عقلاني ثنائي

في الرياضيات، العدد النسبي الثنائي هو عدد يمكن التعبير عنه ككسر مقامه قوة من قوى العدد اثنين . على سبيل المثال، 1/2 و3/2 و3/8 أعداد نسبية ثنائية، بينما 1/3 ليس كذلك. لهذه الأعداد أهمية في علوم الحاسوب لأنها الأعداد الوحيدة التي لها تمثيلات ثنائية محدودة . كما تُستخدم الأعداد النسبية الثنائية في الأوزان والمقاييس، والإيقاعات الموسيقية ، وتعليم الرياضيات في المراحل المبكرة. ويمكنها تقريب أي عدد حقيقي بدقة .

مجموع أو فرق أو حاصل ضرب أي عددين نسبيين ثنائيين هو عدد نسبي ثنائي آخر، ويُعطى بصيغة بسيطة. مع ذلك، فإن قسمة عدد نسبي ثنائي على آخر لا ينتج عنها دائمًا عدد نسبي ثنائي. رياضيًا، هذا يعني أن الأعداد النسبية الثنائية تُشكّل حلقة تقع بين حلقة الأعداد الصحيحة وحقل الأعداد النسبية . يُمكن الإشارة إلى هذه الحلقة بـ $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$ .

في الرياضيات المتقدمة، تُعدّ الأعداد النسبية الثنائية أساسيةً لبناء الملف اللولبي الثنائي ، ودالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي ، ومويجات دوبيشيز ، ومجموعة طومسون ، ومجموعة بروفر الثنائية ، والأعداد السريالية ، والأعداد القابلة للانصهار . هذه الأعداد متماثلة الترتيب مع الأعداد النسبية؛ فهي تُشكّل نظامًا فرعيًا من الأعداد الثنائية، وكذلك من الأعداد الحقيقية، ويمكنها تمثيل الأجزاء الكسرية من الأعداد الثنائية. وقد استُخدمت الدوال، بدءًا من الأعداد الطبيعية وصولًا إلى الأعداد النسبية الثنائية، لصياغة التحليل الرياضي في الرياضيات العكسية .

التطبيقات

في القياس

أوزان مطبخية تقيس أجزاءً ثنائية من الرطل من 2 رطل إلى 1/64 رطل (1/4 أونصة)

تعتمد العديد من أنظمة الأوزان والمقاييس التقليدية على فكرة التنصيف المتكرر، مما ينتج عنه أعداد نسبية ثنائية عند قياس كميات كسرية من الوحدات. ويُقسّم البوصة عادةً إلى أعداد نسبية ثنائية بدلاً من استخدام التقسيم العشري. ^{[ 1 ]} كما أن التقسيمات المعتادة للغالون إلى أنصاف غالون، وكوارت ، وباينت ، وكوب هي أيضاً ثنائية. ^{[ 2 ]} استخدم المصريون القدماء أعداداً نسبية ثنائية في القياس، بمقامات تصل إلى 64. ^{[ 3 ]} وبالمثل، تعتمد أنظمة الأوزان من حضارة وادي السند في معظمها على التنصيف المتكرر؛ وتكتب عالمة الأنثروبولوجيا هيذر إم. إل. ميلر أن "التنصيف عملية بسيطة نسبياً باستخدام الموازين ذات الذراعين، وهو على الأرجح سبب استخدام العديد من أنظمة الأوزان في تلك الفترة الزمنية للأنظمة الثنائية". ^{[ 4 ]}

في مجال الحوسبة

تُعدّ الأعداد النسبية الثنائية أساسية في علم الحاسوب، فهي نوع من الأعداد الكسرية التي يمكن للعديد من الحواسيب التعامل معها مباشرةً. ^{[ 5 ]} وعلى وجه الخصوص، تُعرَّف الأعداد العشرية، كنوع بيانات تستخدمه الحواسيب، غالبًا بأنها أعداد صحيحة مضروبة في قوى موجبة أو سالبة للعدد اثنين. تُسمى الأعداد التي يمكن تمثيلها بدقة بصيغة الفاصلة العائمة، مثل أنواع بيانات الفاصلة العائمة IEEE ، بالأعداد القابلة للتمثيل. بالنسبة لمعظم تمثيلات الفاصلة العائمة، تُعدّ الأعداد القابلة للتمثيل مجموعة فرعية من الأعداد النسبية الثنائية. ^{[ 6 ]} وينطبق الأمر نفسه على أنواع بيانات النقطة الثابتة ، التي تستخدم أيضًا قوى العدد اثنين ضمنيًا في معظم الحالات. ^{[ 7 ]} نظرًا لبساطة الحساب باستخدام الأعداد النسبية الثنائية، فإنها تُستخدم أيضًا في الحساب الحقيقي الدقيق باستخدام حساب الفترات ، ^{[ 8 ]} وهي أساسية في بعض النماذج النظرية للأعداد القابلة للحساب . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

لا يمكن توليد متغير عشوائي من بتات عشوائية، في فترة زمنية محددة، إلا إذا كان للمتغير عدد محدود من النتائج التي تكون احتمالاتها جميعًا أعدادًا نسبية ثنائية. أما بالنسبة للمتغيرات العشوائية التي لا تكون احتمالاتها ثنائية، فمن الضروري إما تقريب احتمالاتها بأعداد نسبية ثنائية، أو استخدام عملية توليد عشوائي يكون زمنها عشوائيًا وغير محدود. ^{[ 12 ]}

في الموسيقى

${ \new PianoStaff << \new Staff \relative c'' { \set Staff.midiInstrument = #"violin" \clef treble \tempo 8 = 126 \time 3/16 r16 <dca fis d>\f-! r16\fermata | \time 2/16 r <dca fis d>-! \time 3/16 r <dca fis d>8-! | r16 <dca fis d>8-! | \time 2/8 <dca fis>16-! <ec bes g>->-![ <cis b aes f>-! <ca fis ees>-!] } \new Staff \relative c { \set Staff.midiInstrument = #"violin" \clef bass \time 3/16 d,16-! <bes'' ees,>-! r\fermata | \time 2/16 <d,, d,>-! <bes'' ees,>-! | \time 3/16 d16-! <ees cis>8-! | r16 <ees cis>8-! | \time 2/8 d16\sf-! <ees cis>-!->[ <d c>-! <d c>-!] } >> }$

خمسة مقاطع موسيقية من _باليه^" طقوس الربيع" _لإيغور سترافينسكي ، تُظهر الإيقاعات ^3:16 ، ^2:16 ، _3:16 ، و ^2:₈

تُكتب علامات الإيقاع في التدوين الموسيقي الغربي تقليديًا على شكل كسور (مثل: ²₂ ، ⁴₄ ، أو ⁶₈ )، ^{[ 13 ]} مع أن الخط الأفقي للمدرج الموسيقي الذي يفصل بين الرقم العلوي والسفلي يُحذف عادةً عند كتابة العلامة بشكل منفصل عن المدرج. وككسور، تكون هذه العلامات ثنائية في الغالب، ^{[ 14 ]} مع أنه استُخدمت أيضًا علامات إيقاع غير ثنائية . ^{[ 15 ]} يصف العدد في العلامة، عند تفسيره ككسر، طول المقياس كجزء من النوتة الكاملة . ويصف بسطه عدد النبضات في المقياس، بينما يصف مقامه طول كل نبضة. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

في تعليم الرياضيات

في نظريات تطور مفهوم الكسور لدى الأطفال، والمستندة إلى أعمال جان بياجيه ، تُعدّ الأعداد الكسرية الناتجة عن التنصيف والتنصيف المتكرر من أوائل أشكال الكسور التي ظهرت. ^{[ 16 ]} وقد أُطلق على هذه المرحلة من تطور مفهوم الكسور اسم "التنصيف الخوارزمي". ^{[ 17 ]} ويمكن إجراء عمليتي الجمع والطرح لهذه الأعداد بخطوات تقتصر على مضاعفة العدد، وتنصيفه، وجمعه، وطرحه. في المقابل، تتضمن عمليتا الجمع والطرح للكسور الأكثر عمومية ضرب الأعداد الصحيحة وتحليلها إلى عواملها الأولية للوصول إلى مقام مشترك. ولذلك، قد يكون التعامل مع الكسور الثنائية أسهل على الطلاب من التعامل مع الكسور الأكثر عمومية. ^{[ 18 ]}

التعريفات والحساب

الأعداد الثنائية هي الأعداد النسبية الناتجة عن قسمة عدد صحيح على قوة من قوى العدد اثنين . ^{[ 9 ]} العدد النسبي $p/q$ بأبسط العبارات، هو عقلاني ثنائي عندما $q$ هو قوة للعدد اثنين. ^{[ 19 ]} وهناك طريقة أخرى مكافئة لتعريف الأعداد النسبية الثنائية وهي أنها الأعداد الحقيقية التي لها تمثيل ثنائي منتهٍ . ^{[ 9 ]}

ينتج عن جمع وطرح وضرب أي عددين نسبيين ثنائيين عدد نسبي ثنائي آخر، وفقًا للصيغ التالية: ^{[ 20 ]}

\displaystyle \begin{aligned}{\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {2^{d-\min(b,d)}a-2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}\\[6px]{\frac {a}{2^{b}}}\cdot {\frac {c}{2^{d}}}&={\frac {ac}{2^{b+d}}}\end{aligned}}}

مع ذلك، فإن نتيجة قسمة عدد نسبي ثنائي على آخر ليست بالضرورة عددًا نسبيًا ثنائيًا. ^{[ 21 ]} على سبيل المثال، 1 و3 كلاهما عددان نسبيان ثنائيان، لكن 1/3 ليس كذلك.

خصائص إضافية

{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.4142} — التقريبات النسبية الثنائية للجذر التربيعي للعدد 2 ( ${\sqrt {2}}\approx 1.4142$ ، والتي يتم الحصول عليها عن طريق التقريب إلى أقرب مضاعف صحيح أصغر من $1/2^{i}$ ل $i=0,1,2,\dots$ يمثل ارتفاع المنطقة الوردية فوق كل تقريب خطأه.

{\displaystyle {\tfrac {1}{6}}/2^{i}} — الأعداد الحقيقية التي لا توجد لها تقريبات كسرية ثنائية دقيقة بشكل غير عادي. تحيط الدوائر الحمراء بالأعداد التي يتم تقريبها ضمن هامش الخطأ. ${\tfrac {1}{6}}/2^{i}$ بواسطة $n/2^{i}$ بالنسبة للأرقام الموجودة في مجموعة كانتور الكسورية خارج الدوائر، فإن جميع التقريبات النسبية الثنائية لها أخطاء أكبر.

كل عدد صحيح، وكل نصف عدد صحيح ، هو عدد نسبي ثنائي. ^{[ 22 ]} كلاهما يفي بتعريف كونه عددًا صحيحًا مقسومًا على قوة من قوى العدد اثنين: كل عدد صحيح هو عدد صحيح مقسوم على واحد (القوة الصفرية للعدد اثنين)، وكل نصف عدد صحيح هو عدد صحيح مقسوم على اثنين.

يمكن تقريب كل عدد حقيقي بدقة تامة بواسطة أعداد نسبية ثنائية. على وجه الخصوص، بالنسبة لعدد حقيقي $x$ ، ضع في اعتبارك الأعداد النسبية الثنائية من الشكل ${\textstyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$ ، أين $i$ يمكن أن يكون أي عدد صحيح و $\lfloor \dots \rfloor$ تشير هذه الدالة إلى دالة الجزء الصحيح التي تقرب وسيطها إلى أقرب عدد صحيح. هذه الأرقام تقريبية $x$ من الأسفل إلى هامش خطأ قدره $1/2^{i}$ والتي يمكن جعلها صغيرة بشكل تعسفي عن طريق اختيار $i$ أن تكون كبيرة بشكل تعسفي. بالنسبة لمجموعة فرعية كسورية من الأعداد الحقيقية، يكون حد الخطأ هذا ضمن عامل ثابت من القيمة المثلى: بالنسبة لهذه الأعداد، لا يوجد تقريب. $n/2^{i}$ مع خطأ أصغر من عدد ثابت من المرات $1/2^{i}$ [ ^{23 ]}^{[ 24 ]} يمكن التعبير عن وجود تقريبات ثنائية دقيقة بالقول إن مجموعة جميع الأعداد النسبية الثنائية كثيفة على خط الأعداد الحقيقية . ^{[ 22 ]}^{وبعبارة أدق ،} فإن هذه المجموعة كثيفة بشكل منتظم، بمعنى أن الأعداد النسبية الثنائية ذات المقام $2^{i}$ ^[⁹^]

الأعداد النسبية الثنائية هي تحديدًا تلك الأعداد التي لها تمثيلات ثنائية محدودة . ^{[ 9 ]} تمثيلاتها الثنائية ليست فريدة؛ إذ يوجد تمثيل محدود وآخر غير محدود لكل عدد نسبي ثنائي باستثناء الصفر (مع تجاهل الأصفار النهائية). على سبيل المثال، 0.11² ₌ 0.10111... _² ، مما يعطي تمثيلين مختلفين للعدد 3/4. ^{[ 9 ]}^{[ 25 ]} الأعداد النسبية الثنائية هي الأعداد الوحيدة التي لا يكون تمثيلها الثنائي فريدًا. ^{[ 9 ]}

في الرياضيات المتقدمة

البنية الجبرية

لأنها مغلقة تحت عمليات الجمع والطرح والضرب، ولكن ليس تحت عمليات القسمة، فإن الأعداد النسبية الثنائية تشكل حلقة وليست حقلاً . ^{[ 26 ]} يمكن الإشارة إلى حلقة الأعداد النسبية الثنائية بالرمز التالي: $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]$ بمعنى أنه يمكن توليدها بتقييم كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة، عند الوسيط 1/2. ^{[ 27 ]} كحلقة، تُعدّ الأعداد النسبية الثنائية حلقة فرعية من الأعداد النسبية، وحلقة شاملة للأعداد الصحيحة. ^{[ 28 ]} جبريًا، تُمثّل هذه الحلقة موضع الأعداد الصحيحة بالنسبة لمجموعة قوى العدد اثنين . ^{[ 29 ]}

إلى جانب كونها تشكل حلقة فرعية من الأعداد الحقيقية ، تشكل الأعداد النسبية الثنائية حلقة فرعية من الأعداد الثنائية ، وهي نظام من الأعداد يمكن تعريفه من تمثيلات ثنائية محدودة إلى يمين الفاصلة الثنائية، ولكنها قد تمتد إلى ما لا نهاية إلى اليسار. تشمل الأعداد الثنائية جميع الأعداد النسبية، وليس فقط الأعداد النسبية الثنائية. لا يؤدي تضمين الأعداد النسبية الثنائية في الأعداد الثنائية إلى تغيير العمليات الحسابية للأعداد النسبية الثنائية، ولكنه يمنحها بنية طوبولوجية مختلفة عن تلك التي تمتلكها كحلقة فرعية من الأعداد الحقيقية. وكما هو الحال في الأعداد الحقيقية، تشكل الأعداد النسبية الثنائية مجموعة فرعية كثيفة من الأعداد الثنائية، ^{[ 30 ]} وهي مجموعة الأعداد الثنائية ذات التوسعات الثنائية المحدودة. يمكن تحليل كل عدد ثنائي إلى مجموع عدد صحيح ثنائي وعدد نسبي ثنائي. وبهذا المعنى، يمكن للأعداد النسبية الثنائية أن تمثل الأجزاء الكسرية للأعداد الثنائية، لكن هذا التفكيك ليس فريدًا. ^{[ 31 ]}

جمع الأعداد النسبية الثنائية بتردد 1 ( مجموعة القسمة ) $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z}$ ⁽ من الأعداد النسبية الثنائية بواسطة الأعداد الصحيحة) تشكل مجموعة بروفر 2. ^[ 32 ^]

ملف لولبي ثنائي

إنّ الاقتصار على عمليتي الجمع والطرح للأعداد النسبية الثنائية يُعطيها بنية زمرة أبيلية جمعية . تُعدّ ثنائية بونترياغين طريقةً لفهم الزمر الأبيلية من خلال بناء زمر ثنائية، عناصرها عبارة عن خصائص الزمرة الأصلية، وتشاكلات زمر مع الزمرة الضربية للأعداد المركبة ، مع اعتبار الضرب النقطي عملية الزمرة الثنائية. يمكن أيضًا اعتبار الزمرة الثنائية للأعداد النسبية الثنائية الجمعية، المبنية بهذه الطريقة، زمرةً طوبولوجية . تُسمى هذه الزمرة الملف اللولبي الثنائي، وهي متماثلة مع حاصل الضرب الطوبولوجي للأعداد الحقيقية والأعداد الثنائية، مقسومةً على التضمين القطري للأعداد النسبية الثنائية في هذا الناتج. ^{[ 30 ]} وهي مثال على البروتوروس ، والملف اللولبي ، والمتصل غير القابل للتحليل . ^{[ 33 ]}

الدوال التي تحتوي على أعداد نسبية ثنائية كنقاط مميزة

دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي تربط الأعداد النسبية بالأعداد النسبية الثنائية.

رسم بياني لوظائف القياس والموجات لمويجة دوبيشيز

موجة دوبيشيز ، توضح نقاط عدم السلاسة عند النسب الثنائية

نظرًا لأنها مجموعة جزئية كثيفة من الأعداد الحقيقية، فإن الأعداد النسبية الثنائية، بترتيبها العددي، تُشكّل ترتيبًا كثيفًا . وكما هو الحال مع أي ترتيبين خطيين كثيفين غير محدودين وقابلين للعد، فإن الأعداد النسبية الثنائية ، وفقًا لنظرية كانتور للتشاكل ^{[ 34 ]} ، متشاكلة ترتيبيًا مع الأعداد النسبية. في هذه الحالة، تُوفّر دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي تقابلًا يحافظ على الترتيب بين مجموعة جميع الأعداد النسبية ومجموعة الأعداد النسبية الثنائية. ^{[ 35 ]}

تلعب الأعداد النسبية الثنائية دورًا محوريًا في تحليل موجات دوبيشيز ، باعتبارها مجموعة النقاط التي تكون عندها دالة القياس لهذه الموجات غير ملساء. ^{[ 26 ]} وبالمثل، تُستخدم الأعداد النسبية الثنائية لتمثيل الانقطاعات في الحدود بين النقاط المستقرة وغير المستقرة في فضاء معلمات خريطة هينون . ^{[ 36 ]}

تُشكّل مجموعة التشاكلات الخطية القطعية من الفترة [1] إلى نفسها، والتي لها ميول من قوى العدد 2 ونقاط انقطاع ثنائية نسبية، زمرةً تحت تأثير عملية تركيب الدوال . هذه هي زمرة طومسون ، وهي أول مثال معروف لزمرة بسيطة لانهائية ولكنها معروضة بشكل محدود . ^[³⁷^] يمكن أيضًا تمثيل الزمرة نفسها بفعل على الأشجار الثنائية الجذرية، ^[³⁸^] أو بفعل على الأعداد النسبية الثنائية داخل الفترة ^[³²^{] .}

إنشاءات أخرى ذات صلة

في الرياضيات العكسية ، تتمثل إحدى طرق بناء الأعداد الحقيقية في تمثيلها كدوال تتراوح من الأعداد الأحادية إلى الأعداد النسبية الثنائية، حيث تمثل قيمة إحدى هذه الدوال قيمة الوسيط. $i$ هو عدد نسبي ثنائي ذو مقام $2^{i}$ الذي يُقارب العدد الحقيقي المُعطى. إن تعريف الأعداد الحقيقية بهذه الطريقة يسمح بإثبات العديد من النتائج الأساسية للتحليل الرياضي ضمن نظرية محدودة للحساب من الدرجة الثانية تُسمى "التحليل الممكن" (BTFA). ^{[ 39 ]}

تُنتَج الأعداد السريالية وفق مبدأ بناء متكرر يبدأ بتوليد جميع الأعداد النسبية الثنائية المحدودة، ثم ينتقل إلى إنشاء أنواع جديدة وغريبة من الأعداد اللانهائية والمتناهية الصغر وغيرها. ^{[ 40 ]} يُعدّ نظام الأعداد هذا أساسيًا لنظرية الألعاب التوافقية ، وتنشأ الأعداد النسبية الثنائية بشكل طبيعي في هذه النظرية كمجموعة قيم لبعض الألعاب التوافقية. ^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}^{[ 19 ]}

الأعداد القابلة للانصهار هي مجموعة جزئية من الأعداد النسبية الثنائية، وهي إغلاق المجموعة $\{0\}$ في إطار العملية $x,y\mapsto (x+y+1)/2$ يقتصر على الأزواج $x,y$ مع $|xy|<1$ إنها مرتبة ترتيبًا جيدًا ، ونوع الترتيب يساوي عدد إبسيلون . $\varepsilon _{0}$ لكل عدد صحيح $n$ أصغر عدد قابل للانصهار أكبر من $n$ له الشكل $n+1/2^{k}$ وجود $k$ لكل $n$ لا يمكن إثبات ذلك في حساب بيانو ، ^{[ 43 ]} و $k$ ينمو بسرعة كبيرة كدالة لـ $n$ هذا من أجل $n=3$ هو (باستخدام رمز السهم لأعلى عند كنوت للأعداد الكبيرة) أكبر بالفعل من $2\uparrow ^{9}16$ [ ⁴⁴^]

يستخدم البرهان المعتاد لـ Urysohn's lemma الكسور الثنائية لبناء دالة الفصل من lemma.

مراجع

↑ رودمان، بيتر س. (2009)، كيف نشأت الرياضيات: أول 50000 سنة ، كتب بروميثيوس، ص 148، ISBN 978-1-61592-176-8
↑ بارنز، جون (2016)، أرقام لطيفة ، دار نشر سبرينغر الدولية، doi : 10.1007/978-3-319-46831-0 ، ISBN 978-3-319-46830-3لاحظ أن المقاييس الثنائية (2، 4، 8، 16) شائعة جدًا بالفعل. ويتضح هذا بشكل خاص مع الأحجام.
↑ كورتيس، لورينزو ج. (1978)، "مفهوم القانون الأسي قبل عام 1900"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 46 (9): 896-906 ، Bibcode : 1978AmJPh..46..896C ، doi : 10.1119/1.11512
↑ ميلر، هيذر م. ل. (2013)، "مسائل بالغة الأهمية: أدلة على الوحدة والتنوع الإقليمي من أوزان حضارة وادي السند"، في: أبراهام، شينو آنا؛ جولابالي، برافينيا؛ راسيك، تيريزا ب.؛ ريزفي، عزما ز . (محررون)، الروابط والتعقيد: مناهج جديدة لعلم آثار جنوب آسيا ، دار نشر ليفت كوست، ص 161-177 ، doi : 10.4324/9781315431857 ، ISBN 978-1-59874-686-0انظر على وجه الخصوص الصفحة 166
↑ ريسنيكوف، هوارد ل .؛ ويلز، ريموند أو. الابن (1998)، "2.2.1: الحواسيب الرقمية والقياس" ، تحليل الموجات: البنية القابلة للتوسع للمعلومات ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص 17-18 ، doi : 10.1007/978-1-4612-0593-7 ، ISBN 0-387-98383-XMR 1712468
↑ كيرك، ديفيد ب .؛ هو، وين-مي و. (2013)، "7.2 الأعداد القابلة للتمثيل" ، برمجة المعالجات المتوازية الضخمة: منهج عملي ( الطبعة الثانية)، مورغان كوفمان، ص 155-159 ، ISBN 978-0-12-391418-7
↑ كنوسيل، رونالد ت. (2017)، "الفصل 6: الأعداد ذات الفاصلة الثابتة"، الأعداد والحواسيب ( الطبعة الثانية)، دار نشر سبرينغر الدولية، الصفحات 183-214 ، doi : 10.1007/978-3-319-50508-4_6
↑ فان دير هوفن، جوريس (2006)، "الحسابات باستخدام الأعداد الحقيقية الفعالة"، علوم الحاسوب النظرية ، 351 (1): 52-60 ، doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.060 ، MR 2201092
1 2 3 4 5 6 7 كو، كير-آي (1991)، نظرية تعقيد الدوال الحقيقية ، التقدم في علوم الحاسوب النظرية، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، ص 41-43 ، doi : 10.1007/978-1-4684-6802-1 ، ISBN 0-8176-3586-6، MR 1137517 ، S2CID 11758381
↑ تشنغ، شيزهونغ؛ ريتينجر، روبرت (2004)، "الحسابية الضعيفة وتمثيل الأعداد الحقيقية"، مجلة المنطق الرياضي الفصلية ، 50 ( 4-5 ): 431-442 ، doi : 10.1002/malq.200310110 ، MR 2090389 ، S2CID 15815720
↑ أمبوس-سبيس، كلاوس؛ تشنغ، شيزهونغ (2019)، "حول الفروق ومجاميع الأعداد الحقيقية القابلة للحساب بقوة"، في مانيا، فلورين؛ مارتن، بارنابي؛ باولوسما، دانييل؛ بريميرو، جوزيبي (محررون)، الحوسبة مع الاستشراف والصناعة: المؤتمر الخامس عشر حول قابلية الحوسبة في أوروبا، CiE 2019، دورهام، المملكة المتحدة، 15-19 يوليو 2019، وقائع المؤتمر ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 11558، تشام: سبرينغر، الصفحات 310-322 ، doi : 10.1007/978-3-030-22996-2_27 ، ISBN 978-3-030-22995-5، MR 3981892 ، S2CID 195795492
↑ جيروم، مارك ر .؛ فاليانت، ليزلي ج .؛ فازيراني، فيجاي ف. (1986)، "التوليد العشوائي للهياكل التوافقية من توزيع منتظم"، علوم الحاسوب النظرية ، 43 ( 2-3 ): 169-188 ، doi : 10.1016/0304-3975(86)90174-X ، MR 0855970
1 2 جونز، شيلي م .؛ بيرسون، دان (مايو 2013)، "الموسيقى: طلاب متفاعلون للغاية يربطون الموسيقى بالرياضيات"، مجلة الموسيقى العامة اليوم ، 27 (1): 18-23 ، doi : 10.1177/1048371313486478 ، S2CID 220604326
1 2 ليبي، ثيودور (2006)، "التوقيع الزمني" ، موسوعة مستمعي NPR للموسيقى الكلاسيكية ، دار نشر وركمان، ص 873، ISBN 978-0-7611-2072-8
↑ ياناكيف، إيفان ك. (2020)، "الأدوات الرياضية في مساعدة نظرية الموسيقى والتأليف والأداء"، في بوزيكوفا، ميلينا (محررة)، الموسيقى بين الأنطولوجيا والأيديولوجيا ، دار نشر كامبريدج سكولارز، ص 35-62 ، ISBN 978-1-5275-4758-2انظر على وجه الخصوص الصفحة 37 .
↑ هيبرت، جيمس؛ تونيسن، لويل هـ. (نوفمبر 1978)، "تطوير مفهوم الكسر في سياقين فيزيائيين: دراسة استكشافية"، مجلة أبحاث تعليم الرياضيات ، 9 (5): 374-378 ، doi : 10.2307/748774 ، JSTOR 748774
↑ بوثير، إيفون ؛ ساودا، دايو (نوفمبر 1983)، "التقسيم: ظهور أفكار الأعداد النسبية لدى الأطفال الصغار"، مجلة أبحاث تعليم الرياضيات ، 14 (5): 307-317 ، doi : 10.2307/748675 ، JSTOR 748675
↑ ويلز، ديفيد غراهام (2015)، تحفيز الرياضيات: إشراك المعلمين والطلاب المتفاعلين ، وورلد ساينتيفيك، ص 32-33 ، ISBN 978-1-78326-755-2
1 2 أويترويك، جوس دبليو إتش إم؛ بارتون، مايكل (2015)، "نتائج جديدة لـ Domineering من قواعد بيانات نهاية اللعبة لنظرية الألعاب التوافقية"، علوم الحاسوب النظرية ، 592 : 72-86 ، arXiv : 1506.03949 ، doi : 10.1016/j.tcs.2015.05.017 ، MR 3367582 ، S2CID 5899577
↑ تُقدَّم صيغ مكافئة لهذه الصيغ، مكتوبة بلغة برنامج إثبات النظريات التفاعلي Rocq (المعروف سابقًا باسم Coq)، في بحث Krebbers, Robbert; Spitters, Bas (2013)، بعنوان "فئات الأنواع للحساب الحقيقي الدقيق الفعال في Coq"، ضمن مجلة Logical Methods in Computer Science ، المجلد 9 ، العدد 1، الصفحات 1:01، 27، arXiv : 1106.3448 ، doi : 10.2168/LMCS-9(1:1)2013 ، MR 3029087 ، S2CID 218627153.
↑ أوكونور، راسل (2007)، "تنفيذ وظيفي أحادي للأعداد الحقيقية"، الهياكل الرياضية في علوم الحاسوب ، 17 (1): 129-159 ، arXiv : cs/0605058 ، doi : 10.1017/S0960129506005871 ، MR 2311089 ، S2CID 221168970
1 2 سابين، مالكولم (2010)، تحليل وتصميم مخططات التقسيم الفرعي أحادي المتغير ، الهندسة والحوسبة، المجلد 6، سبرينغر، ص 51، ISBN 9783642136481
↑ وبشكل أدق، بالنسبة للقيم الموجبة الصغيرة لـ $\varepsilon$ ، مجموعة الأعداد الحقيقية التي لا يمكن تقريبها $n/2^{i}$ مع خطأ أصغر من عدد ثابت من المرات $\varepsilon /2^{i}$ تشكل مجموعة كانتور التي يكون بُعد هاوسدورف الخاص بها ، كدالة لـ $\varepsilon$ ، يذهب إلى واحد كـ $\varepsilon$ يقترب من الصفر. يوضح الرسم التوضيحي هذه المجموعة لـ $\varepsilon ={\tfrac {1}{6}}$ .
↑ نيلسون، يوهان (2009)، "حول الأعداد التي يمكن تقريبها بشكل سيئ بواسطة الأعداد النسبية الثنائية"، مجلة إسرائيل للرياضيات ، 171 : 93-110 ، doi : 10.1007/s11856-009-0042-9 ، MR 2520103
↑ كاك، مارك (1959)، الاستقلال الإحصائي في الاحتمالات والتحليل ونظرية الأعداد ، سلسلة كاروس للدراسات الرياضية ، المجلد 12، نيويورك: جون وايلي وأولاده لصالح الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 2-3 ، MR 0110114
1 2 بولين، ديفيد (1992)، "دالة قياس دوبيشيز على [0،3]"، الموجات ، تحليل الموجات وتطبيقاتها، المجلد 2، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس، الصفحات 3-13 ، MR 1161245
↑ باينوك، بيلا (2013)، مدخل إلى الرياضيات المجردة ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك: سبرينغر، ص 186، doi : 10.1007/978-1-4614-6636-9 ، ISBN 978-1-4614-6635-2
↑ في تدوين إستس وأوم للحلقات التي هي حلقات فرعية من $\mathbb {Q}$ وحلقات علوية من $\mathbb {Z}$ ، العقول الثنائية هي الحلقة $\mathbb {Z} _{\{2\}}$ انظر القسم 7 من كتاب إستس، دينيس؛ أوم، جاك (1967)، "المدى المستقر في الحلقات التبادلية" (ملف PDF) ، مجلة الجبر ، 7 (3): 343-362 ، doi : 10.1016/0021-8693(67)90075-0 ، MR 0217052
↑ لوسيشين-رايت، روري بي بي (2018)، "الفضاءات المحدبة، والفضاءات الأفينية، والمبدلات للنظريات الجبرية"، الهياكل الفئوية التطبيقية ، 26 (2): 369-400 ، arXiv : 1603.03351 ، doi : 10.1007/s10485-017-9496-9 ، MR 3770912 ، S2CID 3743682
1 2 الأخلاق، فريدي (2015)، “حل لمشكلة البيجامة”، اختراعات الرياضيات ، 202 (1): 239–270 ، أرخايف : 1305.1514 ، بيب كود : 2015InMat.202..239M ، دوى : 10.1007/s00222-014-0571-7 ، السيد 3402799 ، S2CID 119148680 انظر القسم 6.2.1، "حالة نموذجية: ${\widehat {\mathbb {Z} [1/2]}}$ ، الصفحات 255-257.
↑ روبرت، آلان م. (2000)، "5.4 الأجزاء الكسرية والصحيحة من $p$ "الأعداد -adic"، دورة في $p$ التحليل -adic ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 198، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات 40-43 ، doi : 10.1007/978-1-4757-3254-2 ، ISBN 0-387-98669-3MR 1760253
1 2 دي كورنولييه، إيف؛ غيوت، لوك؛ بيتسش، وولفغانغ (2007)، "حول النقاط المعزولة في فضاء المجموعات" (ملف PDF) ، مجلة الجبر ، 307 (1): 254-277 ، arXiv : math/0511714 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.02.012 ، MR 2278053 ، S2CID 11566447
↑ نادلر، إس بي جونيور (1973)، "عدم قابلية تحليل الملف اللولبي الثنائي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 80 (6): 677-679 ، doi : 10.2307/2319174 ، JSTOR 2319174
↑ بهاتاشارجي، ميناكسي؛ ماكفيرسون، دوغالد؛ مولر، روغنفالدور ج.؛ نيومان، بيتر م. (1997)، "الأعداد النسبية"، ملاحظات حول مجموعات التبديل اللانهائية ، نصوص وقراءات في الرياضيات، المجلد 12، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات 77-86 ، doi : 10.1007/978-93-80250-91-5_9 ، ISBN 81-85931-13-5MR 1632579
↑ جيرجينسون، رولاند (1996)، "بناء الدوال الشاذة عبر كسور فاري"، مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات ، 203 (1): 127-141 ، doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 ، MR 1412484
↑ سيفيتانوفيتش، بريدراج؛ جوناراتني، جيمونو هـ.؛ بروكاسيا، إيتامار (1988)، "الخصائص الطوبولوجية والمترية لجاذبات هينون الغريبة"، مجلة Physical Review A ، السلسلة الثالثة، 38 (3): 1503-1520 ، Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C ، doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503 ، MR 0970237 ، PMID 9900529
↑ برين، ماثيو ج. (1999)، "انتشار زمرة طومسون $F$ في زمر التشاكلات الخطية القطعية للفترة 1"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، السلسلة الثانية، 60 (2): 449-460 ، arXiv : math/9705205 ، doi : 10.1112/S0024610799007905 ، MR 1724861 ، S2CID 14490692
↑ كانون، جيه دبليو ؛ فلويد، دبليو جيه (2011)، "ما هي... مجموعة طومسون؟" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 58 (8): 1112-1113 ، MR 2856142
↑ فيرنانديز، أنطونيو م.؛ فيريرا، فرناندو (2005)، "التطبيقات الأساسية لفرضية كونيغ الضعيفة في التحليل الممكن" (ملف PDF) ، الرياضيات العكسية 2001 ، سلسلة محاضرات في المنطق، المجلد 21، لا جولا، كاليفورنيا: جمعية المنطق الرمزي، الصفحات 175-188 ، MR 2185433
↑ كونواي، جيه إتش (2001)، في الأرقام والألعاب ( الطبعة الثانية)، ناتيك، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز، رقم ISBN 1-56881-127-6MR 1803095 للاطلاع على الأعداد النسبية الثنائية، انظر "الأعداد" ${\tfrac {1}{4}}$ ، ${\tfrac {3}{4}}$ ، $1\,{\tfrac {1}{2}}$ ، $3$ وهكذا"، الصفحات 10-12
↑ ماولدون، جي جي (1978)، "نام، وهي نسخة معدلة من لعبة نيم بدون فوز للاعب الأول"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 85 (7): 575-578 ، doi : 10.2307/2320870 ، JSTOR 2320870 ، MR 0503877
↑ فلانيجان، جيه إيه (1982)، "تحليل كامل لـ هاكيندوت الأبيض والأسود"، المجلة الدولية لنظرية الألعاب ، 11 (1): 21-25 ، doi : 10.1007/BF01771244 ، MR 0665515 ، S2CID 119964871
^ إريكسون ، جيف. نيفاش، غابرييل؛ Xu، Junyan (يونيو 2021)، “Fusible Numbers and Peano arithmetic” ، وقائع ندوة ACM/IEEE السنوية السادسة والثلاثين حول المنطق في علوم الكمبيوتر (LICS 2021) ، IEEE، الصفحات من 1 إلى 13، أرخايف : 2003.14342 ، doi : 10.1109/lics52264.2021.9470703 ، ISBN 978-1-6654-4895-6، S2CID 214727767
↑ سلون، ن. ج. أ. (محرر)، "المتتالية A188545" ، الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة ، مؤسسة OEIS

[rudman-1] رودمان، بيتر س. (2009)، كيف نشأت الرياضيات: أول 50000 سنة ، كتب بروميثيوس، ص 148، ISBN 978-1-61592-176-8

[barnes-2] بارنز، جون (2016)، أرقام لطيفة ، دار نشر سبرينغر الدولية، doi : 10.1007/978-3-319-46831-0 ، ISBN 978-3-319-46830-3لاحظ أن المقاييس الثنائية (2، 4، 8، 16) شائعة جدًا بالفعل. ويتضح هذا بشكل خاص مع الأحجام.

[curtis-3] كورتيس، لورينزو ج. (1978)، "مفهوم القانون الأسي قبل عام 1900"، المجلة الأمريكية للفيزياء ، 46 (9): 896-906 ، Bibcode : 1978AmJPh..46..896C ، doi : 10.1119/1.11512

[miller-4] ميلر، هيذر م. ل. (2013)، "مسائل بالغة الأهمية: أدلة على الوحدة والتنوع الإقليمي من أوزان حضارة وادي السند"، في: أبراهام، شينو آنا؛ جولابالي، برافينيا؛ راسيك، تيريزا ب.؛ ريزفي، عزما ز . (محررون)، الروابط والتعقيد: مناهج جديدة لعلم آثار جنوب آسيا ، دار نشر ليفت كوست، ص 161-177 ، doi : 10.4324/9781315431857 ، ISBN 978-1-59874-686-0انظر على وجه الخصوص الصفحة 166

[reswel-5] ريسنيكوف، هوارد ل .؛ ويلز، ريموند أو. الابن (1998)، "2.2.1: الحواسيب الرقمية والقياس" ، تحليل الموجات: البنية القابلة للتوسع للمعلومات ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص 17-18 ، doi : 10.1007/978-1-4612-0593-7 ، ISBN 0-387-98383-XMR 1712468

[kirk-hwu-6] كيرك، ديفيد ب .؛ هو، وين-مي و. (2013)، "7.2 الأعداد القابلة للتمثيل" ، برمجة المعالجات المتوازية الضخمة: منهج عملي ( الطبعة الثانية)، مورغان كوفمان، ص 155-159 ، ISBN 978-0-12-391418-7

[kneusel-7] كنوسيل، رونالد ت. (2017)، "الفصل 6: الأعداد ذات الفاصلة الثابتة"، الأعداد والحواسيب ( الطبعة الثانية)، دار نشر سبرينغر الدولية، الصفحات 183-214 ، doi : 10.1007/978-3-319-50508-4_6

[vdh-8] فان دير هوفن، جوريس (2006)، "الحسابات باستخدام الأعداد الحقيقية الفعالة"، علوم الحاسوب النظرية ، 351 (1): 52-60 ، doi : 10.1016/j.tcs.2005.09.060 ، MR 2201092

[ko-9] 1 2 3 4 5 6 7 كو، كير-آي (1991)، نظرية تعقيد الدوال الحقيقية ، التقدم في علوم الحاسوب النظرية، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، ص 41-43 ، doi : 10.1007/978-1-4684-6802-1 ، ISBN 0-8176-3586-6، MR 1137517 ، S2CID 11758381

[zr-10] تشنغ، شيزهونغ؛ ريتينجر، روبرت (2004)، "الحسابية الضعيفة وتمثيل الأعداد الحقيقية"، مجلة المنطق الرياضي الفصلية ، 50 ( 4-5 ): 431-442 ، doi : 10.1002/malq.200310110 ، MR 2090389 ، S2CID 15815720

[asz-11] أمبوس-سبيس، كلاوس؛ تشنغ، شيزهونغ (2019)، "حول الفروق ومجاميع الأعداد الحقيقية القابلة للحساب بقوة"، في مانيا، فلورين؛ مارتن، بارنابي؛ باولوسما، دانييل؛ بريميرو، جوزيبي (محررون)، الحوسبة مع الاستشراف والصناعة: المؤتمر الخامس عشر حول قابلية الحوسبة في أوروبا، CiE 2019، دورهام، المملكة المتحدة، 15-19 يوليو 2019، وقائع المؤتمر ، سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب، المجلد 11558، تشام: سبرينغر، الصفحات 310-322 ، doi : 10.1007/978-3-030-22996-2_27 ، ISBN 978-3-030-22995-5، MR 3981892 ، S2CID 195795492

[jvv-12] جيروم، مارك ر .؛ فاليانت، ليزلي ج .؛ فازيراني، فيجاي ف. (1986)، "التوليد العشوائي للهياكل التوافقية من توزيع منتظم"، علوم الحاسوب النظرية ، 43 ( 2-3 ): 169-188 ، doi : 10.1016/0304-3975(86)90174-X ، MR 0855970

[jon-pea-13] 1 2 جونز، شيلي م .؛ بيرسون، دان (مايو 2013)، "الموسيقى: طلاب متفاعلون للغاية يربطون الموسيقى بالرياضيات"، مجلة الموسيقى العامة اليوم ، 27 (1): 18-23 ، doi : 10.1177/1048371313486478 ، S2CID 220604326

[libbey-14] 1 2 ليبي، ثيودور (2006)، "التوقيع الزمني" ، موسوعة مستمعي NPR للموسيقى الكلاسيكية ، دار نشر وركمان، ص 873، ISBN 978-0-7611-2072-8

[yanakiev-15] ياناكيف، إيفان ك. (2020)، "الأدوات الرياضية في مساعدة نظرية الموسيقى والتأليف والأداء"، في بوزيكوفا، ميلينا (محررة)، الموسيقى بين الأنطولوجيا والأيديولوجيا ، دار نشر كامبريدج سكولارز، ص 35-62 ، ISBN 978-1-5275-4758-2انظر على وجه الخصوص الصفحة 37 .

[hie-ton-16] هيبرت، جيمس؛ تونيسن، لويل هـ. (نوفمبر 1978)، "تطوير مفهوم الكسر في سياقين فيزيائيين: دراسة استكشافية"، مجلة أبحاث تعليم الرياضيات ، 9 (5): 374-378 ، doi : 10.2307/748774 ، JSTOR 748774

[pot-saw-17] بوثير، إيفون ؛ ساودا، دايو (نوفمبر 1983)، "التقسيم: ظهور أفكار الأعداد النسبية لدى الأطفال الصغار"، مجلة أبحاث تعليم الرياضيات ، 14 (5): 307-317 ، doi : 10.2307/748675 ، JSTOR 748675

[wells-18] ويلز، ديفيد غراهام (2015)، تحفيز الرياضيات: إشراك المعلمين والطلاب المتفاعلين ، وورلد ساينتيفيك، ص 32-33 ، ISBN 978-1-78326-755-2

[uit-bar-19] 1 2 أويترويك، جوس دبليو إتش إم؛ بارتون، مايكل (2015)، "نتائج جديدة لـ Domineering من قواعد بيانات نهاية اللعبة لنظرية الألعاب التوافقية"، علوم الحاسوب النظرية ، 592 : 72-86 ، arXiv : 1506.03949 ، doi : 10.1016/j.tcs.2015.05.017 ، MR 3367582 ، S2CID 5899577

[kreb-spit-20] تُقدَّم صيغ مكافئة لهذه الصيغ، مكتوبة بلغة برنامج إثبات النظريات التفاعلي Rocq (المعروف سابقًا باسم Coq)، في بحث Krebbers, Robbert; Spitters, Bas (2013)، بعنوان "فئات الأنواع للحساب الحقيقي الدقيق الفعال في Coq"، ضمن مجلة Logical Methods in Computer Science ، المجلد 9 ، العدد 1، الصفحات 1:01، 27، arXiv : 1106.3448 ، doi : 10.2168/LMCS-9(1:1)2013 ، MR 3029087 ، S2CID 218627153.

[oconnor-21] أوكونور، راسل (2007)، "تنفيذ وظيفي أحادي للأعداد الحقيقية"، الهياكل الرياضية في علوم الحاسوب ، 17 (1): 129-159 ، arXiv : cs/0605058 ، doi : 10.1017/S0960129506005871 ، MR 2311089 ، S2CID 221168970

[sabin-22] 1 2 سابين، مالكولم (2010)، تحليل وتصميم مخططات التقسيم الفرعي أحادي المتغير ، الهندسة والحوسبة، المجلد 6، سبرينغر، ص 51، ISBN 9783642136481

[23] وبشكل أدق، بالنسبة للقيم الموجبة الصغيرة لـ $\varepsilon$ ، مجموعة الأعداد الحقيقية التي لا يمكن تقريبها $n/2^{i}$ مع خطأ أصغر من عدد ثابت من المرات $\varepsilon /2^{i}$ تشكل مجموعة كانتور التي يكون بُعد هاوسدورف الخاص بها ، كدالة لـ $\varepsilon$ ، يذهب إلى واحد كـ $\varepsilon$ يقترب من الصفر. يوضح الرسم التوضيحي هذه المجموعة لـ $\varepsilon ={\tfrac {1}{6}}$ .

[nilsson-24] نيلسون، يوهان (2009)، "حول الأعداد التي يمكن تقريبها بشكل سيئ بواسطة الأعداد النسبية الثنائية"، مجلة إسرائيل للرياضيات ، 171 : 93-110 ، doi : 10.1007/s11856-009-0042-9 ، MR 2520103

[kac-25] كاك، مارك (1959)، الاستقلال الإحصائي في الاحتمالات والتحليل ونظرية الأعداد ، سلسلة كاروس للدراسات الرياضية ، المجلد 12، نيويورك: جون وايلي وأولاده لصالح الجمعية الرياضية الأمريكية، الصفحات 2-3 ، MR 0110114

[pollen-26] 1 2 بولين، ديفيد (1992)، "دالة قياس دوبيشيز على [0،3]"، الموجات ، تحليل الموجات وتطبيقاتها، المجلد 2، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس، الصفحات 3-13 ، MR 1161245

[bajnok-27] باينوك، بيلا (2013)، مدخل إلى الرياضيات المجردة ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك: سبرينغر، ص 186، doi : 10.1007/978-1-4614-6636-9 ، ISBN 978-1-4614-6635-2

[est-ohm-28] في تدوين إستس وأوم للحلقات التي هي حلقات فرعية من $\mathbb {Q}$ وحلقات علوية من $\mathbb {Z}$ ، العقول الثنائية هي الحلقة $\mathbb {Z} _{\{2\}}$ انظر القسم 7 من كتاب إستس، دينيس؛ أوم، جاك (1967)، "المدى المستقر في الحلقات التبادلية" (ملف PDF) ، مجلة الجبر ، 7 (3): 343-362 ، doi : 10.1016/0021-8693(67)90075-0 ، MR 0217052

[lucy-29] لوسيشين-رايت، روري بي بي (2018)، "الفضاءات المحدبة، والفضاءات الأفينية، والمبدلات للنظريات الجبرية"، الهياكل الفئوية التطبيقية ، 26 (2): 369-400 ، arXiv : 1603.03351 ، doi : 10.1007/s10485-017-9496-9 ، MR 3770912 ، S2CID 3743682

[manners-30] 1 2 الأخلاق، فريدي (2015)، “حل لمشكلة البيجامة”، اختراعات الرياضيات ، 202 (1): 239–270 ، أرخايف : 1305.1514 ، بيب كود : 2015InMat.202..239M ، دوى : 10.1007/s00222-014-0571-7 ، السيد 3402799 ، S2CID 119148680 انظر القسم 6.2.1، "حالة نموذجية: ${\widehat {\mathbb {Z} [1/2]}}$ ، الصفحات 255-257.

[robert-31] روبرت، آلان م. (2000)، "5.4 الأجزاء الكسرية والصحيحة من $p$ "الأعداد -adic"، دورة في $p$ التحليل -adic ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد 198، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات 40-43 ، doi : 10.1007/978-1-4757-3254-2 ، ISBN 0-387-98669-3MR 1760253

[cor-guy-pit-32] 1 2 دي كورنولييه، إيف؛ غيوت، لوك؛ بيتسش، وولفغانغ (2007)، "حول النقاط المعزولة في فضاء المجموعات" (ملف PDF) ، مجلة الجبر ، 307 (1): 254-277 ، arXiv : math/0511714 ، doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.02.012 ، MR 2278053 ، S2CID 11566447

[nadler-33] نادلر، إس بي جونيور (1973)، "عدم قابلية تحليل الملف اللولبي الثنائي"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 80 (6): 677-679 ، doi : 10.2307/2319174 ، JSTOR 2319174

[bmmn-34] بهاتاشارجي، ميناكسي؛ ماكفيرسون، دوغالد؛ مولر، روغنفالدور ج.؛ نيومان، بيتر م. (1997)، "الأعداد النسبية"، ملاحظات حول مجموعات التبديل اللانهائية ، نصوص وقراءات في الرياضيات، المجلد 12، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات 77-86 ، doi : 10.1007/978-93-80250-91-5_9 ، ISBN 81-85931-13-5MR 1632579

[girgensohn-35] جيرجينسون، رولاند (1996)، "بناء الدوال الشاذة عبر كسور فاري"، مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات ، 203 (1): 127-141 ، doi : 10.1006/jmaa.1996.0370 ، MR 1412484

[cvi-gun-pro-36] سيفيتانوفيتش، بريدراج؛ جوناراتني، جيمونو هـ.؛ بروكاسيا، إيتامار (1988)، "الخصائص الطوبولوجية والمترية لجاذبات هينون الغريبة"، مجلة Physical Review A ، السلسلة الثالثة، 38 (3): 1503-1520 ، Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C ، doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503 ، MR 0970237 ، PMID 9900529

[brin-37] برين، ماثيو ج. (1999)، "انتشار زمرة طومسون $F$ في زمر التشاكلات الخطية القطعية للفترة 1"، مجلة جمعية لندن الرياضية ، السلسلة الثانية، 60 (2): 449-460 ، arXiv : math/9705205 ، doi : 10.1112/S0024610799007905 ، MR 1724861 ، S2CID 14490692

[can-flo-38] كانون، جيه دبليو ؛ فلويد، دبليو جيه (2011)، "ما هي... مجموعة طومسون؟" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 58 (8): 1112-1113 ، MR 2856142

[fer-fer-39] فيرنانديز، أنطونيو م.؛ فيريرا، فرناندو (2005)، "التطبيقات الأساسية لفرضية كونيغ الضعيفة في التحليل الممكن" (ملف PDF) ، الرياضيات العكسية 2001 ، سلسلة محاضرات في المنطق، المجلد 21، لا جولا، كاليفورنيا: جمعية المنطق الرمزي، الصفحات 175-188 ، MR 2185433

[conway-40] كونواي، جيه إتش (2001)، في الأرقام والألعاب ( الطبعة الثانية)، ناتيك، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز، رقم ISBN 1-56881-127-6MR 1803095 للاطلاع على الأعداد النسبية الثنائية، انظر "الأعداد" ${\tfrac {1}{4}}$ ، ${\tfrac {3}{4}}$ ، $1\,{\tfrac {1}{2}}$ ، $3$ وهكذا"، الصفحات 10-12

[mauldon-41] ماولدون، جي جي (1978)، "نام، وهي نسخة معدلة من لعبة نيم بدون فوز للاعب الأول"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 85 (7): 575-578 ، doi : 10.2307/2320870 ، JSTOR 2320870 ، MR 0503877

[flanigan-42] فلانيجان، جيه إيه (1982)، "تحليل كامل لـ هاكيندوت الأبيض والأسود"، المجلة الدولية لنظرية الألعاب ، 11 (1): 21-25 ، doi : 10.1007/BF01771244 ، MR 0665515 ، S2CID 119964871

[eri-niv-xu-43] إريكسون ، جيف. نيفاش، غابرييل؛ Xu، Junyan (يونيو 2021)، “Fusible Numbers and Peano arithmetic” ، وقائع ندوة ACM/IEEE السنوية السادسة والثلاثين حول المنطق في علوم الكمبيوتر (LICS 2021) ، IEEE، الصفحات من 1 إلى 13، أرخايف : 2003.14342 ، doi : 10.1109/lics52264.2021.9470703 ، ISBN 978-1-6654-4895-6، S2CID 214727767

[A188545-44] سلون، ن. ج. أ. (محرر)، "المتتالية A188545" ، الموسوعة الإلكترونية لمتتاليات الأعداد الصحيحة ، مؤسسة OEIS

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

(

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[

[

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

44

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗