حاسب الرمال

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 6 صور
الموسوعة الحرة

كتاب "حساب الرمل" ( باليونانية : Ψαμμίτης ، بساميتس ) هو عملٌ من تأليف أرخميدس ،عالم الرياضيات اليوناني القديم الذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد ، والذي سعى فيه إلى تحديد الحد الأقصى لعدد حبات الرمل التي تتسع لها مساحة الكون . ولتحقيق ذلك، كان على أرخميدس تقدير حجم الكون وفقًا للنموذج السائد آنذاك، وابتكار طريقة للتعبير عن الأعداد الهائلة.

يُعرف هذا العمل أيضاً باللاتينية باسم "أريناريوس" ، ويبلغ طوله حوالي ثماني صفحات بعد الترجمة، وهو موجه إلى ملك سرقوسيا جيلو الثاني (ابن هيرون الثاني ). ويُعتبر هذا العمل من أكثر أعمال أرخميدس سهولة في الفهم. [ 1 ]

تسمية الأعداد الكبيرة

كان على أرخميدس أولًا ابتكار نظام لتسمية الأعداد الكبيرة . كان النظام العددي المستخدم آنذاك قادرًا على التعبير عن أعداد تصل إلى 10000 (ميريا)، وباستخدام كلمة "ميريا" نفسها، يمكن توسيع هذا النظام ليشمل تسمية جميع الأعداد حتى 10000 ميريا (10⁸ ) . [ 3 ] أطلق أرخميدس على الأعداد حتى 10⁸ اسم " الرتبة الأولى"، وأطلق على 10⁸ نفسها اسم "وحدة الرتبة الثانية". ثم أصبحت مضاعفات هذه الوحدة هي الرتبة الثانية، وصولًا إلى هذه الوحدة مضروبة في ميريا-ميريا، أي 10⁸ × 10⁸ = 10¹⁶ . أصبحت هذه "وحدة الرتبة الثالثة"، ومضاعفاتها هي الرتبة الثالثة، وهكذا. استمر أرخميدس في تسمية الأرقام بهذه الطريقة حتى وصل إلى عدد لا يحصى من المرات التي تساوي فيها وحدة الرتبة 10⁸ ، أي (10⁸ ) ^( 10⁸ )

بعد أن فعل ذلك، أطلق أرخميدس على الأوامر التي حددها اسم "أوامر الفترة الأولى"، وأطلق على الأخيرة اسم(108)(108){\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}}، وهي "وحدة الفترة الثانية". ثم قام ببناء رتب الفترة الثانية بأخذ مضاعفات هذه الوحدة بطريقة مماثلة للطريقة التي تم بها بناء رتب الفترة الأولى. بالاستمرار على هذا النحو، وصل في النهاية إلى رتب فترة الميراياد-الميرايادث. كان أكبر عدد ذكره أرخميدس هو العدد الأخير في هذه الفترة، وهو

((108)(108))(108)=108⋅1016.{\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}.}

طريقة أخرى لوصف هذا الرقم هي واحد متبوعًا بثمانين كوادريليون (80 × 10^ 15 ) صفرًا ( على المقياس القصير ).

نظام أرخميدس يذكرنا بنظام الأرقام الموضعية ذي الأساس 10 8 ، وهو أمر رائع لأن الإغريق القدماء استخدموا نظامًا بسيطًا للغاية لكتابة الأرقام ، والذي يستخدم 27 حرفًا مختلفًا من الأبجدية للوحدات من 1 إلى 9، والعشرات من 10 إلى 90، والمئات من 100 إلى 900.

قانون الأسس

كما اكتشف أرخميدس قانون الأسس وأثبته .بمبن=بم+ن{\displaystyle b^{m}b^{n}=b^{m+n}}، وهو أمر ضروري للتلاعب بقوى بعض القواعدب{\displaystyle b}(وتحديداً في هذه الحالة،ب=10{\displaystyle b=10}(لقوى العدد 10.)

تقدير حجم الكون

ثم قدّر أرخميدس الحد الأقصى لعدد حبات الرمل اللازمة لملء الكون. وللقيام بذلك، استخدم نموذج مركزية الشمس لأريستارخوس الساموسي . وقد فُقد العمل الأصلي لأريستارخوس. أما عمل أرخميدس هذا، فهو أحد المراجع القليلة الباقية لنظريته [ 4 ] التي تنص على أن الشمس ثابتة بينما تدور الأرض حولها . وكما قال أرخميدس نفسه:

تتمثل فرضياته [أريستارخوس] في أن النجوم الثابتة والشمس تبقى ثابتة، وأن الأرض تدور حول الشمس على محيط دائرة، وتقع الشمس في منتصف المدار، وأن كرة النجوم الثابتة، التي تقع حول نفس مركز الشمس تقريبًا، كبيرة جدًا لدرجة أن الدائرة التي يفترض أن الأرض تدور فيها تتناسب مع بُعد النجوم الثابتة بنفس نسبة بُعد مركز الكرة عن سطحها. [ 5 ]

إن سبب الحجم الكبير لهذا النموذج هو أن الإغريق لم يتمكنوا من رصد اختلاف المنظر النجمي بالتقنيات المتاحة، مما يعني أن أي اختلاف في المنظر صغير للغاية، وبالتالي يجب وضع النجوم على مسافات كبيرة من الأرض (بافتراض صحة مركزية الشمس ).

بحسب أرخميدس، لم يحدد أريستارخوس المسافة بين النجوم والأرض. لذلك، اضطر أرخميدس إلى وضع الافتراضات التالية:

  • كان الكون كرويًا
  • نسبة قطر الكون إلى قطر مدار الأرض حول الشمس تساوي نسبة قطر مدار الأرض حول الشمس إلى قطر الأرض.

يمكن التعبير عن هذا الافتراض أيضًا بالقول إن اختلاف المنظر النجمي الناتج عن حركة الأرض حول مدارها يساوي اختلاف المنظر الشمسي الناتج عن الحركة حول الأرض. ويمكن التعبير عن ذلك بنسبة:

قطر الكونقطر مدار الأرض حول الشمس=قطر مدار الأرض حول الشمس قطر الأرض{\displaystyle {\frac {\text{قطر الكون}}{\text{قطر مدار الأرض حول الشمس}}}={\frac {\text{قطر مدار الأرض حول الشمس}}{\text{قطر الأرض}}}}

وللحصول على حد أعلى، وضع أرخميدس الافتراضات التالية بشأن أبعادها:

  • أن محيط الأرض لم يكن أكبر من 300 مليون ستاديا (5.55 × 10⁵ كم، وهو تقدير مبالغ فيه بنحو 40 ضعفًا).
  • أن القمر لم يكن أكبر من الأرض، وأن الشمس لم تكن أكبر من القمر بأكثر من ثلاثين مرة (1.65 × 10⁷ كم ، وهو تقدير مبالغ فيه بنحو عشرة أضعاف).
  • أن القطر الزاوي للشمس، كما يُرى من الأرض، كان أكبر من 1/200 من الزاوية القائمة (π/400 راديان = 0.45 درجة ، وهو تقدير مبالغ فيه، ولكنه دقيق في حدود 20٪ من القيمة الحقيقية).

ثم استنتج أرخميدس أن قطر الكون لا يتجاوز 10¹⁴ ستاديا (ما يعادل سنتين ضوئيتين تقريبًا بالوحدات الحديثة )، وأنه لا يحتاج إلى أكثر من 10⁶³ حبة رمل لملئه. وبناءً على هذه القياسات، كان قطر كل حبة رمل في تجربة أرخميدس الفكرية حوالي 19 ميكرومترًا (0.019 مليمترًا).

حساب عدد حبيبات الرمل في الكون الأريستارخي

يزعم أرخميدس أن أربعين بذرة خشخاش موضوعة جنبًا إلى جنب تعادل وحدة داكتيلوس يونانية واحدة (عرض إصبع)، والتي يبلغ طولها حوالي 19 ملم (¾ بوصة). وبما أن الحجم يتناسب طرديًا مع مكعب البعد الخطي ("إذ ثبت أن نسبة أقطار الكرات إلى بعضها البعض هي ثلاثة أضعاف")، فإن كرة قطرها داكتيلوس واحد تحتوي (باستخدام نظامنا العددي الحالي) على 40³ ، أي 64000 بذرة خشخاش.

ثم ادعى (دون دليل) أن كل بذرة خشخاش يمكن أن تحتوي على عدد لا يحصى (10000) من حبة الرمل. وبضرب الرقمين معًا، اقترح أن يكون عدد حبات الرمل الافتراضية في كرة قطرها إصبع واحد هو 640000000.

لتسهيل الحسابات اللاحقة، قرّب أرخميدس العدد 640 مليونًا إلى مليار، مشيرًا فقط إلى أن العدد الأول أصغر من الثاني، وبالتالي فإن عدد حبات الرمل المحسوبة لاحقًا سيتجاوز العدد الفعلي للحبات. تذكر أن هدف أرخميدس الأسمى من هذه المقالة كان توضيح كيفية الحساب باستخدام أعداد كانت تُعتبر سابقًا ضخمة للغاية، وليس مجرد حساب عدد حبات الرمل التي يمكن أن تتسع لها الكون بدقة.

كان طول الملعب اليوناني 600 قدم يونانية، وكان طول كل قدم 16 داكتيل، لذا كان هناك 9600 داكتيل في الملعب. قام أرخميدس بتقريب هذا العدد إلى 10000 (عدد لا يُحصى) لتسهيل الحسابات، مع ملاحظة أن العدد الناتج سيتجاوز العدد الفعلي لحبيبات الرمل.

مكعب العدد 10000 هو تريليون (10 12 )؛ وضرب مليار (عدد حبات الرمل في كرة داكتيل) في تريليون (عدد كرات داكتيل في كرة الملعب) ينتج عنه 10 21 ، وهو عدد حبات الرمل في كرة الملعب.

قدّر أرخميدس أن قطر الكون الأرستارخي يبلغ 10¹⁴ ستاديا ، وبالتالي سيكون هناك ( 10¹⁴ ) ³ كرة ستاديا في الكون، أو 10⁴² . بضرب 10²¹ في 10⁴² نحصل على 10⁶³ ، وهو عدد حبات الرمل في الكون الأرستارخي. [ 6 ]

استنادًا إلى تقدير أرخميدس لعدد لا يُحصى (10,000) من حبات الرمل في بذرة الخشخاش؛ و64,000 بذرة خشخاش في كرة داكتيل؛ وطول الملعب الذي يُقدّر بـ 10,000 داكتيل؛ وبافتراض أن عرض الداكتيل 19 ملم، فإن قطر حبة الرمل النموذجية عند أرخميدس يبلغ 18.3 ميكرومتر، وهو ما يُعرف اليوم بحبة الطمي . أما حاليًا، فيُعرّف أصغر قطر لحبة الرمل بأنه 50 ميكرومتر.

حسابات إضافية

أجرى أرخميدس بعض التجارب والحسابات المثيرة للاهتمام خلال مسيرته. تمثلت إحدى تجاربه في تقدير الحجم الزاوي للشمس كما يُرى من الأرض. وتُعدّ طريقة أرخميدس مثيرة للاهتمام بشكل خاص لأنها تأخذ في الحسبان الحجم المحدود لبؤبؤ العين، [ 7 ] وبالتالي قد تكون أول مثال معروف للتجريب في علم النفس الفيزيائي ، وهو فرع من علم النفس يُعنى بآليات الإدراك البشري ، والذي يُنسب تطويره عمومًا إلى هيرمان فون هيلمهولتز . كما أجرى حسابًا آخر مثيرًا للاهتمام يُراعي اختلاف المنظر الشمسي والمسافات المختلفة بين الراصد والشمس، سواءً أُطلِق عليها من مركز الأرض أو من سطحها عند شروق الشمس. وقد يكون هذا أول حساب معروف يتناول اختلاف المنظر الشمسي. [ 1 ]

يقتبس

هناك من يظن، أيها الملك جيلون، أن عدد الرمال لا نهائي، ولا أعني بالرمال ما حول سيراكوزا وبقية صقلية فحسب، بل ما يوجد في كل منطقة، مأهولة وغير مأهولة. وهناك من يظن، دون أن يعتبرها لا نهائية، أنه لم يُذكر عددٌ كافٍ لتجاوز حجمها. ومن الواضح أن من يتبنى هذا الرأي، لو تخيل كتلةً من الرمال، من نواحٍ أخرى، بحجم كتلة الأرض، بما فيها جميع البحار والمنخفضات، مملوءةً إلى ارتفاع أعلى الجبال، لكان أبعد ما يكون عن إدراك إمكانية وجود عدد يتجاوز عدد الرمال المذكورة.

لكنني سأحاول أن أبين لكم، من خلال براهين هندسية ستتمكنون من متابعتها، أن بعض الأعداد التي ذكرتها في العمل الذي أرسلته إلى زيوكسيبوس، تتجاوز ليس فقط كتلة الرمل التي تساوي في حجمها كتلة الأرض الممتلئة بالطريقة الموصوفة، بل تتجاوز أيضاً كتلة الرمل التي تساوي في حجمها كتلة الكون. [ 8 ]

- أرخميدس سيراكوساني أريناريوس وديمينسيو سيركولي

مراجع

  1. 1 2 أرخميدس، حاسب الرمال 511 RU، بقلم إيلان فاردي ، تم الاطلاع عليه في 28-II-2007.
  2. ↑ آلان هيرشفيلد (8 سبتمبر 2009). رجل الإلهام: حياة وإرث أرخميدس . دار بلومزبري للنشر، الولايات المتحدة الأمريكية. رقم ISBN 9780802719799تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 فبراير 2016 .
  3. ↑ تاريخ التحليل . إتش إن جانكي. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. 2003. ص 22. ISBN  0-8218-2623-9. OCLC 51607350 . {{cite book}}صيانة CS1: أخرى ( رابط )
  4. ↑ سيرة أريستارخوس في موقع MacTutor ، تم الاطلاع عليها بتاريخ 26-II-2007.
  5. ↑ أريناريوس، الجزء الأول، 4-7
  6. ↑ ترجمة مشروحة لكتاب "حاسب الرمال"جامعة ولاية كاليفورنيا، لوس أنجلوس
  7. ↑ سميث، ويليام - قاموس السير والأساطير اليونانية والرومانية (1880)، ص 272
  8. ↑ نيومان، جيمس ر. — عالم الرياضيات (2000)، ص 420

للمزيد من القراءة

  • حاسب الرمال ، بقلم جيليان برادشو . دار فورج (2000)، 348 صفحة، رقم ISBN 0-312-87581-9هذه رواية تاريخية تتناول حياة وأعمال أرخميدس.