كتالوج المكعبات المثلثة

يُعدّ فهرس المنحنيات التكعيبية المثلثية مصدرًا إلكترونيًا يحتوي على معلومات تفصيلية حول أكثر من 1200 منحنى تكعيبي في مستوى مثلث مرجعي. ^{[ 1 ]} يتولى برنارد جيبيرت صيانة هذا المصدر. يُخصّص لكل منحنى تكعيبي في المصدر رقم تعريف فريد على شكل "Knnn"، حيث يُمثّل "nnn" ثلاثة أرقام. رقم تعريف أول منحنى في الفهرس هو "K001"، وهو منحنى نيوبيرغ التكعيبي للمثلث المرجعي $ABC$ . يُقدّم الفهرس، من بين أمور أخرى، المعلومات التالية حول كل منحنى تكعيبي مُدرج:

معادلة مركز الثقل للمنحنى
قائمة بمراكز المثلثات التي تقع على المنحنى
نقاط خاصة على المنحنى ليست مراكز مثلثات
الخصائص الهندسية للمنحنى
خصائص موضع المنحنى
خصائص خاصة أخرى للمنحنى
منحنيات أخرى مرتبطة بالمنحنى التكعيبي
الكثير من الأشكال الواضحة والمنظمة التي توضح الخصائص المختلفة
إشارات إلى الأدبيات المتعلقة بالمنحنى

إن معادلات بعض المعادلات التكعيبية المدرجة في الكتالوج معقدة للغاية لدرجة أن القائم على الموقع الإلكتروني امتنع عن نشر المعادلة في صفحة المعادلة التكعيبية؛ وبدلاً من ذلك، تم توفير رابط لملف يحتوي على المعادلة بصيغة نصية غير منسقة. على سبيل المثال، معادلة المعادلة التكعيبية K1200 متوفرة كملف نصي. ^{[ 2 ]}

الإحداثيات

لنفترض أن المثلث $△ ABC$ له أطوال أضلاع $a=|BC|,$ $b=|CA|,$ $c=|AB|.$ بالنسبة $للمثلث ABC$ ، تمر العديد من المنحنيات المكعبة المسماة بنقاط معروفة. تستخدم الأمثلة الموضحة أدناه نوعين من الإحداثيات المتجانسة : الإحداثيات الثلاثية والإحداثيات الباريسنترية .

لتحويل المعادلة من ثلاثية الخطوط إلى مركزية الثقل في معادلة تكعيبية، استبدل كما يلي:

x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;

لتحويل الإحداثيات من مركزية الثقل إلى ثلاثية الخطوط، استخدم

x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.

تأخذ العديد من معادلات الدوال التكعيبية الشكل التالي:

f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.

في الأمثلة أدناه، تُكتب هذه المعادلات بشكل أكثر إيجازًا باستخدام "تدوين المجموع الدوري"، كما يلي:

\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0

.

يمكن تعريف المنحنيات التكعيبية المذكورة أدناه بدلالة المرافق المتساوي الزوايا ، والمُشار إليه بـ $X*$ ، لنقطة $X$ لا تقع على أحد أضلاع $المثلث ABC$ . فيما يلي طريقة إنشاء $X*$ . ليكن $LA$ انعكاس الخط $XA$ حول منصف الزاوية الداخلية للزاوية $A$ ، ولنُعرّف $LB$ و $LC بشكل مماثل$ $. عندئذٍ$ $،$ تتطابق الخطوط الثلاثة المنعكسة في $X*$ . في الإحداثيات الثلاثية، $إذا$ $X=x:y:z,$ ثم $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$

أولى المكعبات المثلثية في الكتالوج

فيما يلي أول عشرة مكعبات وردت في الكتالوج.

رقم التعريف	الاسم (الأسماء)	المعادلة في الإحداثيات الباريسنترية
K001	مكعب نيوبرغ ، مكعب ذو 21 نقطة، مكعب ذو 37 نقطة	$\sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K002	مكعب طومسون ، مكعب ذو 17 نقطة	$\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K003	مكاي مكعب ، غريفيث مكعب	$\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K004	مكعب داربو	$\sum _{\text{cyclic}}[2a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K005	مكعب نابليون ، مكعب فيورباخ	$\sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K006	أورثوكوبيك	$\sum _{\text{cyclic}}(c^{2}+a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$
K007	لوكاس كيوبك	$\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$
K008	مكعب دروزن	$\sum _{\text{cyclic}}(b^{4}+c^{4}-a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$
K009	مكعب ليموين	${\begin{aligned}&2(a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})xyz\\&\sum _{\text{cyclic}}a^{4}(b^{2}+c^{2}-a^{2})yz(yz)=0\end{aligned}}$
K010	مكعب سيمسون	$\sum _{\text{cyclic}}a^{2}{\frac {y+z}{yz}}=0$

أول ستة مكعبات في كتالوج المكعبات المثلثية

المنحنيات الفردية

مكعب نيوبيرج

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

مكعب نيوبيرغ ( نسبةً إلى جوزيف جان بابتيست نيوبيرغ ) هو المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث تقع $X*$ على الخط $EX$ ، حيث $E$ هي نقطة اللانهاية لأويلر ( $X (30)$ في موسوعة مراكز المثلثات ) . كما أن هذا المكعب هو المحل الهندسي لـ $X$ $بحيث$ $يكون$ المثلث $△ XAXBXC$ منظورًا للمثلث $△ ABC$ $،$ حيث $△$ $XAXBXC$ هو انعكاس $X$ حول الخطوط $BC$ $و$ $CA$ $و$ $AB$ $على$ $التوالي$ $.$

يمر مكعب نيوبيرج عبر النقاط التالية: مركز الدائرة الداخلية ، مركز الدائرة المحيطة ، مركز التعامد ، نقطتي فيرما ، نقطتي التساوي الديناميكي ، نقطة أويلر اللانهائية، مراكز المثلثات الأخرى، مراكز الدوائر الخارجية، انعكاسات $A وB وC$ في الخطوط الجانبية $للمثلث ABC$ ، ورؤوس المثلثات الستة متساوية الأضلاع المقامة على جوانب $المثلث ABC$ .

للحصول على تمثيل بياني وقائمة شاملة لخصائص مكعب نيوبيرج، انظر K001 في كتاب برنارد جيبيرت " المكعبات في المستوى المثلثي" .

مكعب طومسون

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

المكعب طومسون هو المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث تقع $X*$ على الخط $GX$ ، حيث $G$ هو المركز الهندسي.

يمر مكعب طومسون بالنقاط التالية: مركز الدائرة الداخلية، مركز الثقل، مركز الدائرة المحيطة، مركز التعامد، نقطة التناظر، مراكز المثلثات الأخرى، الرؤوس $A وB وC،$ مراكز الدوائر الخارجية، منتصفات الأضلاع $BC وCA وAB،$ ومنتصفات ارتفاعات المثلث $ABC .$ لكل نقطة $P$ على المكعب ولكنها لا تقع على أحد أضلاع $المثلث ABC$ $، فإن نظير P$ المتساوي الزوايا يقع أيضًا على المكعب.

للاطلاع على الرسوم البيانية والخصائص، انظر K002 في المكعبات في المستوى المثلثي .

مكعب داربو

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

مكعب داربو هو المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث تقع $X$ $*$ على الخط $LX$ ، حيث $L$ هي نقطة دي لونغشامب . كما أنه المحل الهندسي لنقطة X $بحيث$ يكون مثلثها القاعدي هو المثلث المقلوب لنقطة ما (التي تقع على مكعب لوكاس). كذلك، فهو المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث يكون مثلثها القاعدي $ومثلثها$ المقلوب $منظورين$ ؛ ويقع المنظور على مكعب طومسون.

يمر مكعب داربو عبر مركز الدائرة الداخلية، ومركز الدائرة المحيطة، ومركز التعامد، ونقطة دي لونغشامب، ومراكز المثلثات الأخرى، والرؤوس $A وB وC،$ والمراكز الخارجية، ونقاط التقابل $A وB وC$ على الدائرة المحيطة. لكل نقطة $P$ على المكعب ولكنها ليست على أحد أضلاع $المثلث ABC$ ، فإن المرافق المتساوي الزوايا للنقطة $P$ يقع أيضًا على المكعب.

للاطلاع على الرسومات والخصائص، انظر K004 في المكعبات في المستوى المثلثي .

مكعب نابليون-فويرباخ

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(BC)x(y^{2}-z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

المكعب نابليون-فويرباخ هو موضع النقطة $X*$ على الخط $NX$ ، حيث $N$ هو مركز النقاط التسع، ( $N = X (5)$ في موسوعة مراكز المثلثات ).

يمر مكعب نابليون-فويرباخ عبر المركز الداخلي، والمركز المحيط، والمركز القائم، ونقطتي نابليون الأولى والثانية ، ومراكز المثلثات الأخرى، والرؤوس $A وB وC،$ والمراكز الخارجية، وإسقاطات المركز على الارتفاعات، ومراكز المثلثات الستة متساوية الأضلاع المقامة على جوانب $المثلث ABC$ .

للاطلاع على الرسومات والخصائص، انظر K005 في المكعبات في المستوى المثلثي .

لوكاس كيوبك

مكعب لوكاس للمثلث $△ ABC$ : المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث يكون المثلث السيفياني لـ $X$ هو المثلث الدواس لنقطة ما $X'$ ؛ تقع النقطة $X'$ على مكعب داربو.

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

مكعب لوكاس هو المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث يكون المثلث السيفياني لـ $X$ هو المثلث الدواس لنقطة ما؛ تقع النقطة على مكعب داربو.

يمر مكعب لوكاس عبر مركز الثقل، ومركز التعامد، ونقطة جيرجون، ونقطة ناجل ، ونقطة دي لونجشامب، ومراكز المثلثات الأخرى، ورؤوس المثلث المضاد للمكمل، وبؤر القطع الناقص الدائري لشتاينر.

للاطلاع على الرسومات والخصائص، انظر K007 في المكعبات في المستوى المثلثي .

مكعب بروكارد الأول

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

ليكن $المثلث A'B'C'$ هو مثلث بروكارد الأول. لأي نقطة $X، ولتكن XA وXB وXC$ $هي$ نقاط $تقاطع الخطوط XA' و$ XB $' وXC'$ مع الخطوط الجانبية $BC وCA وAB$ على التوالي. مكعب بروكارد الأول هو المحل الهندسي للنقطة $X$ الذي تقع فيه النقاط $XA وXB و XC على استقامة واحدة$ .

يمر مكعب بروكارد الأول عبر مركز الثقل، والنقطة الوسيطة، ونقطة شتاينر، ومراكز المثلثات الأخرى، ورؤوس مثلثي بروكارد الأول والثالث.

للاطلاع على الرسومات والخصائص، انظر K017 في المكعبات في المستوى المثلثي .

مكعب بروكارد الثاني

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

المكعب الثاني لبروكارد هو المحل الهندسي لنقطة $X$ التي يقع عندها قطب الخط $XX*$ في الدائرة المخروطية المحيطة بالنقطتين $X$ و $X*$ على خط مركز الدائرة المحيطة ونقطة التناظر المتوسط (أي محور بروكارد). يمر المكعب بمركز الدائرة، ونقطة التناظر المتوسط، ونقطتي فيرما، ونقطتي التساوي الديناميكي، ونقطة باري، ومراكز المثلثات الأخرى، ورؤوس مثلثي بروكارد الثاني والرابع.

للاطلاع على الرسومات والخصائص، انظر K018 في المكعبات في المستوى المثلثي .

أولاً: مساحات مكعبة متساوية

أول مكعب متساوي المساحة للمثلث $△ ABC$ : المحل الهندسي للنقطة $X$ بحيث تكون مساحة المثلث السيفياني لـ $X$ مساوية لمساحة المثلث السيفياني لـ $X*$ .

معادلة ثلاثية الخطوط: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

المكعب الأول ذو المساحات المتساوية هو المحل الهندسي لنقطة $X$ بحيث تكون مساحة المثلث المكافئ لـ $X$ مساوية لمساحة المثلث المكافئ لـ $X*$ . كما أن هذا المكعب هو المحل الهندسي لـ $X$ الذي تقع فيه $X*$ على الخط $S*X$ ، حيث $S$ هي نقطة شتاينر. ( $S = X (99)$ في موسوعة مراكز المثلثات ).

يمر المكعب الأول ذو المساحات المتساوية عبر المركز الداخلي، ونقطة شتاينر، ومراكز المثلثات الأخرى، ونقطتي بروكارد الأولى والثانية، والمراكز الخارجية.

للاطلاع على الرسومات والخصائص، انظر K021 في المكعبات في المستوى المثلثي .

2 مساحات مكعبة متساوية

معادلة ثلاثية الخطوط: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$

معادلة مركز الثقل: $\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$

لأي نقطة $X=x:y:z$ (ثلاثية الخطوط)، دع $X_{Y}=y:z:x$ و $X_{Z}=z:x:y.$ المكعب الثاني ذو المساحات المتساوية هو المحل الهندسي لـ $X$ بحيث تكون مساحة المثلث السيفي لـ $X Y$ مساوية لمساحة المثلث السيفي لـ $X Z.$

يمر المكعب الثاني ذو المساحات المتساوية عبر المركز الداخلي، والمركز الهندسي، والنقطة المتوسطة، والنقاط الموجودة في موسوعة مراكز المثلثات المفهرسة على النحو التالي: X (31)، X (105)، X (238)، X (292)، X (365)، X (672)، X (1453)، X (1931)، X (2053)، وغيرها.

للحصول على رسومات وخصائص، انظر K155 في المكعبات في المستوى المثلثي .

أداة GeoGebra لرسم مكعبات مثلثية

مكعب تاكر (المكعب K011 في الكتالوج) للمثلث ABC المرسوم باستخدام أمر GeoGebra *Cubic(A,B,C,11)* .

يحتوي برنامج GeoGebra ، وهو حزمة برامج لتطبيقات الهندسة التفاعلية والجبر والإحصاء والتفاضل والتكامل، على أداة مدمجة لرسم المكعبات المدرجة في الكتالوج. ^{[ 3 ]} الأمر

مكعب( <نقطة>، <نقطة>، <نقطة>، ن)

يطبع هذا الأمر المصفوفة التكعيبية رقم n في الكتالوج للمثلث الذي رؤوسه هي النقاط الثلاث المذكورة. على سبيل المثال، لطباعة مصفوفة طومسون التكعيبية للمثلث الذي رؤوسه A وB وC، يمكن استخدام الأمر التالي:

مكعب (أ، ب، ج، 2)

انظر أيضاً

هندسة المثلث الحديثة

مراجع

^ برنارد جيبرت. ""كتالوج مكعبات المثلث" " مكعب في مستوى المثلث . برنارد جيبرت . تم الاسترجاع في 27 نوفمبر 2021 .
↑ "K1200: مكعب كرونودال KHO" . المكعبات في المستوى المثلثي . برنارد جيبير . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2021 .
^ "الأمر المكعب" . جيوجبرا . جيوجبرا . تم الاسترجاع في 27 نوفمبر 2021 .

[1] برنارد جيبرت. ""كتالوج مكعبات المثلث" " مكعب في مستوى المثلث . برنارد جيبرت . تم الاسترجاع في 27 نوفمبر 2021 .

[2] "K1200: مكعب كرونودال KHO" . المكعبات في المستوى المثلثي . برنارد جيبير . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 نوفمبر 2021 .

[3] "الأمر المكعب" . جيوجبرا . جيوجبرا . تم الاسترجاع في 27 نوفمبر 2021 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]