نظرية كرة التنس

في الهندسة التفاضلية ، تنص نظرية كرة التنس على أن أي منحنى أملس على سطح كرة يقسم الكرة إلى مجموعتين متساويتين في المساحة دون أن يمس نفسه أو يتقاطع معه، يجب أن يحتوي على أربع نقاط انعطاف على الأقل ، وهي نقاط لا ينحني عندها المنحنى باستمرار إلى جانب واحد فقط من خط المماس . ^{[ 1 ]} نُشرت نظرية كرة التنس لأول مرة بهذا الاسم بواسطة فلاديمير أرنولد في عام 1994، ^{[ 2 ] [ 3 ]} وغالبًا ما تُنسب إليه، ولكن ظهرت نتيجة وثيقة الصلة في وقت سابق في ورقة بحثية عام 1968 لبنيامينو سيغري ، ونظرية كرة التنس نفسها هي حالة خاصة من نظرية وردت في ورقة بحثية عام 1977 لجول ل. واينر. ^{[ 4 ] [ 5 ]} اسم النظرية مشتق من الشكل القياسي لكرة التنس ، حيث يشكل خط التماس منحنى (عند تنعيمه بشكل مناسب) يحقق شروط النظرية. يُستخدم نفس نوع المنحنى أيضًا في درزات كرات البيسبول . ^{[ 1 ]}

يمكن تعميم نظرية كرة التنس لتشمل أي منحنى لا يقع داخل نصف كرة مغلق. يجب أن يحتوي المنحنى المتناظر مركزياً على الكرة على ست نقاط انعطاف على الأقل. وتُشابه هذه النظرية نظرية الرؤوس الأربعة التي تنص على أن أي منحنى مستوٍ مغلق أملس يحتوي على أربع نقاط انحناء قصوى على الأقل.

وبشكل أدق، نقطة انعطاف لدالة قابلة للتفاضل بشكل مستمر مزدوج (${\displaystyle C^{2}}$المنحنى على سطح الكرة هو نقطة${\displaystyle p}$بالخاصية التالية: ليكن${\displaystyle I}$ليكن المكون المتصل الذي يحتوي${\displaystyle p}$نقطة تقاطع المنحنى مع دائرته العظمى المماسية عند${\displaystyle p}$(بالنسبة لمعظم المنحنيات)${\displaystyle I}$سيكون الأمر كذلك${\displaystyle p}$(بذاتها، ولكن يمكن أن تكون أيضًا قوسًا من الدائرة العظمى.) ثم، من أجل${\displaystyle p}$لتكون نقطة تحول، كل حي من أحياء${\displaystyle I}$يجب أن تحتوي على نقاط من المنحنى تنتمي إلى نصفي الكرة الأرضية المفصولين بهذه الدائرة العظمى. تنص النظرية على أن كل${\displaystyle C^{2}}$المنحنى الذي يقسم الكرة إلى مكونين متساويين في المساحة له أربع نقاط انعطاف على الأقل بهذا المعنى. ^{[ 6 ]}

يمكن تمثيل درزات كرة التنس وكرة البيسبول رياضيًا بمنحنى مكون من أربعة أقواس نصف دائرية، مع أربع نقاط انعطاف بالضبط عند التقاء أزواج من هذه الأقواس. ^{[ 7 ]} كما أن الدائرة العظمى تقسم سطح الكرة إلى نصفين، ولها عدد لا نهائي من نقاط الانعطاف، نقطة واحدة عند كل نقطة من المنحنى. ومع ذلك، فإن شرط تقسيم المنحنى لمساحة سطح الكرة بالتساوي هو جزء ضروري من النظرية. أما المنحنيات الأخرى التي لا تقسم المساحة بالتساوي، مثل الدوائر التي ليست دوائر عظمى، فقد لا تحتوي على أي نقاط انعطاف على الإطلاق. ^{[ 1 ]}

تستخدم إحدى طرق إثبات نظرية كرة التنس تدفق تقصير المنحنى ، وهي عملية لتحريك نقاط المنحنى باستمرار نحو مراكز انحنائها المحلية . بتطبيق هذا التدفق على المنحنى المعطى، يمكن إثبات الحفاظ على سلاسة المنحنى وخاصية تنصيف مساحته. بالإضافة إلى ذلك، مع تدفق المنحنى، لا يزداد عدد نقاط انعطافه. يؤدي هذا التدفق في النهاية إلى تحويل المنحنى إلى دائرة عظمى ، ويمكن تقريب التقارب إلى هذه الدائرة بواسطة متسلسلة فورييه . ولأن تقصير المنحنى لا يغير أي دائرة عظمى أخرى، فإن الحد الأول في هذه المتسلسلة يساوي صفرًا، وبدمج ذلك مع نظرية ستورم حول عدد أصفار متسلسلة فورييه، يتضح أنه عندما يقترب المنحنى من هذه الدائرة العظمى، فإنه يحتوي على أربع نقاط انعطاف على الأقل. لذلك، يحتوي المنحنى الأصلي أيضًا على أربع نقاط انعطاف على الأقل. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

ينطبق تعميم لنظرية كرة التنس على أي منحنى أملس بسيط على الكرة لا يقع ضمن نصف كرة مغلق. وكما في نظرية كرة التنس الأصلية، يجب أن تحتوي هذه المنحنيات على أربع نقاط انعطاف على الأقل. ^{[ 5 ] [ 10 ]} وإذا كان المنحنى على الكرة متناظرًا مركزيًا ، فيجب أن يحتوي على ست نقاط انعطاف على الأقل. ^{[ 10 ]}

تتعلق نظرية سيغري (1968) ذات الصلة الوثيقة أيضًا بالمنحنيات الكروية المغلقة البسيطة، على كرات مغمورة في فضاء ثلاثي الأبعاد. إذا كان، بالنسبة لمثل هذا المنحنى،${\displaystyle o}$إذا كانت أي نقطة من الغلاف المحدب ثلاثي الأبعاد لمنحنى أملس على الكرة ليست رأسًا من رؤوس المنحنى، فإن أربع نقاط على الأقل من المنحنى لها مستويات مماسية تمر عبرها${\displaystyle o}$. على وجه الخصوص، بالنسبة لمنحنى غير موجود في نصف كرة، يمكن تطبيق هذه النظرية مع${\displaystyle o}$في مركز الكرة. لكل نقطة انعطاف في منحنى كروي مستوى تماس يمر عبر مركز الكرة، ولكن قد ينطبق هذا أيضًا على بعض النقاط الأخرى. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

تُشابه هذه النظرية نظرية الرؤوس الأربعة ، التي تنص على أن كل منحنى مغلق بسيط أملس في المستوى له أربعة رؤوس (نقاط انحناء قصوى). كما تُشابه نظرية أوغسطس فرديناند موبيوس التي تنص على أن كل منحنى أملس غير قابل للانكماش في المستوى الإسقاطي له ثلاث نقاط انعطاف على الأقل. ^{[ 2 ] [ 9 ]}

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "نظرية كرة التنس" ، عالم الرياضيات