الموجة المثلثية

تُعرَّف الموجة المثلثية ذات الفترة p والتي تغطي النطاق [0، 1] على النحو التالي: $${\displaystyle x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right|,}$$ أين${\displaystyle \lfloor \ \rfloor }$هي دالة الجزء الصحيح . ويمكن ملاحظة أن هذه هي القيمة المطلقة لموجة سن المنشار المزاحة .

بالنسبة لموجة مثلثية تغطي النطاق [ −1,  1 ] ، يصبح التعبير $${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)\right|-1.}$$

معادلة أكثر عمومية لموجة مثلثية ذات سعة${\displaystyle a}$والفترة${\displaystyle p}$باستخدام عملية باقي القسمة والقيمة المطلقة$${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x-{\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}\right|-a.}$$

على سبيل المثال، بالنسبة لموجة مثلثة ذات سعة 5 ودورة 4: $${\displaystyle y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr )}-2\right|-5.}$$

يمكن الحصول على إزاحة طورية عن طريق تغيير قيمة${\displaystyle -p/4}$ويمكن تعديل الإزاحة الرأسية عن طريق تغيير قيمة المصطلح.${\displaystyle -a}$شرط.

بما أن هذا يستخدم فقط عملية باقي القسمة والقيمة المطلقة، فيمكن استخدامه ببساطة لتنفيذ موجة مثلثية على الإلكترونيات المادية.

لاحظ أنه في العديد من لغات البرمجة، %يُعدّ المعامل `\` معامل باقي القسمة (وتكون النتيجة بنفس إشارة المقسوم)، وليس معامل باقي القسمة ؛ ويمكن الحصول على عملية باقي القسمة باستخدام `\` بدلاً من `\ `. في لغة جافا سكريبت، على سبيل المثال، ينتج عن ذلك معادلة على الصورة `\` .((x % p) + p) % px % p4*a/p * Math.abs((((x - p/4) % p) + p) % p - p/2) - a

يمكن أيضًا التعبير عن الموجة المثلثية على أنها تكامل الموجة المربعة : $${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {2\pi u}{p}}\right)\,du.}$$

يمكن التعبير عن الموجة المثلثية ذات الفترة p والسعة a بدلالة الجيب و arcsine (التي تتراوح قيمتها من − π /2 إلى π /2): $${\displaystyle y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$ الهوية${\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}$يمكن استخدام هذه الطريقة لتحويل الموجة المثلثية "الجيبية" إلى موجة مثلثية "جيب التمام". ويمكن أيضًا التعبير عن هذه الموجة المثلثية ذات الإزاحة الطورية باستخدام دالتي جيب التمام وجيب التمام العكسي . $${\displaystyle y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).}$$

تعريف آخر للموجة المثلثية، التي يتراوح مداها من -1 إلى 1 ودورتها p ، هو $${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }.}$$

من الممكن تقريب الموجة المثلثية باستخدام التركيب الجمعي عن طريق جمع التوافقيات الفردية للتردد الأساسي مع ضرب كل توافقية فردية في -1 (أو، بشكل مكافئ، تغيير طورها بمقدار π ) وقسمة سعة التوافقيات على مربع رقم نمطها، n (وهو ما يعادل ترددها النسبي للتردد الأساسي ).

يمكن تلخيص ما سبق رياضياً على النحو التالي: $${\displaystyle x_{\text{triangle}}(t)={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N-1}{\frac {(-1)^{i}}{n^{2}}}\sin(2\pi f_{0}nt),}$$ حيث N هو عدد التوافقيات المراد تضمينها في التقريب، و t هو المتغير المستقل (مثل زمن الموجات الصوتية).${\displaystyle f_{0}}$يمثل التردد الأساسي، و i هو رمز التوافقي المرتبط برقم نمطه بواسطة${\displaystyle n=2i+1}$.

تتقارب سلسلة فورييه اللانهائية هذه بسرعة إلى الموجة المثلثية عندما يؤول N إلى اللانهاية، كما هو موضح في الرسوم المتحركة.