الجذر التربيعي لـ 3

الجذر التربيعي للعدد 3 هو العدد الحقيقي الموجب الذي إذا ضُرب في نفسه، أعطى العدد 3. ويُرمز إليه رياضياً بالرمز 3.${\textstyle {\sqrt {3}}}$أو${\displaystyle 3^{1/2}}$يُطلق عليه تحديدًا الجذر التربيعي الرئيسي للعدد 3 لتمييزه عن العدد السالب الذي له نفس الخاصية. الجذر التربيعي للعدد 3 هو عدد غير نسبي . يُعرف أيضًا باسم ثابت ثيودوروس ، نسبةً إلى ثيودوروس القيرواني الذي أثبت عدم نسبيته. ^{[ 1 ]}

في عام 2013، حُسبت قيمته العددية بالصيغة العشرية لعشرة مليارات رقم. ^{[ 2 ]} ويُعطى توسيعه العشري، المكتوب هنا إلى 60 منزلة عشرية ، بواسطة OEIS : A002194  :

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

ذكر أرخميدس نطاقًا لقيمته:${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$[ ^{3 ]​}

الحد الأعلى${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$يمثل تقريبًا دقيقًا لـ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ل${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$(ستة منازل عشرية، خطأ نسبي)${\textstyle 3\times 10^{-7}}$) والحد الأدنى${\textstyle {\frac {265}{153}}}$ل${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$(أربعة منازل عشرية، خطأ نسبي)${\textstyle 1\times 10^{-5}}$).

الجذر التربيعي للعدد 3 هو عدد غير نسبي ، مما يعني أنه لا يمكن تمثيله بدقة على شكل كسر .${\displaystyle x/y}$أين​​${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$هي أعداد صحيحة .ومع ذلك، يمكن تقريبها بدقة تعسفية بواسطة هذه الأعداد النسبية .

تُعدّ الحلول الصحيحة لمعادلات بيل من التقريبات الجيدة بشكل خاص .

${\displaystyle x^{2}-3y^{2}=1}$

والتي يمكن إعادة ترتيبها جبريًا إلى الشكل التالي:

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\sqrt {3+{\frac {1}{y^{2}}}}}.}$

فيما يلي بعض الحلول الأولى:

⁠${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$⁠	⁠${\displaystyle 1}$⁠	⁠${\displaystyle 2}$⁠	⁠${\displaystyle 3}$⁠	⁠${\displaystyle 4}$⁠	⁠${\displaystyle 5}$⁠	⁠${\displaystyle 6}$⁠	⁠${\displaystyle 7}$⁠	⁠${\displaystyle 8}$⁠	⁠${\displaystyle 9}$⁠	⁠${\displaystyle \ldots }$⁠
⁠${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {x_{n}}}{\vphantom {t}}}{\boldsymbol {y_{n}}}}}$⁠	${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$	${\displaystyle {\frac {7}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {26}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {97}{56}}}$	${\displaystyle {\frac {362}{209}}}$	${\displaystyle {\frac {1351}{980}}}$	${\displaystyle {\frac {5042}{2911}}}$	${\displaystyle {\frac {18817}{10864}}}$	${\displaystyle {\frac {70226}{40545}}}$	${\displaystyle \ldots }$

( OEIS : A001075  , OEIS : A001353  )

تظهر هذه التقريبات أيضًا بين متقاربات الكسر المستمر الخاص به .

ارتفاع المثلث المتساوي الأضلاع الذي طول ضلعه 2 هو √3 . كذلك، فإن الضلع الأطول في مثلث قائم الزاوية قائم الزاوية (30-60-90) ووتره 2.

وارتفاع الشكل السداسي المنتظم الذي طول ضلعه 1

يمكن إيجاد الجذر التربيعي للعدد 3 على أنه طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع الذي يحيط بدائرة قطرها 1.

إذا قُسِّم مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 1 إلى نصفين متساويين، وذلك بتنصيف زاوية داخلية فيه لتكوين زاوية قائمة مع أحد أضلاعه، فإن وتر المثلث القائم الزاوية طوله 1، وطول ضلعيه 1.${\textstyle {\frac {1}{2}}}$و${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ومن هذا،${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$،${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$، و${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

يظهر الجذر التربيعي للعدد 3 أيضًا في التعبيرات الجبرية للعديد من الثوابت المثلثية الأخرى ، بما في ذلك ^{[ 4 ]} جيوب الزوايا الأخرى. على سبيل المثال،${\textstyle \tan {15^{\circ }}=2-{\sqrt {3}}}$و${\textstyle \tan {75^{\circ }}=2+{\sqrt {3}}}$.

هي المسافة بين ضلعين متوازيين في شكل سداسي منتظم طول كل ضلع منه 1. وهي أيضاً طول أطول ضلع في مثلث مكون من ضلعين متجاورين في شكل سداسي منتظم؛ وذلك وفقاً لقانون جيب التمام:

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma ,\\[3mu]\end{aligned}}}$$

بما أن كل زاوية من زوايا الشكل السداسي المنتظم تساوي 120 درجة، فيمكننا استبدال 120 درجة بـ${\displaystyle \gamma }$في المعادلة أعلاه.

$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=1^{2}+1^{2}-2ab\cos 120^{\circ }\\&=1+1-2(-1/2)\\&=2-(-1)\\&=3\\c={\sqrt {3}}\end{aligned}}}$$

هو طول القطر الفضائي لمكعب الوحدة .

نسبة المحور الأكبر إلى المحور الأصغر في الحويصلة السمكية تساوي${\displaystyle {\sqrt {3}}:1}$ويمكن إثبات ذلك من خلال إنشاء مثلثين متساويي الأضلاع داخله.

• بوديستا، ريكاردو أ. (2023). "البراهين الهندسية على ذلك${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،${\displaystyle {\sqrt {5}}}$و${\displaystyle {\sqrt {7}}}$"أعداد غير نسبية". مجلة الرياضيات . 96 (1): 34-39 . arXiv : 2003.06627 . doi : 10.1080/0025570X.2023.2168436 . MR 4556102 . 
• ويلز، د. (1997). قاموس البطريق للأرقام الغريبة والمثيرة للاهتمام (  طبعة منقحة). لندن: مجموعة البطريق. ص  23.

• ثابت ثيودوروس في عالم الرياضيات
• كيفن براون، أرخميدس والجذر التربيعي للعدد 3