متعدد الحدود

يمكن جمع كثيرات الحدود باستخدام قانون التجميع في الجمع (تجميع جميع حدودها معًا في مجموع واحد)، وربما يتبع ذلك إعادة ترتيبها (باستخدام قانون التبديل ) وجمع الحدود المتشابهة. ^{[ 11 ] [ 17 ]} على سبيل المثال، إذا $${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$$و$${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ ثم المجموع $${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$ يمكن إعادة ترتيبها وتجميعها على النحو التالي $${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$$ ثم تم تبسيطها إلى $${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$$ عند جمع كثيرات الحدود معًا، تكون النتيجة كثيرة حدود أخرى. ^{[ 18 ]}

طرح كثيرات الحدود يشبه ذلك.

يمكن أيضًا ضرب كثيرات الحدود. ولتحويل حاصل ضرب كثيرتي حدود إلى مجموع حدود، يُطبَّق قانون التوزيع بشكل متكرر، مما ينتج عنه ضرب كل حد من حدود إحدى كثيرتي الحدود في كل حد من حدود الأخرى. ^{[ 11 ]} على سبيل المثال، إذا $${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P\,&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q\,&{\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}},\end{aligned}}}$$ ثم $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}}$$ ينتج عن إجراء عملية الضرب في كل حد $${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$$ يؤدي الجمع بين المصطلحات المتشابهة إلى $${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$$ والتي يمكن تبسيطها إلى $${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$$ كما في المثال، فإن حاصل ضرب كثيرات الحدود هو دائمًا كثير حدود. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

بفرض وجود متعددة حدود${\displaystyle f}$لمتغير واحد ومتعدد حدود آخر${\displaystyle g}$لأي عدد من المتغيرات، التركيب${\displaystyle f\circ g}$يتم الحصول على ذلك باستبدال كل نسخة من متغير كثير الحدود الأول بكثير الحدود الثاني. ^{[ 19 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$و${\displaystyle g(x)=3x+2}$ثم $${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).}$$ يمكن توسيع التركيب إلى مجموع حدود باستخدام قواعد ضرب وقسمة كثيرات الحدود. تركيب كثيرتي حدود هو كثيرة حدود أخرى. ^{[ 20 ]}

قسمة كثير حدود على آخر لا تُعدّ عادةً كثيرة حدود. بل إن هذه النسب تُمثّل فئةً أعمّ من الكائنات، تُسمى الكسور النسبية ، أو العبارات النسبية ، أو الدوال النسبية ، وذلك بحسب السياق. ^{[ 21 ]} وهذا يُشابه حقيقة أن نسبة عددين صحيحين هي عدد نسبي ، وليس بالضرورة عددًا صحيحًا. ^{[ 22 ] [ 23 ]} على سبيل المثال، الكسر${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$ليست كثيرة حدود، ولا يمكن كتابتها كمجموع محدود لقوى المتغير${\displaystyle x}$.

بالنسبة لكثيرات الحدود في متغير واحد، يوجد مفهوم القسمة الإقليدية لكثيرات الحدود ، وهو تعميم للقسمة الإقليدية للأعداد الصحيحة. ^{[ هـ ]} هذا المفهوم للقسمة${\displaystyle a(x)/b(x)}$ينتج عن ذلك كثيرتا حدود، وناتج قسمة${\displaystyle q(x)}$والباقي​${\displaystyle r(x)}$بحيث${\displaystyle a=bq+r}$و${\displaystyle \deg(r)<\deg(b)}$، أين${\displaystyle \deg(p)}$هي درجة${\displaystyle p}$يمكن حساب ناتج القسمة والباقي بواسطة أي من الخوارزميات العديدة، بما في ذلك القسمة المطولة لكثيرات الحدود والقسمة التركيبية . ^{[ 24 ]}

عندما يكون المقام${\displaystyle b(x)}$هو أحادي وخطي، أي${\displaystyle b(x)=x-c}$لبعض الثوابت${\displaystyle c}$إذاً، تنص نظرية باقي قسمة كثير الحدود على أن باقي قسمة${\displaystyle a(x)}$بواسطة${\displaystyle b(x)}$التقييم​${\displaystyle a(c)}$^{[ 23 ]} في هذه الحالة ، يمكن حساب ناتج القسمة باستخدام قاعدة روفيني ، وهي حالة خاصة من القسمة التركيبية. ^{[ 25 ]}

جميع كثيرات الحدود ذات المعاملات في مجال تحليل فريد (مثل حقل الأعداد الصحيحة أو حقل الأعداد المركبة ) لها أيضًا شكل مُحلَّل تُكتب فيه كثيرة الحدود كحاصل ضرب كثيرات حدود غير قابلة للاختزال وثابت. هذا الشكل المُحلَّل فريد حتى رتبة العوامل وضربها بثابت قابل للعكس. في حالة حقل الأعداد المركبة ، تكون العوامل غير القابلة للاختزال خطية. على الأعداد الحقيقية ، تكون درجتها إما واحد أو اثنين. على الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية، قد تكون للعوامل غير القابلة للاختزال أي درجة. ^{[ 26 ]} على سبيل المثال، الشكل المُحلَّل لـ$${\displaystyle 5x^{3}-5}$$ يكون $${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$$ على الأعداد الصحيحة والأعداد الحقيقية، و $${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$$ على الأعداد المركبة.

إن حساب الصيغة المُحلَّلة، والتي تُسمى التحليل ، صعبٌ عموماً بحيث لا يمكن إجراؤه يدوياً. ومع ذلك، تتوفر خوارزميات فعّالة لتحليل كثيرات الحدود في معظم أنظمة الجبر الحاسوبي .

يُعد حساب مشتقات وتكاملات كثيرات الحدود بسيطًا للغاية مقارنةً بأنواع الدوال الأخرى. مشتقة كثيرة الحدود$${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$بالنسبة إلى${\displaystyle x}$هي متعددة الحدود $${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.}$$وبالمثل، فإن الدالة الأصلية العامة (أو التكامل غير المحدد) لـ${\displaystyle P}$يكون $${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}}$$ أين${\displaystyle c}$هو ثابت اختياري. على سبيل المثال، الدوال الأصلية لـ${\displaystyle x^{2}+1}$يكون على شكل${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}+x+c}$.

بالنسبة لكثيرات الحدود التي تأتي معاملاتها من سياقات أكثر تجريدًا (على سبيل المثال، إذا كانت المعاملات أعدادًا صحيحة بتردد عدد أولي معين ).${\displaystyle p}$، أو عناصر حلقة عشوائية)، لا يزال من الممكن تفسير صيغة المشتقة شكليًا، مع المعامل${\displaystyle ka_{k}}$يُفهم من ذلك أنه يعني مجموع${\displaystyle k}$نسخ من${\displaystyle a_{k}}$على سبيل المثال، على الأعداد الصحيحة modulo${\displaystyle p}$، مشتقة متعددة الحدود${\displaystyle x^{p}+x}$هي متعددة الحدود${\displaystyle 1}$[ ^{27 ]​}

يمكن تمثيل دالة متعددة الحدود في متغير حقيقي واحد بواسطة رسم بياني .

• رسم بياني لكثير الحدود الصفري
  f ( x ) = 0
  يمثل المحور السيني .
• رسم بياني لكثير حدود من الدرجة 0
  f ( x ) = a ₀ ، حيث a ₀ ≠ 0 ،
  هو خط أفقي يتقاطع مع المحور الصادي عند النقطة a = ₀
• الرسم البياني لكثير الحدود من الدرجة الأولى (أو الدالة الخطية)
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x ، حيث a ₁ ≠ 0 ،
  هو خط مائل بنقطة تقاطع مع المحور الصادي a ₀ وميل a ₁ .
• رسم بياني لكثير الحدود من الدرجة الثانية
  f ( x ) = a₀ + a₁x + a₂x² _، حيث a₂ ≠ ⁰_​​​_​
  هو قطع مكافئ .
• رسم بياني لكثير الحدود من الدرجة الثالثة
  f ( x ) = a₀ + a₁x + a₂x² + ^a₃x³ _، حيث a₃ ≠ ⁰_​​​_​​_​​
  هو منحنى مكعب .
• الرسم البياني لأي متعددة حدود من الدرجة الثانية أو أعلى
  f ( x ) = a₀ ₊ a₁x + a₂x² + _... + ^aₙxⁿ ، حيث aₙ _≠ 0 و _n ≥ ²​_​​
  هو منحنى غير خطي متصل.

تؤول دالة كثيرة الحدود غير الثابتة إلى اللانهاية عندما يزداد المتغير بلا حدود ( بالقيمة المطلقة ). إذا كانت درجة الدالة أكبر من واحد، فإن الرسم البياني لا يحتوي على أي خط تقارب . وله فرعان قطع مكافئ باتجاه رأسي (فرع للمتغير الموجب x وفرع للمتغير السالب x ).

يتم تحليل الرسوم البيانية متعددة الحدود في حساب التفاضل والتكامل باستخدام نقاط التقاطع، والميول، والتقعر، وسلوك النهاية.

جذر متعددة الحدود أحادية المتغير غير الصفرية P هو قيمة a لـ x بحيث يكون P ( a ) = 0. بعبارة أخرى، جذر P هو حل لمعادلة متعددة الحدود P ( x ) = 0 أو صفر للدالة متعددة الحدود المعرفة بـ P. في حالة متعددة الحدود الصفرية، كل عدد هو صفر للدالة المقابلة، ونادرًا ما يُؤخذ مفهوم الجذر في الاعتبار.

يكون العدد a جذرًا لكثير الحدود P إذا وفقط إذا كان كثير الحدود الخطي x − a يقسم P ، أي إذا وُجد كثير حدود آخر Q بحيث يكون P = ( x − a )Q . قد يحدث أن يقسم أحد قوى (أكبر من 1 ) x − a كلاً من P ؛ في هذه الحالة، يكون a جذرًا مضاعفًا لـ P ، وإلا يكون a جذرًا بسيطًا لـ P. إذا كان P كثير حدود غير صفري، فإنه يوجد أعلى قوة m بحيث يقسم ( x − a ) ^m كلاً من P ، ويُسمى هذا المعامل بتعددية a كجذر لـ P. لا يمكن أن يتجاوز عدد جذور كثير الحدود غير الصفري P ، مع عدّ تعددياتها، درجة P ، ^{[ 29 ]} ويساوي هذه الدرجة إذا أُخذت جميع الجذور المركبة في الاعتبار (وهذه نتيجة لنظرية الجبر الأساسية ). ترتبط معاملات كثير الحدود وجذوره بصيغ فيتا .

بعض كثيرات الحدود، مثل x² ⁺ 1 ، ليس لها أي جذور بين الأعداد الحقيقية . ولكن إذا تم توسيع مجموعة الحلول المقبولة لتشمل الأعداد المركبة ، فإن كل كثيرة حدود غير ثابتة لها جذر واحد على الأقل؛ وهذه هي النظرية الأساسية في الجبر . بتقسيم عوامل x - a تباعًا ، نجد أن أي كثيرة حدود ذات معاملات مركبة يمكن كتابتها على صورة ثابت (معاملها الرئيسي) مضروبًا في حاصل ضرب عوامل كثيرة الحدود من الدرجة  الأولى؛ ونتيجة لذلك، فإن عدد الجذور (المركبة) مع تكراراتها يساوي تمامًا درجة كثيرة الحدود.

قد يكون لعبارة "حل معادلة" معانٍ متعددة . قد يرغب المرء في التعبير عن الحلول كأعداد صريحة؛ على سبيل المثال، الحل الوحيد للمعادلة 2x - 1 = 0 هو 1/2 . وهذا، عمومًا، مستحيل للمعادلات من الدرجة الأولى أو أعلى، ومنذ القدم، سعى علماء الرياضيات إلى التعبير عن الحلول بصيغ جبرية ؛ على سبيل المثال، النسبة الذهبية (1 + √5 ) /2 هي الحل الموجب الوحيد للمعادلة x² ^- x - 1 = 0. في العصور القديمة، لم ينجحوا إلا في المعادلات من الدرجة الأولى والثانية. أما بالنسبة للمعادلات التربيعية ، فإن الصيغة التربيعية توفر مثل هذه التعبيرات للحلول. منذ القرن السادس عشر، عُرفت صيغ مشابهة (باستخدام الجذور التكعيبية بالإضافة إلى الجذور التربيعية)، وإن كانت أكثر تعقيدًا، للمعادلات من الدرجة الثالثة والرابعة (انظر المعادلة التكعيبية والمعادلة الرباعية ). لكن صيغ المعادلات من الدرجة الخامسة وما فوق ظلت عصية على الباحثين لعدة قرون. في عام ١٨٢٤، أثبت نيلز هنريك أبيل نتيجةً لافتةً مفادها وجود معادلات من الدرجة الخامسة لا يمكن التعبير عن حلولها بصيغة (محدودة) تتضمن فقط العمليات الحسابية والجذور (انظر نظرية أبيل-روفيني ). وفي عام ١٨٣٠، أثبت إيفاريست غالوا أن معظم المعادلات من الدرجات الأعلى من الرابعة لا يمكن حلها بالجذور، وبيّن أنه لكل معادلة، يمكن تحديد ما إذا كانت قابلة للحل بالجذور، وإذا كانت كذلك، يتم حلها. مثّلت هذه النتيجة بداية نظرية غالوا ونظرية الزمر ، وهما فرعان مهمان من فروع الجبر الحديث . وقد أشار غالوا نفسه إلى أن الحسابات التي تنطوي عليها طريقته غير عملية. ومع ذلك، فقد نُشرت صيغ للمعادلات القابلة للحل من الدرجتين الخامسة والسادسة (انظر الدالة الخماسية والمعادلة السداسية ).

عندما لا يوجد تعبير جبري للجذور، وعندما يوجد مثل هذا التعبير ولكنه معقد للغاية بحيث لا يمكن استخدامه، فإن الطريقة الوحيدة لحلها هي حساب تقريبات عددية للحلول. ^{[ 30 ]} توجد طرق عديدة لذلك؛ بعضها يقتصر على كثيرات الحدود، والبعض الآخر يمكن تطبيقه على أي دالة متصلة . تسمح الخوارزميات الأكثر كفاءة بحل معادلات كثيرات الحدود بسهولة (باستخدام الحاسوب ) من الدرجة الأعلى من 1000 (انظر خوارزمية إيجاد الجذور ).

بالنسبة لكثيرات الحدود التي تحتوي على أكثر من مُعامل غير مُحدد، تُسمى مجموعات قيم المتغيرات التي تجعل دالة كثيرة الحدود تساوي صفرًا بالأصفار بدلًا من "الجذور". ويُعدّ دراسة مجموعات أصفار كثيرات الحدود موضوعًا للهندسة الجبرية . بالنسبة لمجموعة من معادلات كثيرات الحدود التي تحتوي على عدة مجاهيل، توجد خوارزميات لتحديد ما إذا كان لها عدد محدود من الحلول المركبة ، وإذا كان هذا العدد محدودًا، لحساب هذه الحلول. انظر: نظام معادلات كثيرات الحدود .

تُسمى الحالة الخاصة التي تكون فيها جميع كثيرات الحدود من الدرجة الأولى بنظام المعادلات الخطية ، والتي توجد لها مجموعة أخرى من طرق الحل المختلفة، بما في ذلك طريقة الحذف الغاوسي الكلاسيكية .

تُسمى المعادلة متعددة الحدود التي لا يُهتم فيها إلا بالحلول الصحيحة معادلة ديوفانتية . يُعدّ حلّ المعادلات الديوفانتية مهمةً بالغة الصعوبة عمومًا. وقد ثبت أنه لا توجد خوارزمية عامة لحلّها، ولا حتى لتحديد ما إذا كانت مجموعة الحلول فارغة (انظر مسألة هيلبرت العاشرة ). ترتبط بعض أشهر المسائل التي حُلّت خلال الخمسين عامًا الماضية بالمعادلات الديوفانتية، مثل نظرية فيرما الأخيرة .

كثير الحدود المثلثي هو تركيبة خطية منتهية من الدالتين sin( nx ) و cos( nx ) حيث تأخذ n قيمة عدد طبيعي واحد أو أكثر . ^{[ 31 ]} يمكن اعتبار المعاملات أعدادًا حقيقية، بالنسبة للدوال ذات القيم الحقيقية.

إذا تم توسيع sin( nx ) و cos( nx ) بدلالة sin( x ) و cos( x )، فإن متعددة الحدود المثلثية تتحول إلى متعددة حدود في المتغيرين sin( x ) و cos( x ) (باستخدام صيغ الزوايا المتعددة ). وبالعكس، يمكن تحويل أي متعددة حدود في sin( x ) و cos( x )، باستخدام متطابقات تحويل الضرب إلى مجموع ، إلى توليفة خطية من الدالتين sin( nx ) و cos( nx ). هذا التكافؤ يفسر سبب تسمية التوليفات الخطية بمتعددات الحدود.

بالنسبة للمعاملات المركبة ، لا يوجد فرق بين هذه الدالة وسلسلة فورييه المحدودة .

تُستخدم كثيرات الحدود المثلثية على نطاق واسع، على سبيل المثال في الاستيفاء المثلثي المطبق على استيفاء الدوال الدورية . كما تُستخدم أيضًا في تحويل فورييه المنفصل .

متعددة الحدود المصفوفية هي متعددة حدود بمصفوفات مربعة كمتغيرات. ^{[ 32 ]} بالنظر إلى متعددة حدود عادية ذات قيم قياسية $${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$$ هذه متعددة الحدود عند تقييمها عند المصفوفة A هي $${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$$ حيث I هي مصفوفة الوحدة . ^{[ 33 ]}

معادلة كثير الحدود المصفوفية هي مساواة بين كثيرتي حدود مصفوفيتين، وتتحقق هذه المساواة بالنسبة للمصفوفات المحددة المعنية. أما متطابقة كثير الحدود المصفوفية فهي معادلة كثير الحدود المصفوفية التي تتحقق لجميع المصفوفات A في حلقة مصفوفات محددة M _n ( R ).

يمكن تسمية كثير الحدود ثنائي المتغيرات حيث يتم استبدال المتغير الثاني بدالة أسية مطبقة على المتغير الأول، على سبيل المثال P ( x , e ^x ) ، بكثير الحدود الأسي .

الكسر النسبي هو ناتج قسمة كثيرتي حدود ( كسر جبري ). أي تعبير جبري يمكن إعادة كتابته على شكل كسر نسبي هو دالة نسبية .

بينما يتم تعريف الدوال متعددة الحدود لجميع قيم المتغيرات، فإن الدالة الكسرية يتم تعريفها فقط لقيم المتغيرات التي يكون فيها المقام غير صفري.

تشمل الكسور النسبية كثيرات حدود لوران، لكنها لا تقيد المقامات بقوى غير محددة.

كثيرات حدود لوران تشبه كثيرات الحدود، لكنها تسمح بحدوث قوى سالبة للمتغير (المتغيرات).

تُشبه متسلسلات القوى الرسمية كثيرات الحدود، لكنها تسمح بظهور عدد لا نهائي من الحدود غير الصفرية، لذا فهي لا تمتلك درجة محدودة. وعلى عكس كثيرات الحدود، لا يمكن كتابتها بشكل صريح وكامل (تمامًا كما هو الحال مع الأعداد غير النسبية )، لكن قواعد التعامل مع حدودها هي نفسها قواعد كثيرات الحدود. كما تُعمم متسلسلات القوى غير الرسمية كثيرات الحدود، لكن حاصل ضرب متسلسلتي قوى قد لا يتقارب.

إذا كانت R مجالًا تكامليًا ، وكانت f و g كثيرتي حدود في R [ x ] ، يُقال إن f تقسم g أو f قاسم لـ g إذا وُجدت كثيرة حدود q في R [ x ] بحيث يكون fq = g .${\displaystyle a\in R,}$يكون a جذرًا للدالة f إذا وفقط إذا${\displaystyle x-a}$يقسم f . في هذه الحالة، يمكن حساب الناتج باستخدام القسمة المطولة لكثيرات الحدود . ^{[ 34 ] [ 35 ]}

إذا كان F حقلاً ، وكانت f و g كثيرتي حدود في F [ x ] حيث g ≠ 0 ، فإنه توجد كثيرتا حدود وحيدتان q و r في F [ x ] بحيث $${\displaystyle f=q\,g+r}$$بحيث تكون درجة r أصغر من درجة g (مع الأخذ في الاعتبار أن درجة كثيرة الحدود 0 سالبة). تُحدد كثيرتا الحدود q و r بشكل فريد بواسطة f و g . يُطلق على هذا القسمة اسم القسمة الإقليدية ، أو القسمة مع الباقي ، أو القسمة المطولة لكثيرات الحدود ، وهو يُبين أن الحلقة F [ x ] هي مجال إقليدي .

وبالمثل، يمكن تعريف كثيرات الحدود الأولية (أو بالأحرى كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال ) بأنها كثيرات حدود غير صفرية لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب كثيرتي حدود غير ثابتتين . في حالة المعاملات في حلقة، يجب استبدال مصطلح "غير ثابت" بمصطلح "غير ثابت أو غير وحدوي " (يتفق التعريفان في حالة المعاملات في حقل). يمكن تحليل أي كثيرة حدود إلى حاصل ضرب ثابت قابل للعكس في حاصل ضرب كثيرات حدود غير قابلة للاختزال. إذا كانت المعاملات تنتمي إلى حقل أو مجال تحليل فريد، فإن هذا التحليل يكون فريدًا حتى رتبة العوامل وضرب أي عامل غير وحدوي في وحدة (وقسمة العامل الوحدوي على الوحدة نفسها). عندما تنتمي المعاملات إلى أعداد صحيحة أو أعداد نسبية أو حقل منتهٍ، توجد خوارزميات لاختبار عدم الاختزال وحساب التحليل إلى كثيرات حدود غير قابلة للاختزال (انظر تحليل كثيرات الحدود ). لا تُعدّ هذه الخوارزميات عمليةً للحسابات اليدوية، ولكنها متوفرة في أي نظام جبر حاسوبي . كما يمكن استخدام معيار أيزنشتاين في بعض الحالات لتحديد عدم قابلية الاختزال.

في أنظمة الأعداد الموضعية الحديثة، كالنظام العشري ، تُعدّ الأرقام ومواقعها في تمثيل عدد صحيح، مثل 45، اختصارًا لكثير حدود في الأساس ، وفي هذه الحالة، 4 × 10¹ ⁺ 5 × ^10⁰ . كمثال آخر، في الأساس 5، تُشير سلسلة من الأرقام مثل 132 إلى العدد العشري 1 × 5² ⁺ 3 × ^5¹ + 2 × 5⁰ ⁼ 42. هذا التمثيل فريد. ليكن b عددًا صحيحًا موجبًا أكبر من 1. عندئذٍ، يمكن التعبير عن كل عدد صحيح موجب a بشكل فريد على الصورة

$${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$$ حيث m عدد صحيح غير سالب، و r أعداد صحيحة بحيث

0 < r _m < b و 0 ≤ r _i < b لـ i = 0، 1، ...، m − 1. ^{[ 36 ]}

إن البنية البسيطة للدوال متعددة الحدود تجعلها مفيدة للغاية في تحليل الدوال العامة باستخدام تقريبات متعددة الحدود. ومن الأمثلة المهمة في حساب التفاضل والتكامل نظرية تايلور ، التي تنص باختصار على أن كل دالة قابلة للتفاضل تبدو محليًا كدالة متعددة الحدود، ونظرية ستون-ويرستراس ، التي تنص على أنه يمكن تقريب أي دالة متصلة معرفة على فترة مغلقة من المحور الحقيقي على كامل الفترة بدقة مطلوبة باستخدام دالة متعددة الحدود. وتشمل الطرق العملية للتقريب الاستيفاء متعدد الحدود واستخدام الدوال التجميعية . ^{[ 37 ]}

تُستخدم كثيرات الحدود بكثرة لترميز معلومات حول كائن آخر. ففي الجبر الخطي ، تحتوي كثيرة الحدود المميزة لمصفوفة أو مؤثر خطي على معلومات حول القيم الذاتية للمؤثر . وفي نظرية الحقول ، تُسجل كثيرة الحدود الدنيا لعنصر جبري أبسط علاقة جبرية يحققها ذلك العنصر. ^{[ 38 ]} وفي نظرية المخططات الجبرية ، تحسب كثيرة الحدود اللونية للمخطط عدد التلوينات الصحيحة لذلك المخطط. ^{[ 39 ]}

يمكن استخدام مصطلح "متعدد الحدود"، كصفة، لوصف الكميات أو الدوال التي يمكن كتابتها بصيغة متعددة الحدود. على سبيل المثال، في نظرية التعقيد الحسابي، تعني عبارة " الزمن متعدد الحدود" أن الوقت اللازم لإكمال خوارزمية ما محدود بدالة متعددة الحدود لمتغير ما، مثل حجم المدخلات.

أقدم استخدام معروف لعلامة المساواة ورد في كتاب روبرت ريكورد " حجر الشحذ" (The Whetstone of Witte) عام 1557. أما علامتا الجمع (+) والطرح (-)، واستخدام حرف للدلالة على المجهول، فقد ظهرا في كتاب مايكل ستيفل " الحساب المتكامل" (Arithemetica integra ) عام 1544. وقدّم رينيه ديكارت ، في كتابه "الهندسة" (La géometrie) عام 1637، مفهوم تمثيل معادلة متعددة الحدود بيانيًا. وقد شاع استخدام حروف الأبجدية للدلالة على الثوابت، وحروفها للدلالة على المتغيرات، كما هو موضح أعلاه في الصيغة العامة لكثير الحدود في متغير واحد، حيث تشير الأحرف a إلى الثوابت، و x إلى المتغير. كما أدخل ديكارت استخدام الأسس المرتفعة للدلالة على الأسس. ^{[ 40 ]}