رقم سيارة الأجرة

في الرياضيات ، يُعرَّف العدد النوني لسيارات الأجرة ، والذي يُرمز إليه عادةً بـ Ta( n ) أو Taxicab( n )، بأنه أصغر عدد صحيح يمكن التعبير عنه كمجموع مكعبين لعددين صحيحين موجبين بـ n طريقة مختلفة. ^{[ 1 ]} أشهر هذه الأعداد هو 1729 = Ta(2) = 1³ ⁺ 12³ ⁼ 9³ ⁺ 10³ ^، ويُعرف أيضًا باسم عدد هاردي-رامانوجان. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

يُشتق الاسم من محادثة جرت حوالي عام 1919 بين عالمي الرياضيات جي. إتش. هاردي وسرينيفاسا رامانوجان . كما رواها هاردي:

أتذكر أنني ذهبتُ لزيارته [رامانوجان] ذات مرة عندما كان مريضًا في بوتني . ركبتُ سيارة أجرة رقم ١٧٢٩ ، ولاحظتُ أن الرقم يبدو عاديًا بعض الشيء، وتمنيتُ ألا يكون نذير شؤم. فأجابني: "لا، إنه رقم مثير للاهتمام للغاية؛ إنه أصغر عدد يمكن التعبير عنه كمجموع مكعبين بطريقتين مختلفتين." ^{[ ٤ ] [ ٥ ]}

ذُكرت أزواج حدود عدد هاردي-رامانوجان Ta(2) = 1729 لأول مرة على يد برنارد فرينيكل دي بيسي ، الذي نشر ملاحظته عام 1657. واكتسب العدد 1729 شهرة واسعة كأول عدد يُستخدم في سيارات الأجرة في أوائل القرن العشرين، وذلك بفضل قصة زعم فيها سرينيفاسا رامانوجان أنه أصغر عدد ممكن في مثاله الخاص المكون من حدين. وفي عام 1938، أثبت جي إتش هاردي وإي إم رايت وجود مثل هذه الأعداد لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة n ، ويمكن تحويل برهانهما بسهولة إلى برنامج لتوليد هذه الأعداد. ومع ذلك، لا يُقدم البرهان أي ادعاءات حول ما إذا كانت الأعداد المولدة بهذه الطريقة هي أصغر الأعداد الممكنة ، وبالتالي فهو لا يُقدم القيمة الفعلية لـ Ta( n ) بشكل مباشر.

تم العثور على أرقام سيارات الأجرة اللاحقة لعام 1729 بمساعدة الحواسيب. حصل جون ليتش على Ta(3) في عام 1957. ووجد كل من إي. روزنستيل، وجيه إيه دارديس، وسي آر روزنستيل Ta(4) في عام 1989. ^{[ 6 ]} ووجد جيه إيه دارديس Ta(5) في عام 1994، وأكده ديفيد دبليو ويلسون في عام 1999. ^{[ 7 ] [ 8 ]} أعلن أوي هولرباخ عن Ta(6) على القائمة البريدية NMBRTHRY في 9 مارس 2008، ^{[ 9 ]} وذلك بعد ورقة بحثية نشرها كالود وآخرون عام 2003، والتي أشارت إلى احتمال بنسبة 99% أن يكون الرقم هو Ta(6) بالفعل. ^{[ 10 ]} ووجد كريستيان بوير حدودًا عليا لأرقام Ta(7) إلى Ta(12) في عام 2006. ^{[ 11 ]}

يُعدّ حصر الحدود في الأعداد الموجبة ضروريًا، لأنّ السماح بالأعداد السالبة يُتيح عددًا أكبر (وأصغر) من الحالات التي يُمكن التعبير عنها كمجموع مكعبات بطرقٍ مُختلفة (المتتالية A293647 في OEIS ) . وقد طُرح مفهوم " عدد سيارة الأجرة" للسماح بتعريفات بديلة وأقل تقييدًا من هذا النوع. بمعنى آخر، يُعدّ تحديد حدّين وقوى العدد ثلاثة تقييدًا أيضًا؛ إذ يسمح " عدد سيارة الأجرة" المُعمّم بأن تكون هذه القيم غير اثنين وثلاثة على التوالي.

حتى الآن، تم التعرف على أرقام سيارات الأجرة الستة التالية:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)&=\ 2\\&=1^{3}+1^{3}\\\operatorname {Ta} (2)&=\ 1729\\&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\\\operatorname {Ta} (3)&=\ 87539319=3^{3}\times 3242197\\&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\\\operatorname {Ta} (4)&=\ 6963472309248=24^{3}\times 503723402\\&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\\\operatorname {Ta} (5)&=\ 48988659276962496=84^{3}\times 82652823799\\&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\\\operatorname {Ta} (6)&=\ 24153319581254312065344=79^{3}\times 84^{3}\times 82652823799\\&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}$$

بالنسبة لأرقام سيارات الأجرة التالية، توجد حدود عليا معروفة. حدد${\displaystyle \operatorname {Ta} (6)=79^{3}\times 84^{3}\times 82652823799}$كما سبق، إذن،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (7)&\leq 24885189317885898975235988544=101^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=58798362^{3}+2919526806^{3}\\&=309481473^{3}+2918375103^{3}\\&=459531128^{3}+2915734948^{3}\\&=860447381^{3}+2894406187^{3}\\&=1638024868^{3}+2736414008^{3}\\&=1766742096^{3}+2685635652^{3}\\&=1847282122^{3}+2648660966^{3}\\\operatorname {Ta} (8)&\leq 50974398750539071400590819921724352=101^{3}\times 127^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=7467391974^{3}+370779904362^{3}\\&=39304147071^{3}+370633638081^{3}\\&=58360453256^{3}+370298338396^{3}\\&=109276817387^{3}+367589585749^{3}\\&=208029158236^{3}+347524579016^{3}\\&=224376246192^{3}+341075727804^{3}\\&=234604829494^{3}+336379942682^{3}\\&=288873662876^{3}+299512063576^{3}\\\operatorname {Ta} (9)&\leq 136897813798023990395783317207361432493888=101^{3}\times 17653^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=1037967484386^{3}+51538406706318^{3}\\&=4076877805588^{3}+51530042142656^{3}\\&=5463276442869^{3}+51518075693259^{3}\\&=8112103002584^{3}+51471469037044^{3}\\&=15189477616793^{3}+51094952419111^{3}\\&=28916052994804^{3}+48305916483224^{3}\\&=31188298220688^{3}+47409526164756^{3}\\&=32610071299666^{3}+46756812032798^{3}\\&=40153439139764^{3}+41632176837064^{3}\\\operatorname {Ta} (10)&\leq 7335345315241855602572782233444632535674275447104=101^{3}\times 6655181^{3}\times \operatorname {Ta} (6)\\&=391313741613522^{3}+19429979328281886^{3}\\&=904069333568884^{3}+19429379778270560^{3}\\&=1536982932706676^{3}+19426825887781312^{3}\\&=2059655218961613^{3}+19422314536358643^{3}\\&=3058262831974168^{3}+19404743826965588^{3}\\&=5726433061530961^{3}+19262797062004847^{3}\\&=10901351979041108^{3}+18211330514175448^{3}\\&=11757988429199376^{3}+17873391364113012^{3}\\&=12293996879974082^{3}+17627318136364846^{3}\\&=15137846555691028^{3}+15695330667573128^{3}\\\operatorname {Ta} (11)&\leq 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\&=5134510178400057^{3}+443171971973855943^{3}\\&=27089483598685872^{3}+443138459854855128^{3}\\&=127174000598779680^{3}+439653507772479000^{3}\\&=138573856797762960^{3}+438609133406051160^{3}\\&=204623083640747772^{3}+428126038425768228^{3}\\&=209891877907138700^{3}+426887616463852180^{3}\\&=212424209933109720^{3}+426267111265435440^{3}\\&=299032406381730840^{3}+392138457234189120^{3}\\&=301539992238035460^{3}+390662458762053660^{3}\\&=309479752750029680^{3}+385744811881975000^{3}\\&=316469686016945240^{3}+381087194739069520^{3}\\\operatorname {Ta} (12)&\leq 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\&=292667080168803249^{3}+25260802402509788751^{3}\\&=771180546485662040^{3}+25260575914339118080^{3}\\&=1544100565125094704^{3}+25258892211726742296^{3}\\&=7248918034130441760^{3}+25060249943031303000^{3}\\&=7898709837472488720^{3}+25000720604144916120^{3}\\&=11663515767522623004^{3}+24403184190268788996^{3}\\&=11963837040706905900^{3}+24332594138439574260^{3}\\&=12108179966187254040^{3}+24297225342129820080^{3}\\&=17044847163758657880^{3}+22351892062348779840^{3}\\&=17187779557568021220^{3}+22267760149437058620^{3}\\&=17640345906751691760^{3}+21987454277272575000^{3}\\&=18038772102965878680^{3}+21721970100126962640^{3}\end{aligned}}}$$

تتطلب مسألة سيارة الأجرة الأكثر تقييدًا أن يكون عدد سيارة الأجرة خاليًا من المكعبات ^، أي أنه لا يقبل القسمة على أي مكعب آخر غير 1/3 ^. عندما يُكتب عدد سيارة أجرة خالي من المكعبات ^T على الصورة T = x³ + y³ ، يجب أن يكون العددان x و y أوليين فيما بينهما . من بين أعداد سيارات الأجرة Ta( n ) المذكورة أعلاه، Ta(1) و Ta(2) فقط هما عددان خاليان من المكعبات. اكتشف بول فوجتا (بحث غير منشور) أصغر عدد سيارة أجرة خالي من المكعبات بثلاثة تمثيلات عام 1981 عندما كان طالب دراسات عليا.

$${\displaystyle {\begin{aligned}15170835645&=517^{3}+2468^{3}\\&=709^{3}+2456^{3}\\&=1733^{3}+2152^{3}\end{aligned}}}$$

تم اكتشاف أصغر عدد لسيارات الأجرة الخالية من المكعبات والذي يحتوي على أربعة تمثيلات بواسطة ستيوارت جاسكوين وبشكل مستقل بواسطة دنكان مور في عام 2003:

$${\displaystyle {\begin{aligned}1801049058342701083&=92227^{3}+1216500^{3}\\&=136635^{3}+1216102^{3}\\&=341995^{3}+1207602^{3}\\&=600259^{3}+1165884^{3}\end{aligned}}}$$(التسلسل A080642 في OEIS ) .

• هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1954). مدخل إلى نظرية الأعداد (  الطبعة الثالثة). لندن ونيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. النظرية 412.
• ليتش، ج. (1957). "بعض حلول المعادلات الديوفانتية". وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج الرياضية . 53 (3): 778-780 . doi : 10.1017/S0305004100032850 .
• روزنستيل، إي.؛ دارديس، جيه إيه؛ روزنستيل، سي آر (1991). "الحلول الأربعة الأصغر في أعداد صحيحة موجبة مختلفة للمعادلة الديوفانتية${\displaystyle s=x^{3}+y^{3}=z^{3}+w^{3}=u^{3}+v^{3}=m^{3}+n^{3}}$" . نشرة معهد الرياضيات وتطبيقاتها . 27 : 155– 157. MR 1125858 . 
• ويلسون، ديفيد و. (1999). "رقم سيارة الأجرة الخامس هو 48988659276962496" . مجلة متواليات الأعداد الصحيحة . 2 .(لم يكن ويلسون على علم باكتشاف جيه إيه دارديس السابق لـ Ta(5) في عام 1994 عندما كتب هذا.)
• بيرنشتاين، دانيال ج. (2000). "حصر حلول ⁠${\displaystyle p(a)+q(b)=r(c)+s(d)}$⁠ ".رياضيات الحساب.70(233):389–394.doi: 10.1090/S0025-5718-00-01219-9 .
• كالود، كريستيان س.؛ كالود، إيلينا؛ دينين، مايكل ج. (2003). "ما قيمة Taxicab(6)؟" . مجلة علوم الحاسوب العالمية . 9 : 1196-1203 . doi : 10.3217/jucs-009-10-1196 .

• منشورٌ نُشر عام ٢٠٠٢ على قائمة بريد نظرية الأعداد بقلم راندال ل. راثبون، مؤرشف بتاريخ ١٠ أكتوبر ٢٠٠٤ على موقع Wayback Machine.
• غرايم، جيمس؛ باولي، روجر. هاران، برادي (محرر). 1729: رقم سيارة الأجرة أو رقم هاردي-رامانوجان . نمبرفايل.
• سيارة الأجرة وغيرها من الرياضيات في أويلر
• سينغ، سيمون . هاران، برادي (محرران). "أرقام سيارات الأجرة في مسلسل فيوتوراما" . نمبرفايل. مؤرشف من الأصل بتاريخ 3 ديسمبر 2015. تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 نوفمبر 2013 .