نظرية مؤشر أتياس-سينجر

كانت نظرية غروتينديك -ريمان-روخ أحد الدوافع الرئيسية وراء نظرية المؤشر، لأن نظرية المؤشر هي نظير هذه النظرية في سياق المشعبات الحقيقية. الآن، إذا كان هناك تطبيق${\displaystyle f:X\to Y}$من متعددات الشعب المتراصة والمستقرة شبه المعقدة، ثم يوجد مخطط تبادلي ^{[ 28 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&&&\\&K(X)&{\xrightarrow[{}]{{\text{Td}}(X)\cdot {\text{ch}}}}&H(X;\mathbb {Q} )&\\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f_{*}\\&K(Y)&{\xrightarrow[{{\text{Td}}(Y)\cdot {\text{ch}}}]{}}&H(Y;\mathbb {Q} )&\\&&&\\\end{array}}}$

لو${\displaystyle Y=*}$إذا كانت هذه نقطة، فإننا نستعيد العبارة المذكورة أعلاه. هنا${\displaystyle K(X)}$هي مجموعة غروتينديك لحزم المتجهات المركبة. هذا المخطط التبادلي مشابه شكليًا جدًا لنظرية GRR لأن مجموعات التماثل على اليمين تُستبدل بحلقة تشاو لمتنوعة ملساء، ومجموعة غروتينديك على اليسار تُعطى بواسطة مجموعة غروتينديك لحزم المتجهات الجبرية.

بسبب ( تيلمان 1983 ) , ( تيلمان 1984 ) :

بالنسبة لأي عامل إهليلجي مجرد ( أتياس 1970 ) على مشعب طوبولوجي مغلق وموجه، فإن الدليل التحليلي يساوي الدليل الطوبولوجي.

إن إثبات هذه النتيجة يمر من خلال اعتبارات محددة، بما في ذلك توسيع نظرية هودج على المشعبات التوافقية والليبشيتزية ( تيليمان 1980 ) ، ( تيليمان 1983 ) ، وتوسيع عامل التوقيع لأتيا-سينجر إلى المشعبات الليبشيتزية ( تيليمان 1983 ) ، وتجانس كاسباروف-K ( كاسباروف 1972 ) والتوافق الطوبولوجي ( كيربي وسيبنمان 1977 ) .

تُظهر هذه النتيجة أن نظرية المؤشر ليست مجرد بيان قابلية التفاضل، بل هي بيان طوبولوجي.

بسبب ( دونالدسون وسوليفان 1989 ) ، ( كونيس وسوليفان وتيلمان 1994 ) :

لكل مشعب شبه متطابق يوجد بناء محلي لفئات هيرزبروش-ثوم المميزة.

تستند هذه النظرية إلى عامل التوقيع S ، المعرف على الأشكال التفاضلية من الدرجة المتوسطة على مشعبات شبه مطابقة ذات أبعاد زوجية (قارن ( Donaldson & Sullivan 1989 ) ).

باستخدام التماثل الطوبولوجي والتماثل-K، يمكن تقديم بيان كامل لنظرية المؤشر على المشعبات شبه المطابقة (انظر الصفحة 678 من ( كونز، سوليفان ، وتيليمان 1994 ) ). يقدم هذا العمل ( كونز، سوليفان ، وتيليمان 1994 ) "إنشاءات محلية للفئات المميزة بناءً على نظائر ذات أبعاد أعلى لتطبيق ريمان القابل للقياس في البعد الثاني ونظرية يانغ-ميلز في البعد الرابع".

تُشكّل هذه النتائج تقدّماً هاماً يتماشى مع برنامج سينغر " آفاق في الرياضيات" ( سينغر، 1971 ) . وفي الوقت نفسه، تُقدّم هذه النتائج أيضاً بناءً فعّالاً لفئات بونترياغين العقلانية على المشعبات الطوبولوجية. وتُقدّم الورقة البحثية ( تيليمان، 1985 ) صلةً بين بناء ثوم الأصلي لفئات بونترياغين العقلانية ( ثوم، 1956 ) ونظرية المؤشرات.

من المهم الإشارة إلى أن صيغة المؤشر هي عبارة طوبولوجية. تُظهر نظريات العوائق التي وضعها ميلنور، وكيرفير، وكيربي، وسيبنمان، وسوليفان، ودونالدسون أن أقلية فقط من المتشعبات الطوبولوجية تمتلك بنى قابلة للتفاضل، وهذه البنى ليست بالضرورة فريدة. تُبين نتيجة سوليفان حول بنى ليبشيتز وشبه المطابقة ( سوليفان، 1979 ) أن أي متشعب طوبولوجي في بُعد مختلف عن 4 يمتلك مثل هذه البنية الفريدة (حتى التماثل القريب من التطابق).

تعتبر الهياكل شبه المطابقة ( Connes, Sullivan & Teleman 1994 ) وبشكل أكثر عمومية الهياكل L ^p ، p > n ( n +1)/2، التي قدمها M. Hilsum ( Hilsum 1999 ) ، أضعف الهياكل التحليلية على المشعبات الطوبولوجية ذات البعد n والتي من المعروف أن نظرية المؤشر تنطبق عليها.

• تنطبق نظرية أتياس-سينجر على المؤثرات التفاضلية الجزئية الإهليلجية بنفس طريقة انطباقها على المؤثرات التفاضلية الإهليلجية. في الواقع، ولأسباب تقنية، اعتمدت معظم البراهين المبكرة على المؤثرات التفاضلية الجزئية بدلاً من المؤثرات التفاضلية: إذ سهّلت مرونتها الإضافية بعض خطوات البراهين.
• بدلاً من العمل مع مؤثر إهليلجي بين حزمتين متجهتين، يكون من الأنسب أحيانًا العمل مع مركب إهليلجي$${\displaystyle 0\rightarrow E_{0}\rightarrow E_{1}\rightarrow E_{2}\rightarrow \dotsm \rightarrow E_{m}\rightarrow 0}$$من حزم المتجهات. والفرق هو أن الرموز تُشكّل الآن متتالية تامة (خارج القسم الصفري). في حالة وجود حزمتين غير صفريتين فقط في المركب، فإن هذا يعني أن الرمز هو تشاكل خارج القسم الصفري، لذا فإن المركب الإهليلجي ذو الحدين هو نفسه تقريبًا مؤثر إهليلجي بين حزمتي متجهات. وعلى العكس، يمكن اختزال نظرية المؤشر للمركب الإهليلجي بسهولة إلى حالة المؤثر الإهليلجي: تُعطى حزمتا المتجهات بمجموع الحدود الزوجية أو الفردية للمركب، والمؤثر الإهليلجي هو مجموع مؤثرات المركب الإهليلجي ومرافقاتها، مع تقييده بمجموع الحزم الزوجية.
• إذا سُمح للمتشعب بامتلاك حدود، فلا بد من فرض بعض القيود على نطاق المؤثر الإهليلجي لضمان فهرس محدود. قد تكون هذه الشروط محلية (مثل اشتراط تلاشي المقاطع في النطاق عند الحدود) أو شروطًا شاملة أكثر تعقيدًا (مثل اشتراط أن تحل المقاطع في النطاق معادلة تفاضلية). وقد تناول أتياه وبوت الحالة المحلية، لكنهما أظهرا أن العديد من المؤثرات المهمة (مثل مؤثر التوقيع ) لا تقبل شروطًا حدودية محلية. ولمعالجة هذه المؤثرات، قدم أتياه وباتودي وسينغر شروطًا حدودية شاملة تُكافئ ربط أسطوانة بالمتشعب على طول الحدود، ثم حصر النطاق في المقاطع القابلة للتكامل التربيعي على طول الأسطوانة. وقد اعتُمدت هذه الرؤية في برهان ميلروز (1993) لنظرية فهرس أتياه-باتودي-سينغر .
• بدلاً من مُؤثر إهليلجي واحد، يُمكن النظر إلى عائلة من المُؤثرات الإهليلجية المُعَلمة بفضاء ما Y. في هذه الحالة، يكون الدليل عنصرًا من نظرية K للفضاء Y ، وليس عددًا صحيحًا. إذا كانت المُؤثرات في العائلة حقيقية، فإن الدليل يقع في نظرية K الحقيقية للفضاء Y. يُضيف هذا بعض المعلومات الإضافية، لأن التطبيق من نظرية K الحقيقية للفضاء Y إلى نظرية K المركبة ليس دائمًا أحاديًا.
• إذا كان هناك تأثير جماعي لمجموعة G على المشعب المتراص X ، يتبادل مع المؤثر الإهليلجي، فإنه يتم استبدال نظرية K العادية بنظرية K المتغيرة . علاوة على ذلك، نحصل على تعميمات لنظرية ليفشيتز للنقطة الثابتة ، مع حدود تأتي من المشعبات الفرعية ذات النقطة الثابتة للمجموعة G. انظر أيضًا: نظرية المؤشر المتغير .
• بيّن أتيياه (1976) كيفية تعميم نظرية المؤشر على بعض المشعبات غير المتراصة، التي تؤثر عليها زمرة منفصلة ذات خارج قسمة متراص. في هذه الحالة، تكون نواة المؤثر الإهليلجي غير محدودة الأبعاد عمومًا، ولكن من الممكن الحصول على مؤشر محدود باستخدام بُعد وحدة نمطية على ^جبر فون نيومان ؛ ويكون هذا المؤشر في الغالب حقيقيًا وليس صحيحًا. تُسمى هذه الصيغة نظرية مؤشر L2 ، وقد استخدمها أتيياه وشميد (1977) لإعادة اشتقاق خصائص تمثيلات المتسلسلات المنفصلة لزمر لي شبه البسيطة .
• تُعدّ نظرية مؤشر كالياس نظرية مؤشر لمؤثر ديراك على فضاء فردي الأبعاد غير متراص. يُعرَّف مؤشر أتياس-سينجر فقط على الفضاءات المتراصة، وينعدم عندما يكون بُعدها فرديًا. في عام ١٩٧٨، استخدم قسطنطين كالياس ، بناءً على اقتراح مُشرفه على أطروحة الدكتوراه رومان جاكيو ، الشذوذ المحوري لاستنتاج هذه النظرية على الفضاءات المُجهزة بمصفوفة هيرميتية تُسمى حقل هيغز . ^{[ ٢٩ ]} مؤشر مؤثر ديراك هو ثابت طوبولوجي يقيس التفاف حقل هيغز على كرة عند اللانهاية. إذا كانت U هي مصفوفة الوحدة في اتجاه حقل هيغز، فإن المؤشر يتناسب مع تكامل U ( dU ) ^{n -1} على الكرة ( n -1) عند اللانهاية. إذا كان n زوجيًا، فإنه يساوي صفرًا دائمًا.
  • تم نشر التفسير الطوبولوجي لهذا الثابت وعلاقته بمؤشر هورماندر الذي اقترحه بوريس فيدوسوف ، كما عممه لارس هورماندر ، بواسطة راؤول بوت وروبرت توماس سيلي . ^{[ 30 ]}

لنفترض أن${\displaystyle M}$هو متعدد شعب مضغوط موجه ذو بُعد${\displaystyle n=2r}$إذا أخذنا${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$أن تكون مجموع القوى الخارجية الزوجية لحزمة الظل التمام، و${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$أن يكون مجموع القوى الفردية، عرّف${\displaystyle D=d+d^{*}}$، تعتبر بمثابة خريطة من${\displaystyle \Lambda ^{\text{even}}}$ل${\displaystyle \Lambda ^{\text{odd}}}$ثم المؤشر التحليلي لـ${\displaystyle D}$هي خاصية أويلر${\displaystyle \chi (M)}$من علم التماثل هودج لـ${\displaystyle M}$والمؤشر الطوبولوجي هو تكامل فئة أويلر على المتشعب. وتؤدي صيغة المؤشر لهذا المؤثر إلى نظرية تشيرن-غاوس-بونيه .

تتم الحسابات الملموسة على النحو التالي: وفقًا لأحد أشكال مبدأ التقسيم ، إذا${\displaystyle E}$هي حزمة متجهات حقيقية ذات بُعد${\displaystyle n=2r}$لإثبات الادعاءات المتعلقة بالفئات المميزة، يمكننا أن نفترض وجود حزم خطية معقدة${\displaystyle l_{1},\,\ldots ,\,l_{r}}$بحيث${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} =l_{1}\oplus {\overline {l_{1}}}\oplus \dotsm l_{r}\oplus {\overline {l_{r}}}}$لذلك، يمكننا اعتبار جذور تشيرن${\displaystyle x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}(l_{i})}$،${\displaystyle x_{r+i}(E\otimes \mathbb {C} )=c_{1}{\mathord {\left({\overline {l_{i}}}\right)}}=-x_{i}(E\otimes \mathbb {C} )}$،${\displaystyle i=1,\,\ldots ,\,r}$.

باستخدام جذور تشيرن كما سبق والخصائص القياسية لفئة أويلر، لدينا ما يلي:${\textstyle e(TM)=\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )}$أما بالنسبة لشخصية تشيرن وفئة تود، ^{[ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{\text{even}}-\Lambda ^{\text{odd}}\right)}}&=1-\operatorname {ch} (T^{*}M\otimes \mathbb {C} )+\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{2}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}-\ldots +(-1)^{n}\operatorname {ch} {\mathord {\left(\Lambda ^{n}T^{*}M\otimes \mathbb {C} \right)}}\\&=1-\sum _{i}^{n}e^{-x_{i}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\sum _{i<j}e^{-x_{i}}e^{-x_{j}}(TM\otimes \mathbb {C} )+\ldots +(-1)^{n}e^{-x_{1}}\dotsm e^{-x_{n}}(TM\otimes \mathbb {C} )\\&=\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)(TM\otimes \mathbb {C} )\\[3pt]\operatorname {Td} (TM\otimes \mathbb {C} )&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )\end{aligned}}}$

بتطبيق نظرية المؤشر،

${\displaystyle \chi (M)=(-1)^{r}\int _{M}{\frac {\prod _{i}^{n}\left(1-e^{-x_{i}}\right)}{\prod _{i}^{r}x_{i}}}\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}(TM\otimes \mathbb {C} )=(-1)^{r}\int _{M}(-1)^{r}\prod _{i}^{r}x_{i}(TM\otimes \mathbb {C} )=\int _{M}e(TM)}$

وهو النسخة "الطوبولوجية" من نظرية تشيرن-غاوس-بونيه (والنسخة الهندسية التي تم الحصول عليها من خلال تطبيق تشاكل تشيرن-ويل ).

ليكن X متعدد شعب معقد ذو بُعد (معقد) n مع حزمة متجهات هولومورفية V. ولتكن حزمتا المتجهات E و F مجموع حزم الأشكال التفاضلية ذات المعاملات في V من النوع (0, i ) حيث i زوجي أو فردي، وليكن المؤثر التفاضلي D هو المجموع.

${\displaystyle {\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

يقتصر على أوروبا .

يُعدّ هذا الاشتقاق لنظرية هيرزبروش-ريمان-روخ أكثر طبيعيةً إذا استخدمنا نظرية المؤشر للمركبات الإهليلجية بدلاً من المؤثرات الإهليلجية. يمكننا اعتبار المركب على النحو التالي:

${\displaystyle 0\rightarrow V\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\rightarrow V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\rightarrow \dotsm }$

مع التفاضل المعطى بواسطة${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ثم إن مجموعة التماثل i' هي ببساطة مجموعة التماثل المتماسكة H ⁱ ( X , V )، لذا فإن الدليل التحليلي لهذا المركب هو خاصية أويلر الهولومورفية لـ V :

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim H^{p}(X,V)=\chi (X,V)}$

بما أننا نتعامل مع حزم معقدة، فإن حساب المؤشر الطوبولوجي أبسط. باستخدام جذور تشيرن وإجراء حسابات مماثلة للمثال السابق، تُعطى فئة أويلر بالصيغة التالية:${\textstyle e(TX)=\prod _{i}^{n}x_{i}(TX)}$و

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ch} \left(\sum _{j}^{n}(-1)^{j}V\otimes \Lambda ^{j}{\overline {T^{*}X}}\right)&=\operatorname {ch} (V)\prod _{j}^{n}\left(1-e^{x_{j}}\right)(TX)\\\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (TX)\operatorname {Td} \left({\overline {TX}}\right)&=\prod _{i}^{n}{\frac {x_{i}}{1-e^{-x_{i}}}}\prod _{j}^{n}{\frac {-x_{j}}{1-e^{x_{j}}}}(TX)\end{aligned}}}$

بتطبيق نظرية المؤشر، نحصل على نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ :

${\displaystyle \chi (X,V)=\int _{X}\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (TX)}$

في الواقع ، نحصل على تعميم لذلك لجميع المشعبات المعقدة: برهان هيرزبروش لم ينجح إلا مع المشعبات المعقدة الإسقاطية X.

تنص نظرية هيرزبروش للتوقيع على أن توقيع مشعب مضغوط موجه X ذي بُعد 4k يُعطى بواسطة جنس L للمشعب. وينتج هذا من نظرية مؤشر أتياس-سينجر المطبقة على عامل التوقيع التالي .

تُعطى الحزمتان E و F بواسطة الفضاءات الذاتية +1 و -1 للمؤثر على حزمة الأشكال التفاضلية لـ X ، والذي يعمل على الأشكال k كما يلي:${\displaystyle i^{k(k-1)}}$مضروبًا في مؤثر نجمة هودج . المؤثر D هو لابلاس هودج

${\displaystyle D\equiv \Delta \mathrel {:=} \left(\mathbf {d} +\mathbf {d^{*}} \right)^{2}}$

يقتصر على E ، حيث d هو المشتق الخارجي لكارتان و d * هو مرافقه.

المؤشر التحليلي لـ D هو توقيع المتشعب X ، ومؤشره الطوبولوجي هو جنس L لـ X ، لذا فهما متساويان.

الجنس Â هو عدد نسبي مُعرَّف لأي متشعب، ولكنه ليس عددًا صحيحًا في العموم. وقد أثبت بوريل وهيرزبروش أنه عدد صحيح للمتشعبات الدورانية، وعدد زوجي إذا كان بُعدها 4 modulo 8. ويمكن استنتاج ذلك من نظرية المؤشر، التي تنص على أن الجنس Â للمتشعبات الدورانية هو مؤشر مؤثر ديراك. ويأتي العامل الإضافي 2 في الأبعاد 4 modulo 8 من حقيقة أن نواة ومُرافقة نواة مؤثر ديراك في هذه الحالة لهما بنية رباعية، وبالتالي، كمساحات متجهة مركبة، لهما أبعاد زوجية، ومن ثم يكون المؤشر زوجيًا.

في البعد 4، تشير هذه النتيجة إلى نظرية روشلين التي تنص على أن توقيع مشعب الدوران رباعي الأبعاد قابل للقسمة على 16: وهذا يتبع لأن جنس Â في البعد 4 هو سالب ثمن التوقيع.

يمكن شرح المؤثرات التفاضلية الزائفة بسهولة في حالة المؤثرات ذات المعاملات الثابتة على الفضاء الإقليدي. في هذه الحالة، تكون المؤثرات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة مجرد تحويلات فورييه لعملية الضرب في كثيرات الحدود، بينما تكون المؤثرات التفاضلية الزائفة ذات المعاملات الثابتة مجرد تحويلات فورييه لعملية الضرب في دوال أكثر عمومية.

تستخدم العديد من براهين نظرية المؤشر مؤثرات شبه تفاضلية بدلاً من المؤثرات التفاضلية. والسبب في ذلك هو عدم كفاية المؤثرات التفاضلية لأغراض كثيرة. على سبيل المثال، المعكوس الزائف لمؤثر تفاضلي إهليلجي من الرتبة الموجبة ليس مؤثرًا تفاضليًا، بل هو مؤثر شبه تفاضلي. كذلك، توجد مطابقة مباشرة بين البيانات التي تمثل عناصر K(B( X ), S ( X )) (دوال التجميع) ورموز المؤثرات شبه التفاضلية الإهليلجية.

للمؤثرات التفاضلية الزائفة رتبة، قد تكون أي عدد حقيقي أو حتى −∞، ولها رموز (لم تعد كثيرات حدود على فضاء الظل التمام)، أما المؤثرات التفاضلية الإهليلجية فهي تلك التي تكون رموزها قابلة للعكس لمتجهات الظل التمام الكبيرة بما فيه الكفاية. ويمكن تعميم معظم صيغ نظرية المؤشر من المؤثرات التفاضلية الإهليلجية إلى المؤثرات التفاضلية الزائفة الإهليلجية.

استند البرهان الأولي إلى نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ (1954)، وتضمن نظرية التماثل ومؤثرات التفاضل الزائف .

تتلخص فكرة هذا البرهان الأول فيما يلي: لنفترض الحلقة المولدة من الأزواج ( X , V )، حيث V حزمة متجهات ملساء على المشعب الموجه المتراص X ، مع وجود علاقات تنص على أن مجموع وحاصل ضرب الحلقة على هذه المولدات يُعطى باتحاد وحاصل ضرب منفصلين للمشعبات (مع العمليات البديهية على حزم المتجهات)، وأن أي حد لمشعب ذي حزمة متجهات يساوي صفرًا. يشبه هذا حلقة التماثل للمشعبات الموجهة، باستثناء أن المشعبات تحتوي أيضًا على حزمة متجهات. يُعاد تفسير كل من المؤشرين الطوبولوجي والتحليلي كدوال من هذه الحلقة إلى الأعداد الصحيحة. ثم يتم التحقق من أن هاتين الدالتين هما في الواقع تشاكلان حلقيين. لإثبات تطابقهما، يكفي التحقق من تطابقهما على مجموعة من مولدات هذه الحلقة. تُعطي نظرية التماثل لثوم مجموعة من المولدات؛ على سبيل المثال، فضاءات المتجهات المركبة ذات الحزمة التافهة بالإضافة إلى حزم معينة فوق الكرات ذات الأبعاد الزوجية. لذا يمكن إثبات نظرية المؤشر من خلال التحقق منها في هذه الحالات البسيطة بشكل خاص.

استخدم أتياه وسينغر في أول برهان منشور لهما نظرية K بدلاً من نظرية التماثل. إذا كان i أي تضمين للمشعبات المدمجة من X إلى Y ، فقد عرّفا عملية "دفع للأمام" i _! على المؤثرات الإهليلجية لـ X إلى مؤثرات إهليلجية لـ Y تحافظ على الدليل. بافتراض أن Y هي كرة ما يُضمّن فيها X ، فإن هذا يُختزل نظرية الدليل إلى حالة الكرات. إذا كانت Y كرة و X نقطة ما مُضمّنة في Y ، فإن أي مؤثر إهليلجي على Y هو صورة تحت تأثير i _! لمؤثر إهليلجي ما على تلك النقطة. هذا يُختزل نظرية الدليل إلى حالة النقطة، حيث تكون بديهية.

قدّم أتياه، وبوت ، وباتودي ( 1973 ) برهانًا جديدًا لنظرية المؤشر باستخدام معادلة الحرارة ، انظر على سبيل المثال بيرلين، وجيتزلر ، وفيرن (1992) . ونُشر البرهان أيضًا في ( ميلروز 1993 ) و ( جيلكي 1994 ) . 

إذا كان D مؤثرًا تفاضليًا له مُرافق D* ، فإن D*D و DD* مؤثران ذاتيان مُرافقان لهما نفس التعددية في قيمهما الذاتية غير الصفرية. مع ذلك، قد تختلف تعددية فضاءاتهما الذاتية الصفرية، لأن هذه التعددية هي أبعاد نواة D و D* . لذا، يُعطى دليل D بالعلاقة التالية:

${\displaystyle \operatorname {index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D)-\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\dim \operatorname {Ker} (D^{*}D)-\dim \operatorname {Ker} (DD^{*})=\operatorname {Tr} \left(e^{-tD^{*}D}\right)-\operatorname {Tr} \left(e^{-tDD^{*}}\right)}$

لأي قيمة موجبة لـ t . يُعطى الطرف الأيمن بأثر الفرق بين نواتي مؤثرين حراريين. لهذه النواتين متسلسلة تقاربية لقيم t الموجبة الصغيرة ، والتي يمكن استخدامها لحساب النهاية عندما تقترب t من الصفر، مما يُثبت نظرية مؤشر أتياس-سينجر. تبدو المتسلسلات التقاربية لقيم t الصغيرة معقدة للغاية، لكن نظرية الثوابت تُظهر وجود عمليات إلغاء كبيرة بين الحدود، مما يُتيح إيجاد الحدود الرئيسية بشكل صريح. وقد تم تفسير عمليات الإلغاء هذه لاحقًا باستخدام التناظر الفائق.

• مازيو، راف. "نظرية مؤشر أتياس-سينجر: ماهيتها ولماذا يجب أن تهتم بها" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل في 24 يونيو 2006. تم الاطلاع عليه في 3 يناير 2006 .{{cite web}}: CS1 maint: bot: حالة عنوان URL الأصلي غير معروفة ( رابط ) عرض تقديمي بصيغة PDF.
• فويتسيكوفسكي، م.إ.؛ شوبين، م.أ. (2001) [1994]، "صيغ المؤشرات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• واسرمان، أنتوني . "ملاحظات محاضرة حول نظرية مؤشر أتياس-سينجر" . مؤرشف من الأصل في 29 مارس 2017.

• راوسن، مارتن؛ سكو، كريستيان ( 2005)، "مقابلة مع مايكل عطية وإيزادور سينغر" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الأمريكية للموسيقى ، ص 223-231 
• RR Seeley وآخرون (1999) ذكريات من الأيام الأولى لنظرية المؤشر والمؤثرات التفاضلية الزائفة - نص جزئي لمحادثة غير رسمية بعد العشاء خلال ندوة عقدت في روسكيلد، الدنمارك، في سبتمبر 1998.