الرباعي الفيثاغوري

الرباعية الفيثاغورية هي مجموعة من الأعداد الصحيحة a و b و c و d ، بحيث يكون a² + b² + c² = d² . وهي ^حلول لمعادلة ^{ديوفانتية} ، وغالبًا ^ما تُؤخذ القيم الصحيحة الموجبة فقط في الاعتبار. ^{[ 1 ] مع} ذلك، ولتقديم تفسير هندسي أكثر شمولًا، يمكن السماح بأن تكون القيم الصحيحة سالبة أو صفرًا (مما يسمح بتضمين الثلاثيات الفيثاغورية ) بشرط أن يكون d > 0. في هذا السياق، تُعرّف الرباعية الفيثاغورية ( a , b , c , d ) متوازي مستطيلات بأطوال أضلاع صحيحة | a | و | b | و | c | ، وقطره الخارجي طوله d ؛ وبناءً على هذا التفسير، تُسمى الرباعيات الفيثاغورية أيضًا بالمكعبات الفيثاغورية . ^{[ 2 ]} في هذه المقالة سنفترض، ما لم يُذكر خلاف ذلك، أن قيم الرباعية الفيثاغورية كلها أعداد صحيحة موجبة.

يُطلق على الرباعية الفيثاغورية اسم الرباعية الأولية إذا كان القاسم المشترك الأكبر لعناصرها هو 1. كل رباعية فيثاغورية هي مضاعف صحيح لرباعية أولية. يمكن توليد مجموعة الرباعيات الفيثاغورية الأولية التي يكون فيها a فرديًا باستخدام الصيغ التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},\\b&=2(mq+np),\\c&=2(nq-mp),\\d&=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},\end{aligned}}}$$ حيث m و n و p و q أعداد صحيحة غير سالبة، قاسمها المشترك الأكبر هو 1، بحيث يكون مجموع m + n + p + q عددًا فرديًا. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]} وبالتالي، تتميز جميع الرباعيات الفيثاغورية الأولية بالعنصر المحايد. $${\displaystyle (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.}$$

يمكن توليد جميع الرباعيات الفيثاغورية (بما في ذلك الرباعيات غير الأولية، ومع التكرار، على الرغم من أن a و b و c لا تظهر في جميع الترتيبات الممكنة) من عددين صحيحين موجبين a و b على النحو التالي:

إذا كان للعددين a و b زوجية مختلفة ، فليكن p أي عامل من عوامل a² + b² بحيث ^يكون p² < ^a² + b² . عندئذٍ ، c = ( ^a² + b² ^- p² ⁾ / ^2p و d = ( a² ⁺ b² + ^{p² )} / ^2p . لاحظ أن p = d - c .​^​

توجد طريقة مشابهة ^{[ 5 ]} لتوليد جميع رباعيات فيثاغورس التي يكون فيها كل من a و b زوجيين. لنفترض أن l = a/2 و m = b/2، ^{ولنفترض} أن n عامل من عوامل l² + m² بحيث n² < l² + m² . عندئذٍ ، c = l² + ^m² - ^n² / ⁿ و d = l² + m² ⁺ n² / n . تُولّد هذه ^{الطريقة} جميع رباعيات ^{فيثاغورس} مرة واحدة فقط عندما يمر كل ^من l و m ^بجميع أزواج الأعداد ^{الطبيعية} ، ^ويمر n بجميع القيم المسموح بها لكل زوج .

لا توجد طريقة كهذه إذا كان كل من a و b فرديين، وفي هذه الحالة لا توجد حلول كما يمكن رؤيته من خلال المعلمات في القسم السابق.

أكبر عدد يقسم دائمًا حاصل ضرب abcd هو 12. ^{[ 6 ]} الرباعي ذو الحد الأدنى من حاصل الضرب هو (1، 2، 2، 3).

بافتراض رباعية فيثاغورس${\displaystyle (a,b,c,d)}$أين${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$ثم${\displaystyle d}$يمكن تعريفها بأنها معيار الرباعية من حيث${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$وهو مماثل لوتر المثلث الفيثاغورسي.

من بين الحدود الثلاثة في الرباعية الفيثاغورية الأولية التي لا تمثل المعيار، سيكون أحدها فرديًا دائمًا، بينما سيكون الحدان الآخران زوجيين. وبالتالي، يجب أن يكون المعيار فرديًا. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

كل عدد فردي موجب باستثناء 1 و5 يمكن أن يكون معيارًا لرباعية فيثاغورس بدائية${\displaystyle d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$بحيث${\displaystyle a,b,c}$أكبر من الصفر وأعداد أولية فيما بينها. ^{[ 9 ]} جميع الرباعيات الفيثاغورية الأولية ذات الأعداد الفردية كمعايير حتى 29 باستثناء 1 و5 موضحة في الجدول أدناه.

على غرار الثلاثية الفيثاغورية التي تُنتج مثلثًا قائم الزاوية مميزًا، تُنتج الرباعية الفيثاغورية مثلثًا هيرونيًا مميزًا . ^{[ 10 ]} إذا كانت a ، b ، c ، d رباعية فيثاغورية مع${\textstyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2}}$سيولد ذلك مثلث هيروني بأضلاع x و y و z كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=d^{2}-a^{2}\\y&=d^{2}-b^{2}\\z&=d^{2}-c^{2}\end{aligned}}}$$ سيكون له نصف محيط${\textstyle s=d^{2}}$منطقة${\textstyle A=abcd}$ونصف قطر داخلي${\textstyle r=abc/d}$.

ستكون أنصاف الأقطار الخارجية كما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{x}&=bcd/a,\\r_{y}&=acd/b,\\r_{z}&=abd/c.\end{aligned}}}$$سيكون نصف قطر الدائرة المحيطة كالتالي:$${\displaystyle R={\frac {(d^{2}-a^{2})(d^{2}-b^{2})(d^{2}-c^{2})}{4abcd}}={\frac {abcd(1/a^{2}+1/b^{2}+1/c^{2}-1/d^{2})}{4}}}$$

يمكن العثور على التسلسل المرتب لمساحات هذه الفئة من المثلثات الهيرونية في (التسلسل A367737 في OEIS ) .

تُقابل الرباعية الفيثاغورية الأولية ( a , b , c , d ) المُعطاة بالمعاملات ( m , n , p , q ) العمود الأول من التمثيل المصفوفي E(α) للمرافق α ( ⋅ ) α بواسطة الرباعية الهورويتزية α = m + ni + pj + qk المُقيدة بالفضاء الجزئي للرباعيات المُمتدة بواسطة i , j , k ، والذي يُعطى بواسطة $${\displaystyle E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{2}\\\end{pmatrix}},}$$ حيث تكون الأعمدة متعامدة مثنى مثنى ، ولكل منها معيار d . علاوة على ذلك، لدينا أن 1 / d E ( α ) ينتمي إلى المجموعة المتعامدة${\displaystyle SO(3,\mathbb {Q} )}$وفي الواقع، تنشأ جميع المصفوفات المتعامدة 3 × 3 ذات المعاملات النسبية بهذه الطريقة. ^{[ 11 ]}

يوجد 31 رباعية فيثاغورية بدائية تكون فيها جميع المدخلات أقل من 30.

• تخمين بيال
• طوب أويلر
• حدسية مجموع القوى لأويلر
• صيغة أويلر-رودريغز للدوران ثلاثي الأبعاد
• مكعب فيرما
• معادلة جاكوبي-مادن
• نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة (يمكن تمثيل كل عدد طبيعي على أنه مجموع أربعة مربعات أعداد صحيحة)
• نظرية ليجاندر للمربعات الثلاثة (أي الأعداد الطبيعية التي لا يمكن تمثيلها كمجموع ثلاثة مربعات من الأعداد الصحيحة)
• مشكلة بروهيه-تاري-إسكوت
• الرباعيات والدوران المكاني
• رقم سيارة الأجرة

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الرباعية الفيثاغورية" . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "هوية لوبيغ" . عالم الرياضيات .
• كارمايكل. تحليل ديوفانتين في مشروع غوتنبرغ