مجال الإزاحة (الميكانيكا)

استخدام${\displaystyle \mathbf {X} }$بدلاً من${\displaystyle P_{i}}$و${\displaystyle \mathbf {x} }$بدلاً من${\displaystyle p_{i}\,\!}$، وكلاهما متجهان من أصل نظام الإحداثيات إلى كل نقطة على حدة، لدينا الوصف اللاغرانجي لمتجه الإزاحة: $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$هي متجهات الوحدة التي تحدد أساس نظام الإحداثيات المادية (إطار الجسم).

معبر عنها بدلالة إحداثيات المادة، أي${\displaystyle \mathbf {u} }$كدالة لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$، حقل الإزاحة هو: $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _ {iJ} X_ {J}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {b} (t)}$يمثل متجه الإزاحة انتقال الجسم الصلب.

ينتج عن الاشتقاق الجزئي لمتجه الإزاحة بالنسبة لإحداثيات المادة موتر تدرج إزاحة المادة${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \,\!}$وهكذا لدينا، $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X}}\mathbf {u} =\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {R} =\mathbf {F} -\mathbf {R} \qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_ {K}}} = {\ frac {\ جزئي x_ {i}} {\ جزئي X_ {K}}} - \ alpha _ {iK} = F_ {iK} - \ alpha _ {iK}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {F} }$هو موتر تدرج تشوه المادة و${\displaystyle \mathbf {R} }$هو دوران.

في الوصف الأويلري ، المتجه الممتد من جسيم${\displaystyle P}$يُطلق على المسافة من الوضع غير المشوه إلى موقعها في الوضع المشوه اسم متجه الإزاحة : $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=U_{J}\mathbf {E} _{J}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {E} _{i}}$هي متجهات الوحدة المتعامدة التي تحدد أساس نظام الإحداثيات المكانية ( إطار المختبر ).

معبر عنها بدلالة الإحداثيات المكانية، أي${\displaystyle \mathbf {U} }$كدالة لـ${\displaystyle \mathbf {x} }$، حقل الإزاحة هو: $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$

ينتج عن المشتق المكاني ، أي المشتق الجزئي لمتجه الإزاحة بالنسبة للإحداثيات المكانية، موتر تدرج الإزاحة المكانية.${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} \,\!}$وهكذا لدينا، $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} =\mathbf {R} ^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} =\mathbf {R} ^{T}-\mathbf {F} ^{-1}\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}=\alpha _{Jk}-F_{Jk}^{-1}\,,}$$ أين${\displaystyle \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {H} }$هو موتر تدرج التشوه المكاني .

${\displaystyle \alpha _{Ji}}$هي جيوب تمام الاتجاه بين نظامي الإحداثيات المادية والمكانية ذات متجهات الوحدة.${\displaystyle \mathbf {E} _{J}}$و${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$على التوالي. وبالتالي $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$

العلاقة بين${\displaystyle u_{i}}$و${\displaystyle U_{J}}$ثم يتم تحديده بواسطة $${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

مع العلم أن $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ ثم $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

من الشائع تراكب أنظمة الإحداثيات للتكوينات المشوهة وغير المشوهة، مما ينتج عنه${\displaystyle \mathbf {b} =0\,\!}$وتصبح جيوب التمام الاتجاهية دلتا كرونكر ، أي $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

وبالتالي، في إحداثيات المادة (غير المشوهة)، يمكن التعبير عن الإزاحة على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}}$$

وفي الإحداثيات المكانية (المشوهة)، يمكن التعبير عن الإزاحة على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$