفيضة للمعادلات التفاضلية العادية في فضاءات باناخ، وربطا بين التمثيلات التقاربية وسلوك الحلول عند اللانهاية.

دuدت+أu=0{\displaystyle {\frac {du}{dt}}+Au=0}

إلى الخصائص الطيفية للمؤثر A. تشمل التطبيقات دراسة مسائل القطع المكافئ والقطع المكافئ الإهليلجي العامة إلى حد ما. [AN63]

قدّم بريزيس ونيرنبرغ دراسةً حول نظرية الاضطراب للاضطرابات غير الخطية للتحويلات غير القابلة للعكس بين فضاءات هيلبرت؛ وتشمل التطبيقات نتائج وجود حلول دورية لبعض معادلات الموجة شبه الخطية. [BN78a] [BN78b]

في عمل جون ناش حول مسألة التضمين المتساوي القياس ، تتمثل الخطوة الأساسية في نتيجة اضطراب صغير، تُذكّر بشدة بنظرية الدالة الضمنية ؛ وقد استخدم في برهانه مزيجًا مبتكرًا من طريقة نيوتن (بصيغة متناهية الصغر) مع عوامل التنعيم. [ 60 ] كان نيرنبرغ واحدًا من بين العديد من علماء الرياضيات الذين وضعوا أفكار ناش في أطر منهجية ومجردة، تُعرف باسم نظريات ناش-موزر . تتميز صياغة نيرنبرغ ببساطتها، حيث تعزل الأفكار التحليلية الأساسية التي يقوم عليها تحليل معظم مخططات تكرار ناش-موزر. [N72] وفي إطار مماثل، أثبت نيرنبرغ صيغة مجردة لنظرية كوشي-كواليفسكي ، كحالة خاصة من نظرية حول قابلية حل المعادلات التفاضلية العادية في عائلات فضاءات باناخ . [N72] وقد بسّط تاكاكي نيشيدا عمله لاحقًا، واستُخدم في تحليل معادلة بولتزمان . [ 61 ] [ 62 ]

مسائل هندسية

استنادًا إلى عمله على المعادلات الإهليلجية غير الخطية تمامًا [N53a] ، قدمت أطروحة الدكتوراه لنيرنبرغ حلًا لمسألة فايل ومسألة مينكوفسكي في مجال الهندسة التفاضلية . [N53c] تتساءل المسألة الأولى عن وجود تضمينات متساوية القياس للمقاييس الريمانية ذات الانحناء الموجب على الكرة ثنائية الأبعاد في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، بينما تتساءل المسألة الثانية عن وجود أسطح مغلقة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد حيث تحدد خريطة غاوس انحناء غاوس . يكمن جوهر الأمر في أن "معادلة داربو" من نظرية الأسطح هي من نوع مونج-أمبير، مما يجعل نظرية الانتظام لنيرنبرغ مفيدة في طريقة الاستمرارية . لا توجد علاقة واضحة بين نظريات التضمين المتساوي القياس الشهيرة لجون ناش ، والتي تم إثباتها بعد ذلك بوقت قصير، ومسألة فايل، التي تتناول في آنٍ واحد التضمينات ذات الانتظام العالي والبعد المشترك المنخفض. [ 63 ] [ 60 ] وقد وُسِّع عمل نيرنبرغ على مسألة مينكوفسكي ليشمل الإطار الريماني بواسطة أليكسي بوغوريلوف . وفي الأبعاد الأعلى، تم حل مسألة مينكوفسكي بواسطة شيو-يوين تشنغ وشينغ -تونغ ياو . [ 28 ] وقد تطورت مناهج أخرى لمسألة مينكوفسكي انطلاقًا من المساهمات الأساسية لكافاريلي ونيرنبرغ وسبروك في نظرية المعادلات الإهليلجية غير الخطية. [CNS85]

في إحدى مقالاته القليلة التي لم تركز على التحليل ، وصف نيرنبرغ وفيليب هارتمان الأسطوانات في الفضاء الإقليدي بأنها الأسطح الفائقة الكاملة الوحيدة المسطحة جوهريًا. [HN59] ويمكن اعتبار هذا أيضًا بمثابة حل لمسألة التضمين المتساوي القياس للمشعبات المسطحة كسطوح فائقة. وقد تناول تشنغ وياو وهارولد روزنبرغ ، وغيرهم، هذه المسائل والتعميمات الطبيعية لاحقًا. [ 64 ] [ 65 ]

أجاب نيرنبرغ وطالبه في الدكتوراه، أوغست نيولاندر، على سؤال طرحه شينغ-شين تشيرن وأندريه ويل على نيرنبرغ، فأثبتا ما يُعرف الآن بنظرية نيولاندر-نيرنبرغ ، التي تُقدّم الشرط الجبري الدقيق الذي بموجبه تنشأ بنية شبه معقدة من أطلس إحداثيات هولومورفي. [NN57] تُعتبر نظرية نيولاندر-نيرنبرغ الآن نتيجةً أساسيةً في الهندسة المعقدة ، على الرغم من أن النتيجة نفسها أكثر شهرةً من البرهان، الذي لا يُغطّى عادةً في النصوص التمهيدية، لأنه يعتمد على أساليب متقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية. درس نيرنبرغ وجوزيف كون ، استنادًا إلى عمل سابق لكون، مسألة ∂ -نيومان على المجالات شبه المحدبة، وأثبتا علاقة نظرية الانتظام بوجود تقديرات شبه إهليلجية لمؤثر ∂ . [KN65b]

يُسند نموذج قرص بوانكاريه الكلاسيكي مقياس الفضاء الزائدي إلى الكرة الوحدوية. درس نيرنبرغ وتشارلز لوينر الوسائل الأكثر عمومية لإسناد مقياس ريماني كامل بشكل طبيعي إلى مجموعات فرعية مفتوحة محدودة من الفضاء الإقليدي . [LN74] تُظهر الحسابات الهندسية أنه يمكن استخدام حلول معادلات يامابي شبه الخطية لتعريف مقاييس ذات انحناء قياسي ثابت، وأن المقياس يكون كاملاً إذا تباعد الحل إلى اللانهاية بالقرب من الحدود. أثبت لوينر ونيرنبرغ وجود مثل هذه الحلول على نطاقات معينة. وبالمثل، درسوا معادلة مونج-أمبير معينة تتميز بخاصية أنه لأي حل سالب يمتد باستمرار إلى الصفر عند الحدود، يمكن تعريف مقياس ريماني كامل عبر مصفوفة هيسيان. تتمتع هذه المقاييس بخاصية خاصة هي الثبات الإسقاطي، بحيث يصبح التحويل الإسقاطي من نطاق معين إلى آخر تماثلًا قياسيًا للمقاييس المقابلة.

المؤثرات التفاضلية الزائفة

قدّم جوزيف كون ونيرنبرغ مفهوم المؤثرات التفاضلية الجزئية الزائفة . [KN65a] درس نيرنبرغ وفرانسوا تريف مثال ليفي الشهير لمعادلة تفاضلية جزئية خطية غير قابلة للحل من الرتبة الثانية، واكتشفا الشروط التي تجعلها قابلة للحل، في سياق كل من المؤثرات التفاضلية الجزئية والمؤثرات التفاضلية الجزئية الزائفة. [NT63] [NT70] أصبح تقديمهما لشروط قابلية الحل المحلية بمعاملات تحليلية محور اهتمام باحثين مثل ر. بيلز، وس. فيفرمان ، و ر. د. موير، ولارس هورماندر ، ونيلز دينكر ، الذين حلّوا شرط التفاضل الجزئي الزائف لمعادلة ليفي. وقد فتح هذا آفاقًا أوسع في مجال قابلية الحل المحلية للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية.

المنشورات الرئيسية

الكتب والاستطلاعات.

N73.
نيرنبرغ، لويس (1973). محاضرات في المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية . سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات، مجلس مؤتمرات العلوم الرياضية. المجلد  17. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات . doi : 10.1090/cbms/017 . ISBN 978-0-8218-1667-7. السيد 0450755 . زبل 0267.35001 .  
N94.
نيرنبرغ، لويس (1994). "المعادلات التفاضلية الجزئية في النصف الأول من القرن". في: بيير، جان بول (محرر). تطور الرياضيات 1900-1950 . ندوة عُقدت في لوكسمبورغ، يونيو 1992. بازل: بيركهاوزر . ص 479-515 . ISBN  3-7643-2821-5. السيد 1298641 . زبل 0807.01017 .  
رقم 1.
نيرنبرغ، لويس (2001). موضوعات في التحليل الوظيفي غير الخطي . سلسلة محاضرات كورانت في الرياضيات. المجلد  6. الفصل 6 بقلم إي. زيندر . ملاحظات بقلم آر. إيه. أرتينو (طبعة منقحة من الطبعة الأصلية لعام 1974  ). نيويورك: جامعة نيويورك، معهد كورانت للعلوم الرياضية . doi : 10.1090/cln/006 . ISBN 0-8218-2819-3. السيد 0488102 . زبل 0286.47037 .  
N18.
نيرنبرغ، لويس (2018). محاضرات في المعادلات التفاضلية والهندسة التفاضلية . مواضيع كلاسيكية في الرياضيات. المجلد  7. مع مقدمة بقلم شيو-يون تشنغ وليتشن جي . بكين: دار النشر للتعليم العالي. ISBN 978-7-04-050302-9. السيد 3889014 . زبل 1465.35001 .  

مقالات.

N53a.
نيرنبرغ، لويس (1953). " حول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية غير الخطية واستمرارية هولدر". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 6 (1): 103-156 . doi : 10.1002/cpa.3160060105 . MR 0064986. Zbl 0050.09801 .  (خطأ: دوى : 10.1002/cpa.3160060304 ) 
N53b.
نيرنبرغ، لويس (1953). " مبدأ أقصى قوي للمعادلات القطعية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 6 (2): 167-177 . doi : 10.1002/cpa.3160060202 . MR 0055544. Zbl 0050.09601 .  
N53c.
نيرنبرغ، لويس (1953). "مسألتا ويل ومينكوفسكي في الهندسة التفاضلية على نطاق واسع". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 6 (3): 337-394 . doi : 10.1002/cpa.3160060303 . MR 0058265. Zbl 0051.12402 .  
DN55.
دوغليس، أفرون؛ نيرنبرغ، لويس (1955). " تقديرات داخلية لأنظمة المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 8 (4): 503-538 . doi : 10.1002/cpa.3160080406 . MR 0075417. Zbl 0066.08002 .  
N55.
نيرنبرغ، لويس (1955). " ملاحظات حول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية القوية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 8 (4): 649-675 . doi : 10.1002/cpa.3160080414 . MR 0075415. Zbl 0067.07602 .  
MN57.
موري، سي بي جونيور ؛ نيرنبرغ، إل. (1957). "حول تحليلية حلول الأنظمة الإهليلجية الخطية للمعادلات التفاضلية الجزئية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 10 (2): 271-290 . doi : 10.1002/cpa.3160100204 . MR 0089334. Zbl 0082.09402 .  
NN57.
نيولاندر، أ.؛ نيرنبرغ، ل. (1957). "الإحداثيات التحليلية المركبة في المشعبات شبه المركبة". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 65 (3): 391-404 . doi : 10.2307/1970051 . JSTOR 1970051. MR 0088770. Zbl 0079.16102 .   
ADN59.
أغمون، س .؛ دوغليس، أ.؛ نيرنبرغ، ل. (1959). "تقديرات بالقرب من الحدود لحلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية التي تحقق شروطًا حدودية عامة. الجزء الأول". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 12 (4): 623-727 . doi : 10.1002/cpa.3160120405 . MR 0125307. Zbl 0093.10401 .  
N59.
نيرنبرغ، L. (1959). "على المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. فئة العلوم . الدوري الثالث. 13 (2): 115 – 162.ر 0109940 . زبل 0088.07601 .  
JN61.
جون، ف.؛ نيرنبرغ، ل . (1961). "حول الدوال ذات التذبذب المتوسط ​​المحدود". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 14 (3): 415-426 . doi : 10.1002/cpa.3160140317 . MR 0131498. Zbl 0102.04302 .  
AN63.
أغمون، س .؛ نيرنبرغ، ل . (1963). "خصائص حلول المعادلات التفاضلية العادية في فضاء باناخ". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 16 (2): 121-239 . doi : 10.1002/cpa.3160160204 . MR 0155203. Zbl 0117.10001 .  
NT63.
نيرنبرغ، ل.؛ تريفز، ف. (1963). "قابلية حل معادلة تفاضلية جزئية خطية من الرتبة الأولى". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 16 (3): 331-351 . doi : 10.1002/cpa.3160160308 . MR 0163045. Zbl 0117.06104 .  
ADN64.
أغمون، س .؛ دوغليس، أ.؛ نيرنبرغ، ل. (1964). "تقديرات بالقرب من الحدود لحلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية التي تحقق شروطًا حدودية عامة. الجزء الثاني". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 17 (1): 35-92 . doi : 10.1002/cpa.3160170104 . MR 0162050. Zbl 0123.28706 .  
KN65a.
كون، ج. ج .؛ نيرنبرغ، ل . (1965). "جبر المؤثرات التفاضلية الزائفة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 18 ( 1-2 ): 269-305 . doi : 10.1002/cpa.3160180121 . MR 0176362. Zbl 0171.35101 .  
KN65b.
كون، ج. ج .؛ نيرنبرغ، ل . (1965). "مسائل القيم الحدية غير القسرية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 18 (3): 443-492 . doi : 10.1002/cpa.3160180305 . MR 0181815. Zbl 0125.33302 .  
N66.
نيرنبرغ، L. (1966). "عدم المساواة في الاستيفاء الممتد" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. فئة العلوم . الدوري الثالث. 20 ( 4) : 733-737.ر.م 0208360 . زبل 0163.29905 .  
KN67.
كون، ج. ج .؛ نيرنبرغ، ل . (1967). "معادلات إهليلجية-قطع مكافئ متدهورة من الرتبة الثانية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 20 (4): 797-872 . doi : 10.1002/cpa.3160200410 . MR 0234118. Zbl 0153.14503 .  
NT70.
نيرنبرغ، لويس؛ تريف، فرانسوا (1970). "حول قابلية الحل الموضعي للمعادلات التفاضلية الجزئية الخطية. الجزء الأول: الشروط اللازمة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 23 (1): 1-38 . doi : 10.1002/cpa.3160230102 . MR 0264470. Zbl 0191.39103 .  
BNS72.
بريزيس، هـ . نيرنبرغ، L.؛ ستامباتشيا، ج. (1972). “ملاحظة حول مبدأ الحد الأدنى لـ Ky Fan”. Bollettino della Unione Matematica Italiana . السلسلة الرابعة. 6 : 293 – 300. ر 0324498 . زبل 0264.49013 .  
LN74.
لوينر، تشارلز ؛ نيرنبرغ، لويس (1974). "المعادلات التفاضلية الجزئية الثابتة تحت التحويلات المطابقة أو الإسقاطية". في: أهلفورس، لارس ف.؛ كرا ، إيروين ؛ ماسكيت، برنارد ؛ نيرنبرغ، لويس (محررون). مساهمات في التحليل: مجموعة أوراق بحثية مهداة إلى ليبمان بيرس . نيويورك: أكاديميك برس . ص 245-272 . doi : 10.1016/B978-0-12-044850-0.50027-7 . MR 0358078. Zbl 0298.35018 .   
KN77.
كيندرلهرر، د . نيرنبرغ، L. (1977). "الانتظام في مشاكل الحدود الحرة" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. فئة العلوم . الدوري الرابع. 4 (2): 373- 391. ر.ب 0440187 . زبل 0352.35023 .  
BN78a.
بريزيس، هـ . نيرنبرغ، L. (1978). "توصيف نطاقات بعض العوامل غير الخطية وتطبيقات مشاكل القيمة الحدودية" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. فئة العلوم . الدوري الرابع. 5 (2): 225 – 326.ر.م 0513090 . زبل 0386.47035 .  
BN78b.
بريزيس، هـ .؛ نيرنبرغ، ل . (1978). "الاهتزازات القسرية لمعادلة موجية غير خطية". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 31 (1): 1-30 . doi : 10.1002/cpa.3160310102 . MR 0470377. Zbl 0378.35040 .  
BCN80.
بريزيس، حاييم ؛ كورون، جان ميشيل ؛ نيرنبرغ، لويس (1980). "الاهتزازات الحرة لمعادلة موجية غير خطية ونظرية لـ ب. رابينوفيتز". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 33 (5): 667-684 . doi : 10.1002/cpa.3160330507 . MR 0586417. Zbl 0484.35057 .  
GNN81.
جيداس، ب .؛ ني، وي مينغ ؛ نيرنبرغ، ل. (1981). "تناظر الحلول الموجبة للمعادلات الإهليلجية غير الخطية في R n ". في: ناخبين، ليوبولدو (محرر). التحليل الرياضي وتطبيقاته. الجزء أ . مقالات مهداة إلى لوران شوارتز بمناسبة عيد ميلاده الخامس والستين. سلسلة التقدم في الرياضيات، دراسات تكميلية. المجلد  7أ. نيويورك - لندن: أكاديميك برس . الصفحات 369-402 . ISBN  0-12-512801-0. السيد 0634248 . زبل 0469.35052 .  
CKN82.
كافاريلي، ل .؛ كون، ر .؛ نيرنبرغ، ل. (1982). "الانتظام الجزئي للحلول الضعيفة المناسبة لمعادلات نافيير-ستوكس". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 35 (6): 771-831 . Bibcode : 1982CPAM...35..771C . doi : 10.1002/cpa.3160350604 . MR 0673830. Zbl 0509.35067 .  
BN83.
بريزيس، حاييم ؛ نيرنبرغ، لويس (1983). " حلول موجبة لمعادلات إهليلجية غير خطية تتضمن أسس سوبوليف الحرجة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 36 (4): 437-477 . doi : 10.1002/cpa.3160360405 . MR 0709644. Zbl 0541.35029 .  
CNS84.
كافاريلي، ل .؛ نيرنبرغ، ل.؛ سبروك، ج. (1984). "مسألة ديريشلي للمعادلات الإهليلجية غير الخطية من الرتبة الثانية. الجزء الأول: معادلة مونج-أمبير". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 37 (3): 369-402 . doi : 10.1002/cpa.3160370306 . MR 0739925. Zbl 0598.35047 .  (خطأ: دوى : 10.1002/cpa.3160400508 ) 
C+85.
كافاريلي، ل .؛ كون، ج. ج .؛ نيرنبرغ، ل.؛ سبروك، ج. (1985). "مسألة ديريشليه للمعادلات الإهليلجية غير الخطية من الرتبة الثانية. الجزء الثاني: معادلات مونج-أمبير المعقدة، والمعادلات الإهليلجية المنتظمة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 38 (2): 209-252 . doi : 10.1002/cpa.3160380206 . MR 0780073. Zbl 0598.35048 .  
BN91a.
بيريستيكي، هـ ؛ نيرنبرغ، L. (1991). ""عن طريقة تحريك الطائرات وطريقة الانزلاق"." Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática . سلسلة جديدة. 22 (1): 1– 37. دوى : 10.1007/BF01244896 . السيد 1159383 . S2CID 119878360 . زبل 0784.35025 .   
BN91b.
بريزيس، حاييم ؛ نيرنبرغ، لويس (1991). "ملاحظات حول إيجاد النقاط الحرجة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 44 ( 8-9 ): 939-963 . doi : 10.1002/cpa.3160440808 . MR 1127041. Zbl 0751.58006 .  
BN93.
بريزيس, حاييم ; نيرنبرغ، لويس (1993). "H1 مقابل C1 المصغرات المحلية" . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences، Série I . 317 (5): 465 – 472. ر 1239032 . زبل 0803.35029 .  
BCN94.
بيرستيكي، هـ .؛ كابوزو-دولسيتا، إ.؛ نيرنبرغ، ل. (1994). "مسائل القطع الناقص غير المحددة فائقة الخطية ونظريات ليوفيل غير الخطية" . الأساليب الطوبولوجية في التحليل غير الخطي . 4 (1): 59-78 . doi : 10.12775/TMNA.1994.023 . MR 1321809. Zbl 0816.35030 .  
BNV94.
بيرستيكي، هـ .؛ نيرنبرغ، ل.؛ فارادان، س. ر. س. (1994). "القيمة الذاتية الرئيسية ومبدأ القيمة القصوى للمؤثرات الإهليلجية من الرتبة الثانية في المجالات العامة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 47 (1): 47-92 . doi : 10.1002/cpa.3160470105 . MR 1258192. Zbl 0806.35129 .  
BCN95.
بيرستيكي، هنري ؛ كابوزو - دولتشيتا، إيتالو؛ نيرنبرغ، لويس (1995). "الأساليب التباينية للمسائل الإهليلجية المتجانسة فائقة الخطية غير المحددة". المعادلات التفاضلية غير الخطية وتطبيقاتها . 2 (4): 553-572 . doi : 10.1007/BF01210623 . MR 1356874. S2CID 119668931. Zbl 0840.35035 .   
BN95.
بريزيس، هـ .؛ نيرنبرغ، ل. (1995). " نظرية الدرجة وBMO. الجزء الأول: المشعبات المدمجة بدون حدود". مجلة Selecta Mathematica . سلسلة جديدة. 1 (2): 197-263 . doi : 10.1007/BF01671566 . MR 1354598. S2CID 195270732. Zbl 0852.58010 .   
BCN96.
بيرستيكي، هـ .؛ كافاريلي، ل. أ .؛ نيرنبرغ، ل. (1996). "متباينات لمعادلات القطع الناقص من الرتبة الثانية مع تطبيقات على المجالات غير المحدودة. الجزء الأول". مجلة ديوك الرياضية . 81 (2): 467-494 . doi : 10.1215/S0012-7094-96-08117-X . MR 1395408. Zbl 0860.35004 .  
BCN97a.
بيرستيكي، هـ .؛ كافاريلي، ل. أ .؛ نيرنبرغ، ل. (1997). "الرتابة للمعادلات الإهليلجية في مجالات ليبشيتز غير المحدودة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 50 (11): 1089-1111 . doi : 10.1002/(SICI)1097-0312(199711)50:11 < 1089::AID-CPA2 > 3.0.CO ; 2-6 . MR 1470317 . Zbl 0906.35035 .  
BCN97b.
الأماكن القريبة : كافاريللي, لويس ; نيرنبرغ، لويس (1997). "المزيد من الخصائص النوعية للمعادلات الإهليلجية في المجالات غير المحدودة" . Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. فئة العلوم . الدوري الرابع. 25 ( 1 – 2 ) : 69 – 94. ر 1655510 . زبل 1079.35513 .  
LN03.
لي، يانيان ؛ نيرنبرغ، لويس (2003). " تقديرات للأنظمة الإهليلجية من المواد المركبة". مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية . 56 (7): 892-925 . doi : 10.1002/cpa.10079 . MR 1990481. S2CID 122040650. Zbl 1125.35339 .   

مراجع

  1. ↑ لوسون، إتش. بلين الابن (21 أبريل 2012). "تأملات في الحياة الرياضية المبكرة لبوب أوسرمان" (ملف PDF) .
  2. ↑ ألين جاكسون (مارس 2002). "مقابلة مع لويس نيرنبرغ" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 49 (4): 441-449 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 3 مارس 2016. تم الاطلاع عليه في 26 مارس 2015 .
  3. ↑ كافاريلي، لويس أ.؛ لي، يان يان. مقدمة [مُهداة إلى لويس نيرنبرغ بمناسبة عيد ميلاده الخامس والثمانين. الجزء الأول]. أنظمة ديناميكية منفصلة ومستمرة 28 (2010)، العدد 2، i–ii. doi:10.3934/dcds.2010.28.2i
  4. ↑ ياو، شينغ تونغ. وجهات نظر حول التحليل الهندسي. دراسات في الهندسة التفاضلية. المجلد العاشر، 275-379، Surv. Differ. Geom.، 10، دار النشر الدولية، سومرفيل، ماساتشوستس، 2006.
  5. ^ Morto il grande matematico لويس نيرنبرج (باللغة الإيطالية)
  6. ↑ تشانغ، كينيث (31 يناير 2020). "لويس نيرنبرغ، 'أحد أعظم علماء الرياضيات'، يتوفى عن عمر يناهز 94 عامًا" . نيويورك تايمز . تم الاطلاع عليه في 19 فبراير 2020 .
  7. ↑ شيلدز، بريت؛ باراني، مايكل جيه. (17 فبراير 2020). "لويس نيرنبرغ (1925-2020)" . مجلة نيتشر . تم الاطلاع عليه في 19 فبراير 2020 .
  8. ↑ "تصفح الجوائز والتكريمات" . الجمعية الأمريكية للرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2022 .
  9. ↑ "لويس نيرنبرغ" . الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم . تم الاطلاع عليه في 5 مايو 2022 .
  10. ↑ "لويس نيرنبرغ" . www.nasonline.org . تم الاطلاع عليه في 5 مايو 2022 .
  11. ↑ «جائزة كرافورد 1982» . جائزة كرافورد . 25 مايو 1982.
  12. ↑ "جائزة جيفري ويليامز" . CMS-SMC . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2022 .
  13. ↑ "تاريخ أعضاء الجمعية الفلسفية الأمريكية" . search.amphilsoc.org . تم الاطلاع عليه في 5 مايو 2022 .
  14. ↑ جوائز ستيل لعام 1994. إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات 41 (1994)، العدد 8، 905-912.
  15. ↑ لويس نيرنبرغ يحصل على الميدالية الوطنية للعلوم. بمساهمة من لويس كافاريلي وجوزيف ج. كون. إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات 43 (1996)، العدد 10، 1111-1116.
  16. ↑ تم منح ميدالية تشيرن لعام 2010. إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات 57 (2010)، العدد 11، 1472-1474.
  17. ↑ "2015: جون إف. ناش ولويس نيرنبرغ" . الأكاديمية النرويجية للعلوم والآداب . تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 أغسطس 2022 .
  18. ↑ «جون إف. ناش الابن ولويس نيرنبرغ يتقاسمان جائزة أبيل» . جائزة أبيل . 25 مارس 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 مارس 2015 .
  19. ↑ لراي، جان. Sur le mouvement d'un Liquide Visqueux emplissant l'espace. اكتا الرياضيات. 63 (1934)، لا. 1، 193-248.
  20. ^ هوبف، إبرهارد. Über die Anfangswertaufgabe für die Hydrodynamischen Grundgleichungen. الرياضيات. ناشر. 4 (1951)، 213-231.
  21. ↑ شيفر، فلاديمير. الانتظام الجزئي لحلول معادلات نافيير-ستوكس. مجلة المحيط الهادئ للرياضيات 66 (1976)، العدد 2، 535-552.
  22. ↑ شيفر، فلاديمير. مقياس هاوسدورف ومعادلات نافيير-ستوكس. مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 55 (1977)، العدد 2، 97-112.
  23. ↑ سترو، مايكل. حول نتائج الانتظام الجزئي لمعادلات نافيير-ستوكس. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 41 (1988)، العدد 4، 437-458.
  24. ↑ لين، فانغوا. برهان جديد لنظرية كافاريلي-كون-نيرنبرغ. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 51 (1998)، العدد 3، 241-257.
  25. ↑ موري، تشارلز ب.، الابن. حول حلول المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية شبه الخطية. معاملات الجمعية الأمريكية للرياضيات 43 (1938)، العدد 1، 126-166.
  26. 1 2 انظر الصفحة الثانية من [CNS84] .
  27. ↑ تشنغ، شيو يوين؛ ياو، شينغ تونغ. حول انتظام معادلة مونج-أمبير det(∂ 2 u/∂x i ∂x j ) = F(x,u) . مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 30 (1977)، العدد 1، 41-68.
  28. 1 2 تشنغ، شيو يوين؛ ياو، شينغ تونغ. حول انتظام حل مسألة مينكوفسكي ذات الأبعاد n. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 29 (1976)، العدد 5، 495-516.
  29. 1 2 3 4 5 جيلبارج، ديفيد؛ ترودينجر، نيل س. المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية. طبعة مُعاد طباعتها من طبعة 1998. كلاسيكيات في الرياضيات. سبرينغر-فيرلاغ، برلين، 2001. xiv+517 صفحة. ISBN 3-540-41160-7
  30. ↑ كالابي، يوجينيو. الكرات الفائقة الأفينية غير المناسبة من النوع المحدب وتعميم لنظرية لك. يورغنز. مجلة ميشيغان للرياضيات 5 (1958)، 105-126.
  31. ^ موري، تشارلز ب. الابن تكاملات متعددة في حساب التفاضل والتكامل من الاختلافات. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 130 Springer-Verlag New York, Inc., New York 1966 ix+506 pp.
  32. ↑ تم أخذ التعليقات والمراجع التاريخية منتعليق جيمس سيرين في الصفحة 9 من كتاب الأعمال المختارة لإيبرهارد هوبف مع التعليقات. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2002. 24+386 صفحة.
  33. ^ غاوس، CF Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus. نتيجة لـ Beobachtungen des Magnetischen Vereins im Jahre 1838.
  34. ^ هوبف، إبرهارد. Elementare Bemerkungen über die Lösungen Partieller Differentialgleichngen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus (1927)
  35. ↑ إيفانز، لورانس سي. المعادلات التفاضلية الجزئية. الطبعة الثانية. دراسات عليا في الرياضيات، 19. الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 2010. 749 صفحة + 22 صفحة تمهيدية.
  36. ↑ فريدمان، أفنر. المعادلات التفاضلية الجزئية من النوع المكافئ. برنتيس هول، إنك، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي 1964 xiv+347 صفحة.
  37. ↑ لاديجينسكايا، أو.أ؛ سولونيكوف، ف.أ؛ أورالتشيفا، ن.ن. المعادلات الخطية وشبه الخطية من النوع المكافئ. ترجمات من دراسات رياضية، المجلد 23، الجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند 1968، 11+648 صفحة.
  38. ↑ ليبرمان، غاري م. المعادلات التفاضلية المكافئة من الدرجة الثانية. دار النشر العالمية العلمية، ريفر إيدج، نيوجيرسي، 1996. xii+439 صفحة.
  39. ↑ بروتر، موراي هـ.؛ واينبرغر، هانز ف. مبادئ القيم القصوى في المعادلات التفاضلية. طبعة منقحة من الطبعة الأصلية لعام 1967. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1984. x+261 صفحة.
  40. ↑ سمولر، جويل. موجات الصدمة ومعادلات رد الفعل والانتشار. الطبعة الثانية. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، 258. Springer-Verlag، New York، 1994. xxiv+632 pp.
  41. ↑ سافين، أوفيديو. انتظام مجموعات المستوى المسطحة في التحولات الطورية. حوليات الرياضيات (2) 169 (2009)، العدد 1، 41-78.
  42. ^ ديل بينو ، مانويل. كووالتشيك، ميشال؛ وي، جونتشنغ. على تخمين دي جيورجي في البعد N≥9. آن. الرياضيات. (2) 174 (2011)، رقم. 3، 1485-1569.
  43. ↑ كاترينا، فلورين؛ وانغ، تشي-تشيانغ. حول متراجحات كافاريلي-كون-نيرنبرغ: الثوابت الدقيقة، والوجود (وعدم الوجود)، وتناظر الدوال المتطرفة. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 54 (2001)، العدد 2، 229-258.
  44. ^ ريفوز، دانيال. يور، مارك. مارتينجال المستمر والحركة البراونية. الطبعة الثالثة. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، 293. Springer-Verlag، Berlin، 1999. xiv+602 pp. ISBN 3-540-64325-7
  45. ↑ غارنيت، جون ب. الدوال التحليلية المحدودة. الطبعة الأولى المنقحة. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، 236. سبرينغر، نيويورك، 2007. 14+459 صفحة. ISBN 978-0-387-33621-3،0-387-33621-4
  46. ^ غارسيا-كويرفا، خوسيه. روبيو دي فرانسيا، خوسيه إل. عدم المساواة المعيارية الموزونة والمواضيع ذات الصلة. دراسات الرياضيات في شمال هولندا، 116. Notas de Matemática، 104. شركة شمال هولندا للنشر، أمستردام، 1985. x+604 ص ISBN 0-444-87804-1
  47. ↑ غرافاكوس، لوكاس. تحليل فورييه الحديث. الطبعة الثالثة. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، 250. سبرينغر، نيويورك، 2014. 624 صفحة + 16 صفحة تمهيدية. ISBN 978-1-4939-1229-2،978-1-4939-1230-8
  48. ↑ موسر، يورغن حول نظرية هارناك للمعادلات التفاضلية الإهليلجية. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 14 (1961)، 577-591.
  49. ↑ موسر، يورغن. متباينة هارناك للمعادلات التفاضلية المكافئة. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 17 (1964)، 101-134.
  50. ↑ فان، كي. تعميم لنظرية النقطة الثابتة لتيكونوف. حوليات الرياضيات 142 (1960)، 305-310.
  51. ↑ فان، كي. متباينة مينيمكس وتطبيقاتها. المتباينات، الجزء الثالث (وقائع الندوة الثالثة، جامعة كاليفورنيا، لوس أنجلوس، كاليفورنيا، 1969؛ مهداة إلى ذكرى ثيودور إس. موتزكين)، الصفحات 103-113. دار النشر الأكاديمية، نيويورك، 1972.
  52. ↑ ستامباتشيا، جويدو. أشكال ثنائية قسرية على المجموعات المحدبة. سي آر أكاد. الخيال العلمي. باريس 258 (1964)، 4413-4416.
  53. ↑ أوبين، جان بيير؛ إيكيلاند، إيفار. التحليل غير الخطي التطبيقي. طبعة مُعاد طباعتها من النسخة الأصلية لعام 1984. منشورات دوفر، مينولا، نيويورك، 2006. 518 صفحة + x.
  54. ↑ رابينوفيتز، بول هـ. الاهتزازات الحرة لمعادلة موجية شبه خطية. مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية 31 (1978)، العدد 1، 31-68.
  55. ↑ ماوين، جان؛ ويليم، ميشيل. نظرية النقطة الحرجة والأنظمة الهاميلتونية. العلوم الرياضية التطبيقية، 74. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1989. xiv+277 صفحة.
  56. ^ سترو، مايكل. الأساليب المتغيرة. تطبيقات على المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية والأنظمة الهاملتونية. الطبعة الرابعة. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. فولج. سلسلة من المسوحات الحديثة في الرياضيات، 34. Springer-Verlag، Berlin، 2008. xx+302 pp.
  57. 1 2 ويليم، ميشيل. نظريات المينيماكس. التقدم في المعادلات التفاضلية غير الخطية وتطبيقاتها، 24. بيركهاوزر بوسطن، إنك، بوسطن، ماساتشوستس، 1996. x+162 صفحة.
  58. ↑ بريزيس، حاييم؛ كاتو، توسيو. ملاحظات حول مؤثر شرودنغر مع الكمونات العقدية الشاذة. مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية (9) 58 (1979)، العدد 2، 137-151.
  59. ↑ غارسيا أزوريرو، جيه بي؛ بيرال ألونسو، آي؛ مانفريدي، خوان جيه. سوبوليف مقابل هولدر للمُصغِّرات المحلية والتعددية العالمية لبعض المعادلات الإهليلجية شبه الخطية. كوميون. كونتمب. ماث. 2 (2000)، العدد 3، 385-404.
  60. 1 2 ناش، جون. مشكلة التضمين للمشعبات الريمانية. حوليات الرياضيات (2) 63 (1956)، 20-63.
  61. ↑ نيشيدا، تاكاكي. ملاحظة حول نظرية نيرنبرغ. مجلة الهندسة التفاضلية 12 (1977)، العدد 4، 629-633
  62. ↑ نيشيدا، تاكاكي. الحد الديناميكي للموائع لمعادلة بولتزمان غير الخطية إلى مستوى معادلة أويلر القابلة للانضغاط. مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية 61 (1978)، العدد 2، 119-148.
  63. ↑ ناش، جون. C 1 التضمينات متساوية القياس. حوليات الرياضيات (2) 60 (1954)، 383-396.
  64. ↑ تشنغ، شيو يوين؛ ياو، شينغ تونغ. الأسطح الفائقة ذات الانحناء القياسي الثابت. حوليات الرياضيات 225 (1977)، العدد 3، 195-204.
  65. ↑ روزنبرغ، هارولد. الأسطح الفائقة ذات الانحناء الثابت في الأشكال الفضائية. نشرة العلوم الرياضية 117 (1993)، العدد 2، 211-239.