المرحلة الهندسية

في الميكانيكا الكلاسيكية والكمية ، يُعرف الطور الهندسي (أو طور بانشارانام-بيري ، أو طور بانشارانام ، أو طور بيري ) بأنه فرق الطور الذي يكتسب خلال دورة كاملة ، عندما يتعرض نظام لعمليات دورية كظيمة ، وينتج هذا الفرق عن الخصائص الهندسية لفضاء معلمات الهاميلتوني . ^[¹^] وقد اكتشف هذه الظاهرة بشكل مستقل كل من س. بانشارانام ( 1956 ) في البصريات الكلاسيكية ^[²^] وهـ . س. لونغيت-هيغينز (1958) في الفيزياء الجزيئية؛ ^[³^] ثم عممها مايكل بيري لاحقًا في (1984). ^[⁴^] ويُقابلها في الميكانيكا الكلاسيكية زاوية هاناي .

يمكن ملاحظة ذلك في التقاطع المخروطي لأسطح طاقة الوضع ^{[ 3 ]}^{[ 5 ]} وفي تأثير أهارونوف-بوم . تُناقش المرحلة الهندسية حول التقاطع المخروطي، والتي تشمل الحالة الإلكترونية الأرضية لأيون _{الجزيء C6H3F3}₊_،^في الصفحتين 385-386 من كتاب بنكر وجينسن ^[⁶^] . في حالة تأثير أهارونوف-بوم، يكون المعامل الأديباتي هو المجال المغناطيسي المحصور بين مساري تداخل، وهو دوري بمعنى أن هذين المسارين يشكلان حلقة. أما في حالة التقاطع المخروطي، فإن المعاملات الأديباتية هي الإحداثيات الجزيئية . وبعيدًا عن ميكانيكا الكم، يظهر هذا التأثير في مجموعة متنوعة من الأنظمة الموجية الأخرى ، مثل البصريات الكلاسيكية . وكقاعدة عامة ، يمكن أن يحدث كلما وُجد معاملان على الأقل يميزان موجة ما في جوار نوع من التفرد أو الثقب في البنية الطوبولوجية. يلزم وجود معيارين لأنه إما أن مجموعة الحالات غير المنفردة لن تكون متصلة ببساطة ، أو سيكون هناك تماثل غير صفري .

تتميز الموجات بالسعة والطور ، وقد تتغير تبعًا لهذين العاملين. يحدث الطور الهندسي عندما يتغير كلا العاملين في آنٍ واحد ولكن ببطء شديد ( بشكل أديباتي )، ثم يعودان في النهاية إلى الحالة الابتدائية. في ميكانيكا الكم، قد يشمل ذلك دوران الجسيمات وانتقالها، والتي يبدو أنها تتلاشى في النهاية. قد يتوقع المرء أن تعود الموجات في النظام إلى حالتها الابتدائية، كما هو موضح بالسعات والأطوار (مع مراعاة مرور الزمن). مع ذلك، إذا كانت تغيرات العاملين تُشكل حلقةً بدلًا من تغيرٍ ذاتي الارتداد ذهابًا وإيابًا، فمن المحتمل أن تختلف الحالتان الابتدائية والنهائية في طوريهما. يُعرف فرق الطور هذا بالطور الهندسي، ويشير حدوثه عادةً إلى أن اعتماد النظام على العاملين يكون شاذًا (حالته غير مُحددة) لبعض توليفات العاملين. لقياس الطور الهندسي في نظام موجي، يلزم إجراء تجربة تداخل .

يُعد بندول فوكو مثالاً من الميكانيكا الكلاسيكية يُستخدم أحيانًا لتوضيح الطور الهندسي. كما تُعد الزاوية الهندسية في المذبذب التوافقي المُحرك بشكل أديباتي مثالاً بسيطًا آخر من الميكانيكا الكلاسيكية. ^{[ 7 ]}

طور بيري في ميكانيكا الكم

في نظام كمومي عند الحالة الذاتية رقم n ، يؤدي التطور الأديباتي للهاميلتوني إلى بقاء النظام في الحالة الذاتية رقم n للهاميلتوني، مع الحصول على عامل طور. يتكون الطور الناتج من مساهمة من التطور الزمني للحالة ، ومساهمة أخرى من تغير الحالة الذاتية مع تغير الهاميلتوني. يتوافق الحد الثاني مع طور بيري، ويمكن جعله يتلاشى في حالة التغيرات غير الدورية للهاميلتوني باختيار طور مختلف مرتبط بالحالات الذاتية للهاميلتوني عند كل نقطة في التطور.

مع ذلك، إذا كان التغير دوريًا، فلا يمكن إلغاء طور بيري؛ فهو ثابت ويصبح خاصية قابلة للملاحظة للنظام. بمراجعة برهان نظرية التغير الأديباتي الذي قدمه ماكس بورن وفلاديمير فوك في مجلة الفيزياء 51 ، 165 (1928)، يمكننا وصف التغير الكامل للعملية الأديباتية في حد طوري. في ظل التقريب الأديباتي، يُعطى معامل الحالة الذاتية رقم n في ظل العملية الأديباتية بالعلاقة التالية: $C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$ أين $\gamma _{n}(t)$ هي طور بيري بالنسبة للمعامل t . تغيير المتغير t إلى معاملات معممة ${\bf {R}}(t),\partial /\partial t\rightarrow -i\partial /\partial {\bf {R}}(t),$ يمكننا إعادة صياغة مرحلة بيري على النحو التالي: $\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n({\bf {R}}(t))|{\bf {\nabla }}_{\bf {R}}|n({\bf {R}}(t))\rangle \,d{\bf {R}},$ أين $R$ تُستخدم هذه الطريقة لتحديد معلمات العملية الأديباتية الدورية. لاحظ أن عملية التطبيع لـ $|n,t\rangle$ وهذا يعني أن الدالة المراد تكاملها تخيلية، بحيث $\gamma _{n[C]$ حقيقي. إذن هناك مسار مغلق $C$ في فضاء المعلمات المناسب. الطور الهندسي على طول المسار المغلق $C$ ويمكن أيضًا حسابها عن طريق تكامل انحناء بيري على السطح المحصور بـ $C$ .

أمثلة على الأطوار الهندسية

بندول فوكو

يُعد بندول فوكو أحد أسهل الأمثلة . وقد قدم ويلكزك وشيبير شرحًا بسيطًا له من حيث المراحل الهندسية: ^{[ 8 ]}

كيف يترنح البندول عند تحريكه حول مسار عام C ؟ عند نقله على طول خط الاستواء ، لا يترنح البندول. [...] أما إذا كان المسار C مكونًا من أجزاء جيوديسية ، فإن الترنح سينتج بالكامل عن الزوايا التي تلتقي عندها هذه الأجزاء؛ ويساوي الترنح الكلي زاوية النقص الصافية ، والتي بدورها تساوي الزاوية المجسمة المحصورة داخل C بتردد 2π . وأخيرًا، يمكننا تقريب أي مسار دائري بسلسلة من الأجزاء الجيوديسية، لذا فإن النتيجة الأكثر عمومية (سواء على سطح الكرة أو خارجه) هي أن الترنح الكلي يساوي الزاوية المجسمة المحصورة.

بعبارة أخرى، لا توجد قوى قصور ذاتي تُسبب ترنح البندول، لذا فإن الترنح (بالنسبة لاتجاه حركة المسار الذي يتحرك عليه البندول) ناتجٌ كليًا عن دوران هذا المسار. وبالتالي، يخضع اتجاه البندول لانتقال متوازٍ . بالنسبة لبندول فوكو الأصلي، يكون المسار دائرة عرض ، وبحسب نظرية غاوس-بونيه ، يُعطى فرق الطور بالزاوية المجسمة المحصورة. ^{[ 9 ]}

الاشتقاق

لنفترض وجود متجه حول حلقة مغلقة، على سبيل المثال مثلث كروي، على الكرة: الزاوية التي يلتف بها، $α$ ، تتناسب مع المساحة داخل الحلقة وسيتم تناولها أدناه.

في إطار شبه قصوري يتحرك بالتزامن مع الأرض، ولكنه لا يشاركها دوران الأرض حول محورها، يرسم ثقل البندول مسارًا دائريًا خلال يوم نجمي واحد ، أي مسارًا مستويًا لأن التذبذب على طول القضيب المعلق ضئيل.

عند خط عرض باريس، 48 درجة و51 دقيقة شمالاً، تستغرق دورة التبادر الكاملة أقل من 32 ساعة بقليل، لذا بعد يوم فلكي واحد، عندما تعود الأرض إلى نفس اتجاهها قبل يوم فلكي، يكون مستوى التذبذب قد دار بأكثر من 270 درجة بقليل. إذا كان مستوى التأرجح شمال-جنوب في البداية، فإنه يصبح شرق-غرب بعد يوم فلكي واحد.

وهذا يعني أيضاً حدوث تبادل في الزخم ؛ فقد تبادلت الأرض وكرة البندول الزخم. كتلة الأرض أكبر بكثير من كتلة كرة البندول لدرجة أن تغير زخم الأرض غير ملحوظ. ومع ذلك، بما أن مستوى تأرجح كرة البندول قد تغير، فإن قوانين حفظ الطاقة تشير إلى حدوث تبادل.

يمكن إثبات ترنح المستوى المتذبذب، من خلال تركيب الدورانات المتناهية الصغر، بأن معدل الترنح يتناسب طرديًا مع إسقاط السرعة الزاوية للأرض على الاتجاه العمودي عليها. مساحة الحلقة على شكل مثلث كروي كما ذُكر أعلاه هي $(A+B+N-\pi )r^{2}$ ، أين $r$ يمثل نصف قطر الكرة و $A,B,N$ هي زوايا كروية. ^{[ 10 ]} يمكن توسيع هذا المثلث الكروي إلى حلقة مع $N=2\pi ,$ لهذا السبب. $A+B=\pi +\alpha .$ بعد مرور 24 ساعة، يكون الفرق بين الاتجاهين الابتدائي والنهائي للأثر في إطار الأرض هو $α = -2 π sin φ$ ، وهو ما يتوافق مع القيمة التي تحددها نظرية جاوس-بونيه ( $1/r^{2}$ (α هو انحناء غاوس ). يُطلق على $α أيضًا اسم الطور$ الهندسي أو الهولونومي للبندول. عند تحليل الحركات المرتبطة بالأرض، لا يُعتبر إطار الأرض إطارًا قصوريًا ، بل يدور حول المحور الرأسي المحلي بمعدل فعال قدره 2π sin φ راديان في اليوم. يمكن استخدام طريقة بسيطة تعتمد على النقل المتوازي داخل مخاريط مماسية لسطح الأرض لوصف زاوية دوران مستوى تأرجح بندول فوكو. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

من منظور نظام إحداثيات أرضي (حيث تكون دائرة القياس والمتفرج مرتبطين بالأرض، حتى لو لم يشعر المتفرج بتأثير التضاريس على قوة كوريوليس أثناء حركته)، وباستخدام نظام إحداثيات مستطيلة محوره $السيني$ يشير إلى الشرق ومحوره $الصادي$ يشير إلى الشمال، فإن ترنح البندول ناتج عن قوة كوريوليس ( القوى الوهمية الأخرى ، مثل الجاذبية وقوة الطرد المركزي ، ليس لها مركبة ترنح مباشرة). لنفترض بندولًا مستويًا بتردد طبيعي ثابت $ω$ في تقريب الزاوية الصغيرة . هناك قوتان تؤثران على ثقل البندول: قوة الاستعادة الناتجة عن الجاذبية والسلك، وقوة كوريوليس (يمكن إهمال قوة الطرد المركزي، لأنها معاكسة لقوة الاستعادة الناتجة عن الجاذبية). تكون قوة كوريوليس عند خط العرض $φ$ أفقية في تقريب الزاوية الصغيرة، وتُعطى بالعلاقة التالية: $//$ حيث $Ω$ هو التردد الدوراني للأرض، و $F c, x$ هو مركبة قوة كوريوليس في الاتجاه $x$ ، و $F c, y$ هو مركبة قوة كوريوليس في الاتجاه $y$ .

تُعطى قوة الاستعادة، في تقريب الزاوية الصغيرة وإهمال قوة الطرد المركزي، بالصيغة التالية: ${\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x,\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}$

باستخدام قوانين نيوتن للحركة ، يؤدي هذا إلى نظام المعادلات ${\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}$

بالتحويل إلى الإحداثيات المركبة $z = x + iy$ ، تصبح المعادلات كما يلي: ${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0.$

بالنسبة للرتبة الأولى في $Ω / ω ، فإن$ حل هذه المعادلة هو $z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right).$

إذا قُيس الزمن بالأيام، فإن $Ω = 2π ،$ $ويدور$ البندول بزاوية $-2π sin φ$ خلال يوم واحد. يمكن إيجاد المعادلات الرياضية لهذه المعادلات، أي اشتقاقها وما إلى ذلك، في العديد من الكتب الدراسية في الميكانيكا الكلاسيكية. ^{[ 13 ]}

اشتقاق الزاوية المجسمة $\Omega '$ والتي يقطعها ثقل البندول في يوم واحد عند خط العرض الزاوي $\phi$ يصبح الأمر بديهيًا عمليًا إذا تذكرنا نظرية بابوس . ^{[ 14 ]} تنص هذه النظرية على أن مساحة سطح كرة نصف قطرها $r$ (أي الأرض هنا)، أي $4\pi r^{2}$ ، يساوي نصف قطر أسطوانة دائرية محيطة نصف قطرها $r$ ، أي $4\pi r^{2}=2\pi r\times 2r$ تنص النظرية، كما يمكن التحقق منه بسهولة، على أن هذه المساواة تنطبق على كل مقطع من الكرة. وبالتالي، إذا كان الغطاء الكروي المحدد بمسار ثقل البندول له أقصى ارتفاع $h$ عند خط العرض $\phi$ لدينا $h=r-r\sin \phi .$ الزاوية الصلبة $\Omega '$ ثم يُعطى ما هو محصور داخل الغطاء بواسطة

{\frac {\rm {area\;of\;cap}}{\rm {area\;of\;sphere}}}={\frac {2\pi rh}{4\pi r^{2}}}={\frac {\Omega '}{4\pi }},

وبالتالي $\Omega '=2h/r=2\pi (1-\sin \phi )=\Omega \;{\rm {modulo}}\;2\pi .$ عند خط الاستواء $\phi =0,\Omega '=2\pi ,$ وفي القطب الشمالي $\phi =\pi /2,\Omega '=0.$ فترة التذبذب هي $T=2\pi /\omega \sin \phi$ ، أين $\omega =2\pi /1\;{\rm {day}}=7.26\times 10^{-5}/s.$

الضوء المستقطب في الألياف البصرية

مثال آخر هو الضوء المستقطب خطيًا الداخل إلى ليف بصري أحادي النمط . لنفترض أن الليف يرسم مسارًا ما في الفضاء، وأن الضوء يخرج منه في نفس اتجاه دخوله. قارن الاستقطابين الابتدائي والنهائي. في التقريب شبه الكلاسيكي، يعمل الليف كموجه موجي ، ويكون زخم الضوء مماسًا لليف في جميع الأوقات. يمكن اعتبار الاستقطاب اتجاهًا عموديًا على الزخم. أثناء رسم الليف لمساره، يرسم متجه زخم الضوء مسارًا على الكرة في فضاء الزخم . المسار مغلق، لأن الاتجاهين الابتدائي والنهائي للضوء يتطابقان، والاستقطاب متجه مماس للكرة. الانتقال إلى فضاء الزخم يُكافئ أخذ خريطة غاوس . لا توجد قوى يمكن أن تُغير اتجاه الاستقطاب، فقط شرط البقاء مماسًا للكرة. بالتالي، يخضع الاستقطاب لانتقال متوازٍ ، ويُعطى فرق الطور بالزاوية المجسمة المحصورة (مضروبًا في اللف المغزلي، والذي يساوي 1 في حالة الضوء ). ^{[ 15 ]}

تأثير المضخة العشوائية

المضخة العشوائية هي نظام عشوائي كلاسيكي يستجيب بتيارات غير صفرية، في المتوسط، للتغيرات الدورية في المعاملات. ويمكن تفسير تأثير المضخة العشوائية من خلال طور هندسي في تطور دالة توليد العزوم للتيارات العشوائية. ^{[ 16 ]}

أدر نصف

يمكن حساب الطور الهندسي بدقة لجسيم ذي لف مغزلي 1/2 في مجال مغناطيسي. ^[¹^]

الطور الهندسي المعرف على الجاذبات

بينما صُممت صيغة بيري في الأصل للأنظمة الهاميلتونية الخطية، سرعان ما أدرك نينغ وهاكن ^{[ 17 ]} إمكانية تعريف طور هندسي مماثل لأنظمة مختلفة تمامًا، مثل الأنظمة غير الخطية المبددة للطاقة التي تمتلك جاذبات دورية معينة. وقد أظهرا وجود هذه الجاذبات الدورية في فئة من الأنظمة غير الخطية المبددة للطاقة ذات تناظرات محددة. ^{[ 18 ]} تتضمن هذه التعميمات لطور بيري عدة جوانب مهمة: 1) بدلًا من فضاء المعاملات لطور بيري الأصلي، يُعرَّف تعميم نينغ-هاكن هذا في فضاء الطور؛ 2) بدلًا من التطور الأديباتي في النظام الكمومي، لا يشترط أن يكون تطور النظام في فضاء الطور أديباتيًا، ولا يوجد أي قيد على النطاق الزمني للتطور الزمني؛ 3) بدلًا من نظام هيرميتي أو نظام غير هيرميتي ذي تخميد خطي، يمكن أن تكون الأنظمة غير خطية وغير هيرميتية بشكل عام.

التعرض في تقاطعات سطح الجهد الأديباتي الجزيئي

توجد عدة طرق لحساب الطور الهندسي في الجزيئات ضمن إطار بورن-أوبنهايمر . إحدى هذه الطرق هي من خلال "الاقتران غير الأديباتي". $M\times M$ المصفوفة" المحددة بواسطة $\tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,$ أين $\psi _{i}$ هي دالة الموجة الإلكترونية الأديباتية، وتعتمد على المعاملات النووية $R_{\mu }$ يمكن استخدام الاقتران غير الأديباتي لتعريف تكامل حلقي، مماثل لحلقة ويلسون (1974) في نظرية المجال، والذي طوره بشكل مستقل الإطار الجزيئي بواسطة م. باير (1975، 1980، 2000). بالنظر إلى حلقة مغلقة $\Gamma$ ، مُعَلمة بواسطة $R_{\mu }(t),$ أين $t\in [0,1]$ هو مُعامل، و $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$ تُعطى مصفوفة D بالصيغة التالية : $D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$ (هنا ${\hat {P}}$ (رمز ترتيب المسار). يمكن إثبات ذلك بمجرد $M$ إذا كانت المصفوفة كبيرة بما يكفي (أي يتم أخذ عدد كافٍ من الحالات الإلكترونية في الاعتبار)، فإن هذه المصفوفة قطرية، وعناصرها القطرية تساوي $e^{i\beta _{j}},$ أين $\beta _{j}$ هي المراحل الهندسية المرتبطة بالحلقة لـ $j$ الحالة الإلكترونية الأديباتية رقم -th.

بالنسبة للهاميلتونيان الإلكتروني المتناظر عكسيًا زمنيًا، تعكس المرحلة الهندسية عدد التقاطعات المخروطية التي تحيط بها الحلقة. وبشكل أدق، $e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$ أين $N_{j}$ يمثل عدد التقاطعات المخروطية التي تشمل الحالة الأديباتية $\psi _{j}$ محاطة بالحلقة $\Gamma .$

يُعدّ الحساب المباشر لطور بانشارانام بديلاً عن أسلوب مصفوفة D. ويُفيد هذا الأسلوب بشكل خاص عند الاهتمام فقط بالأطوار الهندسية لحالة أديباتية واحدة. في هذا الأسلوب، يتم أخذ عدد من $N+1$ من النقاط $(n=0,\dots ,N)$ على طول المسار $R(t_{n})$ مع $t_{0}=0$ و $t_{N}=1,$ ثم باستخدام الحالات الأديباتية j فقط $\psi _{j}[R(t_{n})]$ يحسب حاصل ضرب بانشاراتنام للتداخلات: $I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$

في الحد $N\to \infty$ (انظر Ryb & Baer 2004 للشرح وبعض التطبيقات) $I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$

الطور الهندسي وتكميم حركة السيكلوترون

إلكترون يتعرض لمجال مغناطيسي $B$ يتحرك في مدار دائري (سيكلوتروني).كلاسيكيًا، أي نصف قطر سيكلوترون $R_{c}$ مقبول. من منظور ميكانيكا الكم، لا يُسمح إلا بمستويات طاقة منفصلة ( مستويات لاندو )، ولأن $R_{c}$ يرتبط ذلك بطاقة الإلكترون، وهذا يتوافق مع القيم الكمية لـ $R_{c}$ على سبيل المثال، تنص شروط تكميم الطاقة التي تم الحصول عليها من خلال حل معادلة شرودنغر على ما يلي: $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},$ $\alpha =1/2$ للإلكترونات الحرة (في الفراغ) أو ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ بالنسبة للإلكترونات في الجرافين ، حيث $n=0,1,2,\ldots$ .على الرغم من أن اشتقاق هذه النتائج ليس صعبًا، إلا أن هناك طريقة بديلة لاشتقاقها، والتي توفر من بعض النواحي فهمًا فيزيائيًا أفضل لتكميم مستويات لاندو. وتعتمد هذه الطريقة البديلة على شرط التكميم شبه الكلاسيكي لبور-سومرفيلد. $\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$ والتي تشمل المرحلة الهندسية $\gamma$ يلتقطها الإلكترون أثناء قيامه بحركته (في الفضاء الحقيقي) على طول الحلقة المغلقة لمدار السيكلوترون. ^{[ 19 ]} بالنسبة للإلكترونات الحرة، $\gamma =0,$ بينما $\gamma =\pi$ بالنسبة للإلكترونات في الجرافين. اتضح أن الطور الهندسي مرتبط ارتباطًا مباشرًا بـ $\alpha =1/2$ من الإلكترونات الحرة و $\alpha =0$ عدد الإلكترونات في الجرافين.

انظر أيضاً

اتصال التوت والانحناء
فئة تشيرن
مؤشر ماسلو
الدوران البصري
الهندسة الكمومية في فيزياء المادة المكثفة
موتر انحناء ريمان – للربط بالرياضيات
رقم اللف

ملحوظات

^ للتبسيط، نعتبر الإلكترونات محصورة في مستوى، مثل2DEGوالمجال المغناطيسي عمودي على المستوى.

^ $\omega _{c}=eB/m$ هو تردد السيكلوترون (للإلكترونات الحرة) و $v$ هي سرعة فيرمي (للإلكترونات في الجرافين).

الحواشي

1 2 سوليم، جيه سي؛ بيدنهارت، إل سي (1993). "فهم الأطوار الهندسية في ميكانيكا الكم: مثال أولي". أسس الفيزياء . 23 (2): 185-195 . Bibcode : 1993FoPh...23..185S . doi : 10.1007/BF01883623 . S2CID 121930907 .
↑ س. بانشاراتنام (1956). "النظرية المعممة للتداخل وتطبيقاتها. الجزء الأول: الحزم المتماسكة". وقائع الأكاديمية الهندية للعلوم، الجزء أ ، 44 (5): 247-262 . doi : 10.1007/BF03046050 . S2CID 118184376 .
1 2 هـ. س. لونغيت هيغينز؛ يو. أوبيك؛ إم. إتش. إل. برايس؛ آر. إيه . ساك (1958). "دراسات حول تأثير يان-تيلر. الجزء الثاني: المشكلة الديناميكية". وقائع الجمعية الملكية أ . 244 (1236): 1-16 . رمز Bibcode : 1958RSPSA.244....1L . doi : 10.1098/rspa.1958.0022 . S2CID 97141844 . انظر الصفحة 12
↑ إم. في. بيري (1984). "عوامل الطور الكمي المصاحبة للتغيرات الأديباتية". وقائع الجمعية الملكية أ . 392 (1802): 45-57 . رمز Bibcode : 1984RSPSA.392...45B . doi : 10.1098/rspa.1984.0023 . S2CID 46623507 .
↑ ج. هيرزبرغ؛ هـ. س. لونغيت-هيغينز (1963). "تقاطع أسطح طاقة الوضع في الجزيئات متعددة الذرات". مناقشات جمعية فاراداي 35 : 77-82 . doi : 10.1039 /DF9633500077 .
↑ التناظر الجزيئي والتحليل الطيفي ، الطبعة الثانية. فيليب ر. بنكر وبير جنسن، مطبعة أبحاث المجلس الوطني للبحوث، أوتاوا (1998)رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 9780660196282
↑ ف. سوزوكي؛ ن. أ. سينيتسين (2025). "الزاوية الأديباتية الهندسية في المذبذبات غير المتناحية" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 93 (12): 951-959 . arXiv : 2506.00559 . doi : 10.1119/5.0270675 .
↑ ويلكزك، ف.؛ شابير، أ.، محرران. (1989). الأطوار الهندسية في الفيزياء . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ص 4 .
↑ ينس فون بيرغمان؛ هسينغ تشي فون بيرغمان (2007). "بندول فوكو من خلال الهندسة الأساسية". المجلة الأمريكية للفيزياء 75 ( 10): 888-892 . Bibcode : 2007AmJPh..75..888V . doi : 10.1119/1.2757623 .
↑ HJW Müller--Kirsten, Classical Mechanics and Relativity, 2nd ed., World Scientific, 2024, p. 376.
↑ سومرفيل، دبليو بي (1972). "وصف بندول فوكو". المجلة الفصلية للجمعية الفلكية الملكية . 13 : 40. رمز Bibcode : 1972QJRAS..13...40S .
↑ هارت، جون ب.؛ ميلر، ريموند إي.؛ ميلز، روبرت ل. (1987). "نموذج هندسي بسيط لتصور حركة بندول فوكو". المجلة الأمريكية للفيزياء . 55 (1): 67-70 . Bibcode : 1987AmJPh..55...67H . doi : 10.1119/1.14972 .
↑ TWB Kibble و FH Berkshire، الميكانيكا الكلاسيكية، الطبعة الخامسة، مطبعة إمبريال كوليدج، 2004؛ HJW Müller-Kirsten، الميكانيكا الكلاسيكية والنسبية، الطبعة الثانية، وورلد ساينتيفيك، 2024.
↑ KE Bullen, Theory of Mechanics, Science Press Sydney, 1951; HJW Müller-Kirsten, Classical Mechanics and Relativity, 2nd ed., World Scientific, 2024.
↑ باند، واي بي؛ كوزمينكو، إيغور؛ أفيشاي، يشاي (27-03-2025). "الأطوار الهندسية في البصريات: استقطاب الضوء المنتشر في الألياف البصرية الحلزونية" . مجلة Physical Review A. 111 ( 3). doi : 10.1103/PhysRevA.111.033530 . ISSN 2469-9926 .
↑ NA Sinitsyn؛ I. Nemenman (2007). "مرحلة بيري وتدفق المضخة في الحركية الكيميائية العشوائية". رسائل الفيزياء الأوروبية . 77 (5) 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Bibcode : 2007EL.....7758001S . doi : 10.1209/0295-5075/77/58001 . S2CID 11520748 .
↑ سي. زد. نينغ، إتش. هاكن (1992). "تراكمات الطور والسعة الهندسية في الأنظمة المبددة ذات الجاذبات الدورية". مجلة Physical Review Letters ، 68 (14): 2109-2122 . Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109 . PMID 10045311 .
↑ سي. زد. نينغ، إتش. هاكن (1992). "الطور الهندسي في الأنظمة التبديدية غير الخطية". رسائل الفيزياء الحديثة ب . 6 (25): 1541-1568 . رمز Bibcode : 1992MPLB....6.1541N . doi : 10.1142/S0217984992001265 .
↑ للحصول على شرح مفصل، انظر Jiamin Xue: " طور بيري وتأثير هول الكمي غير التقليدي في الجرافين " (2013).

مصادر

جيفا أناندان؛ جوي كريستيان؛ كازيمير وانليك (1997). "رسالة مرجعية GPP-1: الأطوار الهندسية في الفيزياء". المجلة الأمريكية للفيزياء 65 ( 3): 180. arXiv : quant-ph/9702011 . Bibcode : 1997AmJPh..65..180A . doi : 10.1119/1.18570 . S2CID 119080820 .
كانتوني، ف.؛ ميسترانجيولي، ل. (1992). "طور النقاط الثلاث، والقياس التبسيطي، وطور بيري". المجلة الدولية للفيزياء النظرية . 31 (6): 937. Bibcode : 1992IJTP...31..937C . doi : 10.1007/BF00675086 . S2CID 121235416 .
ريتشارد مونتغمري (8 أغسطس 2006). جولة في هندسات سوبريمان، وجيوديسياتها وتطبيقاتها . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 11 وما يليها. ISBN 978-0-8218-4165-5.(انظر الفصل 13 للاطلاع على المعالجة الرياضية)
تُناقش هنا الروابط مع الظواهر الفيزيائية الأخرى (مثل تأثير جان-تيلر ): المرحلة الهندسية لبيري: مراجعة
ورقة بحثية للأستاذ غالفيز في جامعة كولجيت، تصف الطور الهندسي في البصريات: تطبيقات الطور الهندسي في البصريات. مؤرشفة بتاريخ 24 أغسطس 2007 على موقع Wayback Machine.
سوريا غانغولي، حزم الألياف ونظريات القياس في الفيزياء الكلاسيكية: وصف موحد للقطط الساقطة، والأقطاب المغناطيسية الأحادية، وطور بيري
روبرت باترمان، القطط الساقطة، ركن السيارة الموازي، والضوء المستقطب
باير، م. (1975). "التمثيلات الأديباتية والدياباتية لتصادمات الذرات والجزيئات: معالجة الترتيب الخطي". رسائل الفيزياء الكيميائية . 35 (1): 112-118 . Bibcode : 1975CPL....35..112B . doi : 10.1016/0009-2614(75)85599-0 .
M. Baer, الانتقالات الإلكترونية غير الأدياباتية: اشتقاق مصفوفة التحويل الأدياباتية-الدياباتية العامة ، Mol. Phys. 40، 1011 (1980)؛
M. Baer, Existence of diabetic potentials and the quantization of the nonadiabatic matrix , J. Phys. Chem. A 104, 3181–3184 (2000).
ريب، آي؛ باير، آر (2004). "الثوابت والمتغيرات التوافقية كأدوات للتقاطعات المخروطية". مجلة الفيزياء الكيميائية . 121 (21): 10370-5 . Bibcode : 2004JChPh.12110370R . doi : 10.1063/1.1808695 . PMID 15549915 .
ويلكزك، فرانك ؛ شابير، أ. (1989). الأطوار الهندسية في الفيزياء . وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-9971-5-0621-6.
جيرولد إي. مارسدن؛ ريتشارد مونتغمري؛ تيودور إس. راتيو (1990). الاختزال، والتناظر، والأطوار في الميكانيكا . مكتبة الجمعية الأمريكية للميكانيكا. ص 69. ISBN 978-0-8218-2498-6.
سي. بيزاني (1994). حسابات ميكانيكا الكم من المبادئ الأولى لخواص المواد البلورية (وقائع المدرسة الرابعة للكيمياء الحاسوبية للجمعية الكيميائية الإيطالية ، المحرر). سبرينغر. ص 282. ISBN 978-3-540-61645-0.
ل. مانجياروتي، جينادي ألكساندروفيتش سارداناشفيلي (1998). ميكانيكا القياس . وورلد ساينتيفيك. ص 281. ISBN 978-981-02-3603-8.
كارين م. رابي ؛ جان مارك تريسكون؛ تشارلز هـ. آهن (2007). فيزياء المواد الكهروإجهادية: منظور حديث . سبرينغر. ص 43. ISBN 978-3-540-34590-9.
مايكل باير (2006). ما وراء بورن أوبنهايمر . وايلي. رقم ISBN 978-0-471-77891-2.
نينغ، سي زد، وهاكن، إتش (1992). "تراكمات الطور والسعة الهندسية في الأنظمة المبددة ذات الجاذبات الدورية". مجلة Physical Review Letters ، 68 (14): 2109-2122 . Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109 . PMID: 10045311 .
نينغ، سي زد، وهاكن، إتش (1992). "الطور الهندسي في الأنظمة التبديدية غير الخطية". رسائل الفيزياء الحديثة، الجزء ب ، 6 (25): 1541-1568 . رمز Bibcode : 1992MPLB....6.1541N . doi : 10.1142/S0217984992001265 .
ج.، سيريلو-لومباردو، دييغو؛ ج.، سانشيز، نورما (أغسطس 2024). "التشابك والأطوار الهندسية المعممة لبيري في الجاذبية الكمومية" . التناظر . 16 (8): 1026. arXiv : 2408.11078 . Bibcode : 2024Symm...16.1026C . doi : 10.3390/sym16081026 . ISSN 2073-8994 . {{cite journal}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

للمزيد من القراءة

مايكل ف. بيري، المرحلة الهندسية ، مجلة ساينتفك أمريكان 259 (6) (1988)، 26-34.

روابط خارجية

اقتباسات متعلقة بالمرحلة الهندسية على موقع ويكي الاقتباس
"الأطوار الهندسية وانفصال العالم لمايكل بيري" . يوتيوب . المركز الدولي للعلوم النظرية. ١٠ فبراير ٢٠٢٠.

[Solem1993-1] 1 2 سوليم، جيه سي؛ بيدنهارت، إل سي (1993). "فهم الأطوار الهندسية في ميكانيكا الكم: مثال أولي". أسس الفيزياء . 23 (2): 185-195 . Bibcode : 1993FoPh...23..185S . doi : 10.1007/BF01883623 . S2CID 121930907 .

[2] س. بانشاراتنام (1956). "النظرية المعممة للتداخل وتطبيقاتها. الجزء الأول: الحزم المتماسكة". وقائع الأكاديمية الهندية للعلوم، الجزء أ ، 44 (5): 247-262 . doi : 10.1007/BF03046050 . S2CID 118184376 .

[Longuet-Higgins1958-3] 1 2 هـ. س. لونغيت هيغينز؛ يو. أوبيك؛ إم. إتش. إل. برايس؛ آر. إيه . ساك (1958). "دراسات حول تأثير يان-تيلر. الجزء الثاني: المشكلة الديناميكية". وقائع الجمعية الملكية أ . 244 (1236): 1-16 . رمز Bibcode : 1958RSPSA.244....1L . doi : 10.1098/rspa.1958.0022 . S2CID 97141844 . انظر الصفحة 12

[4] إم. في. بيري (1984). "عوامل الطور الكمي المصاحبة للتغيرات الأديباتية". وقائع الجمعية الملكية أ . 392 (1802): 45-57 . رمز Bibcode : 1984RSPSA.392...45B . doi : 10.1098/rspa.1984.0023 . S2CID 46623507 .

[5] ج. هيرزبرغ؛ هـ. س. لونغيت-هيغينز (1963). "تقاطع أسطح طاقة الوضع في الجزيئات متعددة الذرات". مناقشات جمعية فاراداي 35 : 77-82 . doi : 10.1039 /DF9633500077 .

[6] التناظر الجزيئي والتحليل الطيفي ، الطبعة الثانية. فيليب ر. بنكر وبير جنسن، مطبعة أبحاث المجلس الوطني للبحوث، أوتاوا (1998)رقم الكتاب المعياري الدولي (ISBN) 9780660196282

[7] ف. سوزوكي؛ ن. أ. سينيتسين (2025). "الزاوية الأديباتية الهندسية في المذبذبات غير المتناحية" . المجلة الأمريكية للفيزياء . 93 (12): 951-959 . arXiv : 2506.00559 . doi : 10.1119/5.0270675 .

[8] ويلكزك، ف.؛ شابير، أ.، محرران. (1989). الأطوار الهندسية في الفيزياء . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ص 4 .

[9] ينس فون بيرغمان؛ هسينغ تشي فون بيرغمان (2007). "بندول فوكو من خلال الهندسة الأساسية". المجلة الأمريكية للفيزياء 75 ( 10): 888-892 . Bibcode : 2007AmJPh..75..888V . doi : 10.1119/1.2757623 .

[10] HJW Müller--Kirsten, Classical Mechanics and Relativity, 2nd ed., World Scientific, 2024, p. 376.

[11] سومرفيل، دبليو بي (1972). "وصف بندول فوكو". المجلة الفصلية للجمعية الفلكية الملكية . 13 : 40. رمز Bibcode : 1972QJRAS..13...40S .

[12] هارت، جون ب.؛ ميلر، ريموند إي.؛ ميلز، روبرت ل. (1987). "نموذج هندسي بسيط لتصور حركة بندول فوكو". المجلة الأمريكية للفيزياء . 55 (1): 67-70 . Bibcode : 1987AmJPh..55...67H . doi : 10.1119/1.14972 .

[13] TWB Kibble و FH Berkshire، الميكانيكا الكلاسيكية، الطبعة الخامسة، مطبعة إمبريال كوليدج، 2004؛ HJW Müller-Kirsten، الميكانيكا الكلاسيكية والنسبية، الطبعة الثانية، وورلد ساينتيفيك، 2024.

[14] KE Bullen, Theory of Mechanics, Science Press Sydney, 1951; HJW Müller-Kirsten, Classical Mechanics and Relativity, 2nd ed., World Scientific, 2024.

[15] باند، واي بي؛ كوزمينكو، إيغور؛ أفيشاي، يشاي (27-03-2025). "الأطوار الهندسية في البصريات: استقطاب الضوء المنتشر في الألياف البصرية الحلزونية" . مجلة Physical Review A. 111 ( 3). doi : 10.1103/PhysRevA.111.033530 . ISSN 2469-9926 .

[sinitsyn-07epl-16] NA Sinitsyn؛ I. Nemenman (2007). "مرحلة بيري وتدفق المضخة في الحركية الكيميائية العشوائية". رسائل الفيزياء الأوروبية . 77 (5) 58001. arXiv : q-bio/0612018 . Bibcode : 2007EL.....7758001S . doi : 10.1209/0295-5075/77/58001 . S2CID 11520748 .

[Ning-Haken92-17] سي. زد. نينغ، إتش. هاكن (1992). "تراكمات الطور والسعة الهندسية في الأنظمة المبددة ذات الجاذبات الدورية". مجلة Physical Review Letters ، 68 (14): 2109-2122 . Bibcode : 1992PhRvL..68.2109N . doi : 10.1103/PhysRevLett.68.2109 . PMID 10045311 .

[Ning-HakenMPL-18] سي. زد. نينغ، إتش. هاكن (1992). "الطور الهندسي في الأنظمة التبديدية غير الخطية". رسائل الفيزياء الحديثة ب . 6 (25): 1541-1568 . رمز Bibcode : 1992MPLB....6.1541N . doi : 10.1142/S0217984992001265 .

[19] للحصول على شرح مفصل، انظر Jiamin Xue: " طور بيري وتأثير هول الكمي غير التقليدي في الجرافين " (2013).

[

[

[

[

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]