مساحة قابلة للقياس

في علم الطوبولوجيا والمجالات ذات الصلة في الرياضيات ، يُعرف الفضاء القابل للقياس بأنه فضاء طوبولوجي متماثل شكليًا مع فضاء متري . أي أنه فضاء طوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$يُقال إن الشيء قابل للقياس إذا كان هناك مقياس${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$بحيث تكون الطوبولوجيا الناتجة عن${\displaystyle d}$يكون${\displaystyle \tau .}$^{[ 1 ] [ 2 ]} نظريات القياسهينظرياتتعطيشروطًا كافيةلكي يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للقياس.

ترث الفضاءات القابلة للقياس جميع الخصائص الطوبولوجية من الفضاءات المترية. على سبيل المثال، هي فضاءات هاوسدورف شبه متراصة (وبالتالي فضاءات عادية وفضاءات تيكونوڤ ) وفضاءات قابلة للعد من الدرجة الأولى . مع ذلك، لا يمكن القول إن بعض خصائص القياس، مثل الاكتمال ، موروثة. وينطبق هذا أيضًا على البنى الأخرى المرتبطة بالقياس. فعلى سبيل المثال، قد يمتلك الفضاء المنتظم القابل للقياس مجموعة مختلفة من دوال الانكماش عن الفضاء المتري الذي يتماثل معه.

كانت إحدى أولى نظريات القياس المعترف بها على نطاق واسع هيتنص نظرية أوريسون للقياس على أن كل فضاء منتظمقابل للعد من الدرجة الثانية قابل للقياس. فعلى سبيل المثال، كلمتعدد شعبتيخونوفالصيغة الموضحة هنا للنظريةعام 1926. أما ماأثبتهأوريسون ، في ورقة بحثية نُشرت بعد وفاته عام 1925، فهو أن كل فضاء هاوسدورف طبيعي قابل للعد من الدرجة الثانية قابل للقياس). لا يصح العكس: توجد فضاءات مترية غير قابلة للعد من الدرجة الثانية، على سبيل المثال، مجموعة غير قابلة للعد مزودة بالمقياس المنفصل. ^{[ 3 ]} تقدم نظرية ناجاتا-سميرنوف للقياس، الموضحة أدناه، نظرية أكثر تحديدًا حيث يصح العكس.

تترتب على نظرية أوريسون عدة نظريات أخرى حول القياس كنتائج طبيعية لها. على سبيل المثال، يكون فضاء هاوسدورف المدمج قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان قابلاً للعد من الدرجة الثانية.

يمكن إعادة صياغة نظرية أوريسون على النحو التالي: يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للفصل وقابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان منتظمًا، وهاوسدورف، وقابلاً للعد من الدرجة الثانية. وتوسع نظرية القياس لناجاتا-سميرنوف هذه النظرية لتشمل حالة الفضاء غير القابل للفصل. وتنص على أن الفضاء الطوبولوجي يكون قابلاً للقياس إذا وفقط إذا كان منتظمًا، وهاوسدورف، وله قاعدة منتهية محليًا من الدرجة σ. والقاعدة منتهية محليًا من الدرجة σ هي قاعدة تتكون من اتحاد عدد قابل للعد من المجموعات المفتوحة المنتهية محليًا . وللاطلاع على نظرية ذات صلة وثيقة، انظر نظرية القياس لبينغ .

يمكن أيضًا وصف الفضاءات القابلة للفصل والقياس بأنها تلك الفضاءات المتماثلة شكليًا مع فضاء جزئي من مكعب هيلبرت${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$أي أن حاصل الضرب اللانهائي القابل للعد للفترة الوحدوية (مع طوبولوجيا الفضاء الجزئي الطبيعية من الأعداد الحقيقية) مع نفسه، مزودًا بطوبولوجيا الضرب .

يُقال إن الفضاء قابل للقياس محليًا إذا كانت كل نقطة فيه تمتلك جوارًا قابلًا للقياس . وقد أثبت سميرنوف أن الفضاء القابل للقياس محليًا يكون قابلًا للقياس إذا وفقط إذا كان فضاء هاوسدورف ومتراصًا جزئيًا . وعلى وجه الخصوص، يكون الفضاء متعدد الشعب قابلًا للقياس إذا وفقط إذا كان متراصًا جزئيًا.

مجموعة المؤثرات الوحدوية${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$في مساحة هيلبرت قابلة للفصل${\displaystyle {\mathcal {H}}}$إن endufed with the strong operator topology is metrizable (see Proposition II.1 in ^{[ 4 ]} ).

لا يمكن قياس الفضاءات غير العادية؛ ومن الأمثلة المهمة على ذلك:

• طوبولوجيا زاريسكي على صنف جبري أو على طيف حلقة ، المستخدمة في الهندسة الجبرية .
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي لجميع الدوال من الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى نفسها، مع طوبولوجيا التقارب النقطي .

الخط الحقيقي ذو التوبولوجيا الحدية الدنيا غير قابل للقياس. دالة المسافة المعتادة ليست مقياسًا على هذا الفضاء لأن التوبولوجيا التي تحددها هي التوبولوجيا المعتادة، وليست التوبولوجيا الحدية الدنيا. هذا الفضاء هاوسدورف، شبه متراص، وقابل للعد من الدرجة الأولى.

• أبولونيان متري – عالم رياضيات وشاعر روماني (1895 - 1961) 
• نظرية بينغ للقياس - تحدد متى يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للقياس 
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي القابل للقياس - الفضاء المتجهي الطوبولوجي الذي يمكن تعريف طوبولوجيته بواسطة مقياس 
• فضاء مور (الطوبولوجيا)
• نظرية ناغاتا-سميرنوف للقياس - تحدد متى يكون الفضاء الطوبولوجي قابلاً للقياس 
• قابلية التوحيد - فضاء طوبولوجي يتم توليد طوبولوجيته بواسطة بنية موحدة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه ، خاصية الفضاء الطوبولوجي المتمثلة في كونه متماثلًا مع فضاء موحد ، أو بشكل مكافئ، يتم تعريف الطوبولوجيا بواسطة عائلة من المقاييس الزائفة. 

تتضمن هذه المقالة مواد من موقع Metrizable على PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .