فئة سكوير

في الرياضيات، وتحديداً في الجبر المجرد ، فئة مربعة من حقل${\displaystyle F}$هو عنصر من مجموعة الفئات المربعة ، مجموعة القسمة${\displaystyle F^{\times }/F^{\times 2}}$من المجموعة الضربية للعناصر غير الصفرية في الحقل بتردد العناصر المربعة للحقل. كل فئة مربعة هي مجموعة جزئية من العناصر غير الصفرية ( مجموعة مشاركة للمجموعة الضربية) تتكون من العناصر التي على الصورة xy ² حيث x عنصر ثابت معين و y يمتد على جميع العناصر غير الصفرية في الحقل. ^{[ 1 ]}

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle F=\mathbb {R} }$، حقل الأعداد الحقيقية ، إذن${\displaystyle F^{\times }}$هي ببساطة مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير الصفرية (مع عملية الضرب) و${\displaystyle F^{\times 2}}$هي مجموعة جزئية من الأعداد الموجبة (إذ أن لكل عدد موجب جذرًا تربيعيًا حقيقيًا ). ناتج قسمة هاتين المجموعتين هو مجموعة ذات عنصرين، يناظران مجموعتين مشاركتين : مجموعة الأعداد الموجبة ومجموعة الأعداد السالبة. وبالتالي، فإن للأعداد الحقيقية فئتين مربعتين، هما الأعداد الموجبة والأعداد السالبة. ^{[ 1 ]}

تُدرس فئات المربعات بشكل متكرر في سياق نظرية الأشكال التربيعية . ^{[ 2 ]} والسبب هو أنه إذا${\displaystyle V}$هو${\displaystyle F}$- فضاء المتجهات و${\displaystyle q:V\to F}$هي صيغة تربيعية و${\displaystyle v}$هو عنصر من${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle q(v)=a\in F^{\times }}$ثم للجميع${\displaystyle u\in F^{\times }}$،${\displaystyle q(uv)=au^{2}}$وبالتالي، يكون من الأنسب أحيانًا الحديث عن فئات المربعات التي يمثلها الشكل التربيعي.

كل عنصر من عناصر زمرة الفئات المربعة هو عملية انعكاس . ويترتب على ذلك أنه إذا كان عدد الفئات المربعة لحقل ما محدودًا، فلا بد أن يكون قوة للعدد اثنين . ^{[ 2 ]}