التناظر

في الرياضيات ، التناظر هو عملية تحول أي دالة إلى${\displaystyle n}$تحويل المتغيرات إلى دالة متناظرة في${\displaystyle n}$المتغيرات. وبالمثل، فإن التناظر العكسي يحول أي دالة إلى${\displaystyle n}$تحويل المتغيرات إلى دالة مضادة للتناظر .

يترك${\displaystyle S}$كن مجموعة و${\displaystyle A}$ليكن زمرة أبيلية جمعية . خريطة${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$يُطلق عليه اسمخريطة متناظرة إذا $${\displaystyle \alpha (s,t)=\alpha (t,s)\quad {\text{ لجميع }}s,t\in S.}$$ يُطلق عليه اسمخريطة مضادة للتناظر إذا بدلاً من ذلك $${\displaystyle \alpha (s,t)=-\alpha (t,s)\quad {\text{ لجميع }}s,t\in S.}$$

التناظر الخريطة${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$هذه هي الخريطة${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x).}$ وبالمثل، فإنالتناظر المضاد أوالتناظر المائل للخريطة${\displaystyle \alpha :S\times S\to A}$هذه هي الخريطة${\displaystyle (x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x).}$

مجموع التناظر والتناظر العكسي لخريطة${\displaystyle \alpha }$يكون${\displaystyle 2\alpha .}$ وبالتالي، بعيدًا عن 2 ، بمعنى إذا كان 2 قابلاً للعكس ، كما هو الحال بالنسبة للأعداد الحقيقية ، يمكن للمرء أن يقسم على 2 ويعبر عن كل دالة كمجموع دالة متناظرة ودالة مضادة للتناظر.

إن تناظر الخريطة المتناظرة هو ضعفها، بينما تناظر الخريطة المتناوبة يساوي صفرًا؛ وبالمثل، فإن تناظر الخريطة المتناظرة العكسي يساوي صفرًا، بينما تناظر الخريطة المضادة للتناظر العكسي هو ضعفها.

وبشكل أعم، بالنظر إلى دالة في${\displaystyle n}$يمكن تحقيق التناظر عن طريق أخذ المجموع على جميع المتغيرات${\displaystyle n!}$تبديلات المتغيرات، ^{[ 1 ]} أو عكس التناظر عن طريق أخذ المجموع على جميع${\displaystyle n!/2}$التباديل الزوجية وطرح المجموع على جميعها${\displaystyle n!/2}$التباديل الفردية (باستثناء عندما${\displaystyle n\leq 1,}$(التباديل الوحيدة هي الزوجية).

هنا، يؤدي جعل الدالة المتناظرة متناظرة إلى ضربها في${\displaystyle n!}$– وبالتالي إذا${\displaystyle n!}$قابلة للعكس، كما هو الحال عند العمل على مجال من الخصائص${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle p>n,}$ثم تُعطي هذه النتائج توقعات عند قسمتها على${\displaystyle n!.}$

من منظور نظرية التمثيل، لا ينتج عن ذلك سوى التمثيلات الفرعية المقابلة للتمثيل التافه وتمثيل الإشارة، ولكن بالنسبة لـ${\displaystyle n>2}$وهناك غيرها - انظر نظرية تمثيل المجموعة المتناظرة ومتعددات الحدود المتناظرة .

بفرض وجود دالة في${\displaystyle k}$يمكن الحصول على دالة متناظرة في المتغيرات${\displaystyle n}$المتغيرات عن طريق حساب المجموع على${\displaystyle k}$مجموعات فرعية من المتغيرات تحتوي على عدد من العناصر. في الإحصاء، يُشار إلى هذا باسم bootstraping ، وتُسمى الإحصائيات المرتبطة به إحصائيات U.

• الخريطة الخطية المتعددة المتناوبة – خريطة خطية متعددة تساوي صفرًا عندما تكون الوسائط مرتبطة خطيًا 
• الموتر المتناظر العكسي – موتر يساوي معكوس أي من منقولاته 

• هازوينكل، ميشيل (1990). موسوعة الرياضيات: ترجمة محدثة ومُشروحة للموسوعة الرياضية السوفيتية . المجلد  6. سبرينغر. ISBN 978-1-55608-005-0.