الكروية (نظرية الرسم البياني)

في مجال نظرية المخططات الرياضية ، تُعرَّف كروية المخطط بأنها أصغر بُعد في الفضاء الإقليدي اللازم لتحقيق المخطط كمخطط تقاطع كرات متطابقة . ^{[ 1 ] [ 2} ] تُعد كروية المخطط أحد مفاهيم بُعد المخططات المتعددة القائمة على مخططات التقاطع؛ ومنها أيضًا الصندوقية والتكعيبية . [ ^{3 ] [ 4 ] طُرح} مفهوم الكروية لأول مرة من قِبل هيروشي مايهارا عام 1980 ^{[ 5 ] (} واستخدمه أيضًا تيموثي ف. هافيل عام 1982) . ^{[ 6 ]}

تتناول هذه المقالة فقط الرسوم البيانية غير الموجهة ، ذات مجموعات الرؤوس المحدودة وغير الفارغة، والتي لا تحتوي على حلقات أو حواف متعددة. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

كروية الرسم البياني${\displaystyle G}$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \operatorname {sph} (G)}$، هو أصغر عدد صحيح${\displaystyle k\geq 0}$بحيث${\displaystyle G}$يمكن تمثيلها كرسم بياني لتقاطع الكرات المغلقة ذات القطر الواحد، ^{[ 9 ] [ 10 ]} في${\displaystyle k}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n،${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$.

يمكن تعريف الكروية أيضًا باستخدام لغة الرسوم البيانية الفضائية على النحو التالي. بالنسبة لمجموعة محدودة من النقاط في${\displaystyle k}$الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، وهو رسم بياني فضائي${\displaystyle \mathbb {G} }$يتم إنشاء الشبكة عن طريق توصيل أزواج من النقاط بقطعة مستقيمة إذا وفقط إذا كانت المسافة الإقليدية بينهما أقل من قيمة ثابتة محددة (تسمى حد التجاور ).${\displaystyle \mathbb {G} }$^{[ 11 ]} ثم ، كروية الرسم البياني${\displaystyle G}$هو أصغر عدد صحيح${\displaystyle k\geq 0}$بحيث${\displaystyle G}$متماثل مع رسم بياني فضائي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$[ ^{12 ] في} الواقع: رسم بياني فضائي في${\displaystyle k}$الفضاء -، كرسم بياني مجرد، ليس سوى رسم بياني للتقاطع لعائلة من الأقطار المتساوية${\displaystyle k}$الأقراص في${\displaystyle k}$-مساحة. ^{[ 13 ]} ملاحظة: يعتبر مايهارا هذه الأقراص مفتوحة . [ ^{14 ] (} النتيجة النهائية هي نفسها).

رسوم بيانية للكروية${\displaystyle 1}$تُعرف هذه الرسوم البيانية باسم رسوم بيانية لفترات الوحدة ^{[ 15 ]} أو رسوم بيانية للحياد . رسوم بيانية للكروية${\displaystyle 2}$تُعرف باسم رسوم بيانية للقرص الوحدوي .

يمكن حساب الكروية بدقة على فئات معينة من الرسوم البيانية. وقد قدم مايهارا القيم التالية للكروية في ورقته البحثية الأصلية حول هذا الموضوع ^{[ 16 ]} (${\displaystyle n}$يشير إلى ترتيب الرسم البياني ).

الرسم البياني	وصف	كروية	ملحوظة
${\displaystyle K_{1}}$	رسم بياني كامل	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle K_{n}}$	رسم بياني كامل	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle n>1}$
${\displaystyle P_{n}}$	مخطط المسار	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle n>1}$
${\displaystyle C_{n}}$	مخطط الدائرة	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle n>3}$
${\displaystyle K_{p(2)}}$	رسم بياني متعدد الأجزاء كامل على${\displaystyle p}$أجزاء من الكاردينال${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle p>1.}$[ 17 ]

لكن فيشبورن يدعي أن${\displaystyle \operatorname {cub} (G)=\operatorname {sph} (G)=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$هو رسم بياني كامل (حيث${\displaystyle \operatorname {cub} (G)}$يشير إلى تكعيبية${\displaystyle G}$بحسب العرف،${\displaystyle 0}$المساحة هي العنصر الوحيد${\displaystyle \{0\}}$وأي (مغلق)${\displaystyle 0}$-disk = أي (مغلق)${\displaystyle 0}$-مكعب =${\displaystyle \{0\}}$), وأن${\displaystyle \operatorname {cub} (G)=\operatorname {sph} (G)=1}$إذا وفقط إذا${\displaystyle G}$هو رسم بياني ذو فترات وحدة غير مكتمل. ^{[ 18 ]} في الواقع، يسمح تعريفه للتكعيبية/الكروية بتعيين نفس المكعب/الكرة للرؤوس المتجاورة والمختلفة التي لها نفس الجوار المغلق. ^{[ 19 ] [ 20 ]}

تم تقديم القيم التالية للكروية بواسطة مايهارا في بحثه حول المجسمات شبه المنتظمة.

رسم بياني لمتعدد السطوح	وصف	كروية	ملحوظة	المرجع.
${\displaystyle A_{m}}$	${\displaystyle m}$-المنشور المضاد	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle m\geq 3}$	[ 21 ]
${\displaystyle P_{m}}$	${\displaystyle m}$-موشور	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle m=3}$أو${\displaystyle m\geq 10}$	[ 22 ]
${\displaystyle P_{m}}$	${\displaystyle m}$-موشور	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle m=5}$أو${\displaystyle m=6}$	[ 23 ]
${\displaystyle C,D,I}$	مكعب، مجسم اثنا عشري منتظم، مجسم عشروني منتظم	${\displaystyle 3}$		[ 24 ]
	مجسم أرخميدس	${\displaystyle 3}$		[ 25 ]

افترض مايهارا أن رسوم بيانية لـ${\displaystyle 7}$-موشور،${\displaystyle 8}$-منشور، و${\displaystyle 9}$-الموشورات كروية الشكل${\displaystyle 3}$[ ^{26 ]​}

الحد الأعلى الأكثر عمومية المعروف للكروية هو كما يلي: إذا كان الرسم البياني${\displaystyle G}$إذا لم يكن كاملاً ،${\displaystyle \operatorname {sph} (G)\leq |G|-\mathbb {\text{ω}} (G)}$، أين${\displaystyle |G|}$و${\displaystyle \mathbb {\text{ω}} (G)}$يرمز كل من و إلى رتبة ورقم الزمرة على التوالي${\displaystyle G}$[ ^{27 ] [ 28 ]​}

بالنسبة لبعض الرسوم البيانية، يُعرف حد أعلى أصغر قليلاً: إذا${\displaystyle G}$هو رسم بياني منقسم و${\displaystyle |G|-\mathbb {\mbox{ω}} (G)>2}$، ثم${\displaystyle \operatorname {sph} (G)\leq |G|-\mathbb {\mbox{ω}} (G)-1}$[ ^{29 ]​}

لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle m}$يوجد رسم بياني منقسم${\displaystyle G}$بحيث${\displaystyle \operatorname {sph} (G)=|G|-\mathbb {\text{ω}} (G)-1=m}$[ ^{30 ]​}

ل${\displaystyle 1\leq m\leq n}$،${\displaystyle ~\operatorname {sph} (K_{m,n})\leq m-1+\lceil n/2\rceil }$، أين${\displaystyle K_{m,n}}$يرمز إلى الرسم البياني الثنائي الكامل مع عدد الأجزاء${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$[ ^{31 ] [ 32 ]​}