المجال الفرميوني

في نظرية الحقل الكمومي ، الحقل الفرميوني هو حقل كمومي تكون كماتُه فرميونات ؛ أي أنها تخضع لإحصاءات فيرمي-ديراك . وتخضع الحقول الفرميونية لعلاقات التبادل المضاد المتعارف عليها، بدلاً من علاقات التبادل المتعارف عليها للحقول البوزونية .

يُعدّ حقل ديراك أبرز مثال على الحقول الفرميونية ، وهو يصف الفرميونات ذات اللف المغزلي -1/2: الإلكترونات ، والبروتونات ، والكواركات ، وغيرها. يمكن وصف حقل ديراك إما بأنه سبينور رباعي المكونات أو زوج من سبينورات فايل ثنائية المكونات. أما فرميونات ماجورانا ذات اللف المغزلي 1/2 ، مثل النيوترالينو الافتراضي ، فيمكن وصفها إما بأنها سبينور ماجورانا رباعي المكونات تابع أو سبينور فايل ثنائي المكونات منفرد. ولا يُعرف حتى الآن ما إذا كان النيوترينو فرميون ماجورانا أم فرميون ديراك ؛ ومن شأن رصد اضمحلال بيتا المزدوج عديم النيوترينو تجريبياً أن يحسم هذا السؤال.

تخضع الحقول الفرميونية الحرة (غير المتفاعلة) لعلاقات التبادل المضاد المتعارف عليها ؛ أي أنها تتضمن التبادل المضاد { a , b } = ab + ba ، بدلاً من التبادل [ a , b ] = ab − ba في ميكانيكا الكم البوزونية أو القياسية. وتسري هذه العلاقات أيضاً على الحقول الفرميونية المتفاعلة في نموذج التفاعل ، حيث تتطور الحقول مع الزمن كما لو كانت حرة، وتُشفّر آثار التفاعل في تطور الحالات.

إن علاقات التبادل المضاد هذه هي التي تستلزم إحصاءات فيرمي-ديراك لكمات الحقل. كما أنها تؤدي إلى مبدأ استبعاد باولي : لا يمكن لجسيمين فرميونيين أن يشغلا الحالة نفسها في الوقت نفسه.

يُعد حقل ديراك (المسمى على اسم بول ديراك ) المثال الأبرز لحقل فرميون ذي لف مغزلي 1/2 ، ويرمز له بـ${\displaystyle \psi (x)}$معادلة الحركة لجسيم ذي دوران حر مقداره 1/2 هي معادلة ديراك .

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

أين${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$هي مصفوفات غاما و${\displaystyle m}$الكتلة. أبسط الحلول الممكنة${\displaystyle \psi (x)}$توجد حلول الموجات المستوية لهذه المعادلة،${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$و${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$تشكل حلول الموجات المستوية هذه أساسًا لمكونات فورييه لـ${\displaystyle \psi (x)}$، مما يسمح بالتوسع العام للدالة الموجية على النحو التالي،

$// x}+b_ {\mathbf {p}}^{s\dagger}v_{\alpha}^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

هنا، يمثل u و v متجهات دورانية مصنفة حسب دورانها s ومؤشراتها الدورانية.${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$بالنسبة للإلكترون، وهو جسيم ذو لف مغزلي 1/2، فإن s = +1/2 أو s = −1/2. عامل الطاقة هو نتيجة وجود مقياس تكامل ثابت لورنتز. في التكميم الثاني ،${\displaystyle \psi (x)}$يتم تحويلها إلى مؤثر، لذا يجب أن تكون معاملات أنماط فورييه الخاصة بها مؤثرات أيضًا. ومن ثم،${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$و${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$هي عوامل. ويمكن استخلاص خصائص هذه العوامل من خصائص الحقل.${\displaystyle \psi (x)}$و${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$الالتزام بعلاقات عدم التبادل:

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha}(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

نفرض علاقة مضادة للتبديل (بدلاً من علاقة التبديل كما نفعل مع الحقل البوزوني ) لجعل المؤثرات متوافقة مع إحصاءات فيرمي-ديراك . وذلك بوضع متسلسلات لـ${\displaystyle \psi (x)}$و${\displaystyle \psi (y)}$ويمكن حساب علاقات التبادل المضاد للمعاملات.

$// ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

وبطريقة مماثلة لمؤثرات الإفناء والخلق غير النسبية ومبدلاتها، تؤدي هذه الجبرات إلى التفسير الفيزيائي التالي:${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$يُنشئ فرميونًا ذا زخم p ودوران s، و${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$يُنشئ جسيمًا مضادًا للفيرميون ذي زخم q ودوران r . المجال العام${\displaystyle \psi (x)}$يُنظر الآن إلى هذا على أنه مجموع مُرجّح (بعامل الطاقة) لجميع اللفات والزخمات الممكنة لتكوين الفرميونات والمضادات الفرميونية. مجاله المرافق،${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$، هو عكس ذلك، وهو عبارة عن مجموع مرجح لجميع اللفات والزخم الممكنة لإفناء الفرميونات والمضادات الفرميونية.

بفهم أنماط المجال وتحديد المجال المرافق، يصبح من الممكن بناء كميات ثابتة لورنتز للحقول الفرميونية. أبسطها هي الكمية${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$وهذا ما يفسر سبب اختيار${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$واضح. هذا بسبب تحويل لورنتز العام على${\displaystyle \psi }$ليست كمية وحدوية، لذا فإن الكمية${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$لن يكون ثابتًا في ظل هذه التحويلات، لذا فإن تضمين${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$يتمثل الهدف في تصحيح ذلك. أما الكمية الأخرى غير الصفرية المحتملة الثابتة لورنتز ، والتي يمكن بناؤها من الحقول الفرميونية، حتى اقتران كلي، فهي${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$.

بما أن التركيبات الخطية لهذه الكميات هي أيضًا ثابتة لورنتز، فإن هذا يؤدي بشكل طبيعي إلى كثافة لاغرانج لحقل ديراك من خلال اشتراط أن تستعيد معادلة أويلر-لاغرانج للنظام معادلة ديراك.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

يتم حذف مؤشرات هذا التعبير. وعند إعادة إدخاله، يكون التعبير الكامل هو

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

يمكن أيضًا بناء كثافة الهاميلتوني ( الطاقة ) عن طريق تعريف الزخم المرافق قانونيًا لـ${\displaystyle \psi (x)}$، مُسَمًّى${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

بهذا التعريف لـ${\displaystyle \Pi }$، كثافة الهاميلتوني هي:

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

أين${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$هو التدرج القياسي للإحداثيات المكانية، و${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$هو متجه يشبه الفضاء${\displaystyle \gamma }$المصفوفات. من المثير للدهشة أن كثافة الهاميلتوني لا تعتمد على المشتق الزمني لـ${\displaystyle \psi }$، بشكل مباشر، لكن التعبير صحيح.

بالنظر إلى التعبير الخاص بـ${\displaystyle \psi (x)}$يمكننا بناء مُوَصِّل فاينمان لحقل الفرميون:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

نُعرّف حاصل الضرب المرتب زمنيًا للفيرميونات بإشارة سالبة نظرًا لطبيعتها المضادة للتبادل.

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

بإدخال توسيع الموجة المستوية لحقل الفرميون في المعادلة أعلاه، نحصل على:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

حيث استخدمنا رمز فاينمان المائل . هذه النتيجة منطقية لأن العامل

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

هو ببساطة عكس تأثير المؤثر على${\displaystyle \psi (x)}$في معادلة ديراك. تجدر الإشارة إلى أن مُوَصِّل فاينمان لحقل كلاين-غوردون يتمتع بهذه الخاصية نفسها. بما أن جميع الكميات القابلة للرصد المعقولة (مثل الطاقة، والشحنة، وعدد الجسيمات، وما إلى ذلك) تُبنى من عدد زوجي من حقول الفرميون، فإن علاقة التبادل تتلاشى بين أي كميتين قابلتين للرصد عند نقاط الزمكان خارج مخروط الضوء. وكما نعلم من مبادئ ميكانيكا الكم، يمكن قياس كميتين قابلتين للرصد تتبادلان في آنٍ واحد. لذلك، فقد طبقنا بشكل صحيح ثبات لورنتز لحقل ديراك، وحافظنا على السببية .

ويمكن تحليل نظريات المجال الأكثر تعقيدًا التي تتضمن تفاعلات (مثل نظرية يوكاوا ، أو الديناميكا الكهربائية الكمومية ) أيضًا، من خلال طرق اضطرابية وغير اضطرابية مختلفة.

تُعد حقول ديراك عنصرًا مهمًا في النموذج القياسي .

• معادلة ديراك
• نظرية الإحصاء الدوراني
• سبينور
• المجال المركب
• المجال المساعد

• إدواردز، د. (1981). "الأسس الرياضية لنظرية الحقل الكمومي: الفرميونات، وحقول القياس، والتناظر الفائق، الجزء الأول: نظريات حقل الشبكة". المجلة الدولية للفيزياء النظرية ، 20 (7): 503-517 . رمز Bibcode : 1981IJTP...20..503E . doi : 10.1007/BF00669437 . S2CID 120108219 . 
• بيسكين، م وشرودر، د. (1995). مقدمة في نظرية الحقل الكمومي ، دار ويستفيو للنشر. (انظر الصفحات 35-63).
• سريدنيكي، مارك (2007). نظرية الحقل الكمومي. مؤرشف بتاريخ 25 يوليو 2011 في أرشيف الإنترنت ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-86449-7.
• واينبرغ، ستيفن (1995). نظرية الكم للحقول ، (3 مجلدات) مطبعة جامعة كامبريدج.