عدم التناظر الطيفي

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 10 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والفيزياء ، يُعرف عدم التناظر الطيفي بأنه عدم التناظر في توزيع طيف القيم الذاتية لمؤثر ما . في الرياضيات، ينشأ عدم التناظر الطيفي عند دراسة المؤثرات الإهليلجية على المشعبات المدمجة ، ويكتسب دلالة عميقة من خلال نظرية مؤشر أتياس-باتودي-سينجر . أما في الفيزياء، فله تطبيقات عديدة، وينتج عنه عادةً شحنة كسرية بسبب عدم تناظر طيف مؤثر ديراك . على سبيل المثال، تُعطى القيمة المتوقعة للفراغ لعدد الباريونات من خلال عدم التناظر الطيفي لمؤثر هاميلتون . يُعد عدم التناظر الطيفي لحقول الكواركات المحصورة خاصية مهمة لنموذج الكيس الكيرالي . بالنسبة للفيرميونات ، يُعرف هذا بمؤشر ويتن ، ويمكن فهمه على أنه يصف تأثير كازيمير للفيرميونات.

تعريف

بفرض وجود مؤثر ذي قيم ذاتيةωن{\displaystyle \omega _{n}}ويمكن تعريف عدم التماثل الطيفي، الذي يكون عدد عناصره موجباً وسالباً بالتساوي، بأنه مجموع

ب=ليمت→012∑نعلامة⁡(ωن)خبرة⁡(-ت|ωن|){\displaystyle B=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})\exp(-t|\omega _{n}|)}

أينعلامة⁡(x){\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}هي دالة الإشارة . يمكن استخدام منظمات أخرى ، مثل منظم دالة زيتا .

إن الحاجة إلى كل من الطيف الموجب والسالب في التعريف هي السبب في أن عدم التماثل الطيفي يحدث عادة في دراسة عوامل ديراك .

مثال

على سبيل المثال، لنفترض وجود مشغل ذي طيف

ωن=ن+α{\displaystyle \omega _{n}=n+\alpha }

حيث n عدد صحيح، يشمل جميع القيم الموجبة والسالبة. يمكن إثبات ذلك بطريقة مباشرة في هذه الحالة.ب(α){\displaystyle B(\alpha )}يطيعب(α)=ب(α+م){\displaystyle B(\alpha )=B(\alpha +m)}لأي عدد صحيحم{\displaystyle m}وذلك من أجل0<α<1{\displaystyle 0<\alpha <1}لديناب(α)=1/2-α{\displaystyle B(\alpha )=1/2-\alpha }الرسم البياني لـب(α){\displaystyle B(\alpha )}وبالتالي فهو منحنى سن المنشار الدوري.

مناقشة

يرتبط بعدم التناظر الطيفي القيمة المتوقعة للفراغ للطاقة المرتبطة بالمؤثر، وهي طاقة كازيمير ، والتي تُعطى بواسطة

هـ=ليمت→012∑ن|ωن|خبرة⁡(-ت|ωن|){\displaystyle E=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{2}}\sum _{n}|\omega _{n}|\exp(-t|\omega _{n}|)}

هذا المجموع متباعد رسميًا، ويجب مراعاة التباعدات وإزالتها باستخدام تقنيات التنظيم القياسية.

مراجع