مجموعات طومسون

في الرياضيات ، تُعرف مجموعات طومسون (وتُسمى أيضًا مجموعات طومسون ، أو المجموعات المتجولة ، أو مجموعات الحرباء ) بأنها ثلاث مجموعات ، ويُشار إليها عادةً بـ${\displaystyle F\subseteq T\subseteq V}$، والتي قدمها ريتشارد طومسون في بعض الملاحظات المكتوبة بخط اليد غير المنشورة عام 1965 كمثال مضاد محتمل لتخمين فون نيومان . من بين الثلاثة، تُعد المجموعة F الأكثر دراسة، ويُشار إليها أحيانًا باسم مجموعة طومسون أو مجموعة طومسون .

تتمتع زمر طومسون، وخاصةً F ، بمجموعة من الخصائص غير المألوفة التي جعلتها أمثلة مضادة للعديد من التخمينات العامة في نظرية الزمر. جميع زمر طومسون الثلاث لانهائية ولكنها ذات عرض منتهٍ . تُعد الزمرتان T و V مثالين (نادرين) على الزمر البسيطة اللانهائية ذات العرض المنتهي . الزمرة F ليست بسيطة، لكن زمرتها الجزئية المشتقة [ F , F ] بسيطة، وزمرة القسمة F على زمرتها الجزئية المشتقة هي الزمرة الأبيلية الحرة من الرتبة 2. F مرتبة ترتيبًا كليًا ، ولها نمو أسي ، ولا تحتوي على زمرة جزئية متماثلة مع الزمرة الحرة من الرتبة 2.

يُفترض أن F غير قابل للتقريب ، وبالتالي فهو مثال مضاد آخر لتخمين فون نيومان القديم ولكن تم دحضه مؤخرًا للمجموعات المعروضة بشكل محدود: من المعروف أن F غير قابل للتقريب الأولي .

قدم هيغمان (1974) عائلة لانهائية من المجموعات البسيطة المعروضة بشكل محدود، بما في ذلك مجموعة طومسون V كحالة خاصة.

يُعطى تمثيل محدود لـ F بالصيغة التالية:

${\displaystyle \langle A,B\mid \ [AB^{-1},A^{-1}BA]=[AB^{-1},A^{-2}BA^{2}]=\mathrm {id} \rangle }$

حيث [ x , y ] هو المبدل المعتاد لنظرية المجموعة ، xyx ⁻¹ y ⁻¹ .

على الرغم من أن F لها تمثيل محدود بمولدين وعلاقتين، إلا أنه من الأسهل والأكثر بديهية وصفها من خلال التمثيل غير المحدود:

${\displaystyle \langle x_{0},x_{1},x_{2},\dots \ \mid \ x_{k}^{-1}x_{n}x_{k}=x_{n+1}\ \mathrm {for} \ k<n\rangle .}$

يرتبط العرضان التقديميان بالعلاقة x ₀ = A ، x _n = A ^{1 − n} BA ^{n − 1} لـ n >0.

كما أن للمجموعة F تحقيقات من حيث العمليات على الأشجار الثنائية الجذرية المرتبة ، وكمجموعة فرعية من التشاكلات الخطية القطعية للفترة الوحدة التي تحافظ على التوجيه والتي تكون نقاطها غير القابلة للتفاضل عبارة عن أعداد نسبية ثنائية وتكون ميولها جميعها قوى العدد 2.

يمكن اعتبار المجموعة F مؤثرة على دائرة الوحدة بتحديد نقطتي نهاية الفترة [0, 1/2)، وتكون المجموعة T هي مجموعة التشاكلات الذاتية لدائرة الوحدة الناتجة عن إضافة التشاكل x → x + 1/2 mod 1 إلى F. في الأشجار الثنائية، يُقابل هذا تبديل الشجرتين أسفل الجذر. تُشتق المجموعة V من T بإضافة التطبيق غير المتصل الذي يُثبت نقاط الفترة نصف المفتوحة [0, 1/2) ويُبدل [1/2, 3/4) و[3/4, 1) بالطريقة الواضحة. في الأشجار الثنائية، يُقابل هذا تبديل الشجرتين أسفل الفرع الأيمن للجذر (إن وُجد).

مجموعة طومسون F هي مجموعة التشاكلات الذاتية التي تحافظ على الترتيب لجبر Jónsson–Tarski الحر على مولد واحد.

انتشرت فرضية طومسون القائلة بأن F غير قابلة للتحويل على نطاق واسع بفضل آر. جيوغيجان - انظر أيضًا مقالة كانون-فلويد-باري المذكورة في المراجع أدناه. ولا يزال وضعها الحالي غير محسوم: فقد نشر إي. شافغوليدزه ^{[ 1 ]} ورقة بحثية عام 2009 زعم فيها إثبات أن F قابلة للتحويل، ولكن تم اكتشاف خطأ، كما هو موضح في مراجعة MR .

من المعروف أن F ليس قابلاً للتقريب الأولي ، انظر النظرية 4.10 في كانون-فلويد-باري.

إذا لم يكن F قابلاً للتقريب، فسيكون ذلك مثالاً مضاداً آخر لتخمين فون نيومان الذي تم دحضه الآن للمجموعات المعروضة بشكل محدود، والذي ينص على أن المجموعة المعروضة بشكل محدود تكون قابلة للتقريب إذا وفقط إذا لم تحتوي على نسخة من المجموعة الحرة من الرتبة 2.

أُعيد اكتشاف المجموعة F مرتين على الأقل من قِبل علماء الطوبولوجيا خلال سبعينيات القرن العشرين. في ورقة بحثية نُشرت لاحقًا، ولكنها كانت متداولة كنسخة أولية آنذاك، بيّن كلٌّ من ب. فرايد وأ. هيلر ^{[ 2 ]} أن خريطة الإزاحة على F تُنتج عنصرًا متماثلًا غير قابل للتجزئة على فضاء إيلنبرغ-ماكلين K(F,1)، وأن هذا العنصر عالمي بمعنى مثير للاهتمام. وقد شُرحت هذه الظاهرة بالتفصيل في كتاب جيوغيجان (انظر المراجع أدناه). وبشكل مستقل، ابتكر كلٌّ من ج. ديداك وب. مينك ^{[ 3 ]} نموذجًا أقل شهرة للمجموعة F في سياق مسألة في نظرية الأشكال.

_{في عام ١٩٧٩، وضع ر .} جيوغيجان أربع فرضيات حول F : (١) F من النوع FP∞ ؛ (٢) جميع زمر التماثل لـ F عند اللانهاية تافهة؛ (٣) لا تحتوي F على زمر جزئية حرة غير تبديلية؛ (٤) F غير قابلة للتقريب. وقد أثبت ك. س. براون ور. جيوغيجان الفرضية (١) بصيغة قوية: يوجد K(F,1) بخليتين في كل بُعد موجب. ^{[ ٤ ]} كما أثبت براون وجيوغيجان الفرضية (٢ ) ^{[ ٥ ]} بمعنى أن التماثل H*(F,ZF) قد ثبت أنه تافه؛ وبما أن نظرية سابقة لم. ميهاليك ^{[ ٦ ]} تشير إلى أن F متصلة ببساطة عند اللانهاية، والنتيجة المذكورة تشير إلى أن جميع التماثلات عند اللانهاية تتلاشى، فإن الادعاء المتعلق بزمر التماثل يتبع. وقد أثبت م. برين وس. سكواير الفرضية (٣). ^{[ 7 ]} تمت مناقشة حالة (4) أعلاه.

من غير المعروف ما إذا كانت F تحقق حدسية فاريل-جونز . بل من غير المعروف أيضاً ما إذا كانت زمرة وايتهيد لـ F (انظر التواء وايتهيد ) أو زمرة الفئات الإسقاطية لـ F (انظر عائق التناهي لوول ) تافهة، على الرغم من أنه من السهل إثبات أن F تحقق حدسية باس القوية.

أظهر د. فارلي ^{[ 8 ]} أن F تعمل كتحويلات سطحية على مُركّب مكعب CAT(0) محدود محليًا (ذو بُعد لانهائي بالضرورة). ومن النتائج المترتبة على ذلك أن F تُحقق حدسية باوم-كونيس .

• مجموعة هيغمان
• التشفير غير التبادلي

• الأماكن القريبة : الأماكن القريبة : Parry، WR (1996)، “ملاحظات تمهيدية عن مجموعات ريتشارد طومسون” (PDF) ، L’Enseignement Mathématique ، IIe Série، 42 (3): 215–256 ، ISSN 0013-8584 ، MR 1426438  
• كانون، جيه دبليو؛ فلويد، دبليو جيه (سبتمبر 2011). "ما هي... مجموعة طومسون؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 58 (8): 1112-1113 . الرقم الدولي الموحد للدوريات 0002-9920 . تاريخ الاسترجاع: 27 ديسمبر 2011 . 
• جيوغيجان، روس (2008)، الأساليب الطوبولوجية في نظرية الزمر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  243، دار نشر سبرينغر ، arXiv : math/0601683 ، doi : 10.1142/S0129167X07004072 ، ISBN 978-0-387-74611-1MR 2325352​ 
• هيغمان، غراهام (1974)، الزمر البسيطة اللانهائية ذات العرض المحدود ، ملاحظات في الرياضيات البحتة، المجلد  8، قسم الرياضيات البحتة، قسم الرياضيات، معهد الدراسات المتقدمة، الجامعة الوطنية الأسترالية، كانبرا، ISBN 978-0-7081-0300-5، MR 0376874