دالة المتغير الحقيقي

وظيفة
x ↦ f  ( x )
تاريخ مفهوم الوظيفة
الأنواع حسب النطاق والنطاق المشترك
س → 𝔹 𝔹 → X 𝔹 ن → س س → ℤ ℤ → س س → ℝ ℝ → س ℝ ن → س س → ℂ ℂ → س ℂ ن → س
الفئات/الخصائص
ثابت هوية خطي متعدد الحدود عاقِل جبري تحليلي سلس مستمر قابلة للقياس حقنة صفة ثنائي الاتجاه
الإنشاءات
تقييد تعبير λ معكوس
التعميمات
علاقة ثنائية جزئي متعدد القيم ضمني فضاء أعلى مرتبة التشكلية المُستخدِم
قائمة الوظائف المحددة
ف ت هـ

في التحليل الرياضي والتطبيقات في الهندسة والرياضيات التطبيقية والهندسة والعلوم الطبيعية ، دالة المتغير الحقيقي هي دالة يكون مجالها الأعداد الحقيقية أو مجموعة جزئية منها تحتوي على فترة ذات طول موجب. معظم الدوال الحقيقية التي يتم النظر فيها ودراستها قابلة للاشتقاق في فترة ما. الدوال الأكثر انتشارًا هي الدوال الحقيقية، وهي الدوال ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي ، أي دوال المتغير الحقيقي الذي يكون مجاله المشترك هو مجموعة الأعداد الحقيقية. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ومع ذلك، فإن المجال التكميلي لدالة متغير حقيقي قد يكون أي مجموعة. ومع ذلك، غالبًا ما يُفترض أن يكون له بنية فضاء متجه - على الأعداد الحقيقية. أي أن المجال التكميلي قد يكون فضاء إقليديًا ، أو متجه إحداثي ، أو مجموعة مصفوفات من الأعداد الحقيقية بحجم معين، أو جبر - ، مثل الأعداد المركبة أو الرباعيات . يحث فضاء متجه البنية - للمجال التكميلي على وجود بنية فضاء متجه - على الدوال. إذا كان للمجال التكميلي بنية جبر، فإن الأمر نفسه ينطبق على الدوال. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

صورة دالة متغير حقيقي عبارة عن منحنى في المجال المقابل. في هذا السياق، تسمى الدالة التي تحدد المنحنى معادلة بارامترية للمنحنى.

عندما يكون المجال المشترك لدالة متغير حقيقي عبارة عن فضاء متجه ذي أبعاد محدودة ، يمكن اعتبار الدالة عبارة عن سلسلة من الدوال الحقيقية. يستخدم هذا غالبًا في التطبيقات.

الدالة الحقيقية هي دالة من مجموعة جزئية من إلى حيث تشير عادةً إلى مجموعة الأعداد الحقيقية . أي أن مجال الدالة الحقيقية هو مجموعة جزئية ، ومجالها التكميلي هو. يُفترض عمومًا أن المجال يحتوي على فترة ذات طول موجب. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

بالنسبة للعديد من الدوال الحقيقية المستخدمة بشكل شائع، يكون المجال هو المجموعة الكاملة من الأعداد الحقيقية، والدالة متصلة وقابلة للاشتقاق عند كل نقطة من المجال. يقال إن هذه الدوال محددة ومتصلة وقابلة للاشتقاق في كل مكان. وهذه هي حالة:

• جميع الدوال الحدودية ، بما في ذلك الدوال الثابتة والدوال الخطية
• وظائف الجيب وجيب التمام
• الدالة الأسية

يتم تعريف بعض الوظائف في كل مكان، ولكنها ليست مستمرة في بعض النقاط. على سبيل المثال

• يتم تعريف دالة خطوة هيفيسايد في كل مكان، ولكنها ليست مستمرة عند الصفر .

بعض الدوال محددة ومتصلة في كل مكان، ولكنها ليست قابلة للاشتقاق في كل مكان. على سبيل المثال

• القيمة المطلقة محددة ومتصلة في كل مكان، وقابلة للاشتقاق في كل مكان، باستثناء الصفر.
• الجذر التكعيبي محدد ومتصل في كل مكان، وقابل للاشتقاق في كل مكان، باستثناء الصفر.

العديد من الدوال الشائعة لا يتم تعريفها في كل مكان، ولكنها مستمرة وقابلة للاشتقاق في كل مكان يتم تعريفها فيه. على سبيل المثال:

• الدالة الكسرية هي حاصل قسمة دالتين كثيرتي الحدود، ولا يتم تعريفها عند أصفار المقام.
• لم يتم تعريف دالة الظل حيث k هو أي عدد صحيح.${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,}$
• يتم تعريف دالة اللوغاريتم فقط للقيم الموجبة للمتغير.

بعض الدوال مستمرة في مجالها بالكامل، وغير قابلة للاشتقاق في بعض النقاط. وهذه هي حالة:

• يتم تعريف الجذر التربيعي فقط للقيم غير السلبية للمتغير، وليس قابلاً للاشتقاق عند 0 (يمكن اشتقاقه لجميع القيم الموجبة للمتغير).

الدالة ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي هي دالة تأخذ كمدخل رقمًا حقيقيًا ، يتم تمثيله عادةً بالمتغير x ، لإنتاج رقم حقيقي آخر، قيمة الدالة، والتي يشار إليها عادةً بـ f ( x ). من أجل التبسيط، في هذه المقالة، سيتم ببساطة تسمية الدالة ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي باسم دالة . لتجنب أي غموض، سيتم تحديد الأنواع الأخرى من الدوال التي قد تحدث صراحةً.

يتم تعريف بعض الدوال لجميع القيم الحقيقية للمتغيرات (يقال إنها محددة في كل مكان)، ولكن يتم تعريف بعض الدوال الأخرى فقط إذا تم أخذ قيمة المتغير في مجموعة فرعية X من ، مجال الدالة، والتي من المفترض دائمًا أن تحتوي على فاصل بطول موجب. بعبارة أخرى، الدالة ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي هي دالة ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

بحيث يكون مجالها X عبارة عن مجموعة فرعية تحتوي على فاصل بطول موجب. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكن أن يكون مثال بسيط لدالة في متغير واحد:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

وهو الجذر التربيعي لـ x .

صورة الدالة هي مجموعة كل قيم f عندما يعمل المتغير x في المجال الكامل لـ f . بالنسبة للدالة المستمرة (انظر أدناه للتعريف) ذات القيمة الحقيقية مع مجال متصل، تكون الصورة إما فاصلًا أو قيمة واحدة. في الحالة الأخيرة، تكون الدالة دالة ثابتة . ${\displaystyle f(x)}$

الصورة الأولية لعدد حقيقي معين y هي مجموعة حلول المعادلة y = f ( x ) .

مجال دالة مكونة من عدة متغيرات حقيقية هو مجموعة جزئية من ذلك الذي يتم تعريفه صراحةً في بعض الأحيان. في الواقع، إذا قيدنا مجال X للدالة f بمجموعة جزئية Y ⊂ X ، فإننا نحصل رسميًا _على دالة مختلفة، وهي تقييد f على Y ، والتي يشار إليها بـ f _| Y. في الممارسة العملية، غالبًا ما لا يكون من الضار تحديد f و f _{| Y} ، وحذف الرمز السفلي _{| Y.}${\displaystyle \mathbb {R} }$

وعلى العكس من ذلك، من الممكن أحيانًا توسيع نطاق دالة معينة بشكل طبيعي، على سبيل المثال عن طريق الاستمرارية أو الاستمرار التحليلي . وهذا يعني أنه ليس من الجدير تحديد نطاق دالة متغير حقيقي بشكل صريح.

يمكن تطبيق العمليات الحسابية على الوظائف بالطريقة التالية:

• لكل عدد حقيقي r ، الدالة الثابتة ، محددة في كل مكان.${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• بالنسبة لكل عدد حقيقي r ولكل دالة f ، فإن الدالة لها نفس مجال f (أو تكون محددة في كل مكان إذا كان r = 0).${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• إذا كانت f و g دالتين لمجالين متناظرين X و Y بحيث تحتوي X ∩ Y على مجموعة فرعية مفتوحة من ، فإن و دالتين لهما مجال يحتوي على X ∩ Y.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

ويترتب على ذلك أن وظائف n متغيرات التي يتم تعريفها في كل مكان ووظائف n متغيرات التي يتم تعريفها في بعض جوار نقطة معينة تشكلان جبرًا تبديليًا على الأعداد الحقيقية ( -الجبر). ${\displaystyle \mathbb {R} }$

يمكن تعريف أيهما دالة على نحو مماثل فقط إذا كانت مجموعة النقاط ( x ) في مجال f بحيث f ( x ) ≠ 0 تحتوي على مجموعة فرعية مفتوحة من . هذا القيد يعني أن الجبرتين أعلاه ليسا حقلين . ${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

حتى النصف الثاني من القرن التاسع عشر، لم يكن علماء الرياضيات ينظرون إلا إلى الدوال المتصلة . وفي ذلك الوقت، تم وضع مفهوم الاستمرارية لدوال متغير حقيقي واحد أو أكثر قبل وقت طويل من التعريف الرسمي للفضاء الطوبولوجي والخريطة المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية. ونظرًا لأن الدوال المتصلة لمتغير حقيقي منتشرة في الرياضيات، فمن الجدير تعريف هذا المفهوم دون الرجوع إلى المفهوم العام للخرائط المتصلة بين الفضاءات الطوبولوجية.

لتحديد الاستمرارية، من المفيد النظر في دالة المسافة ، وهي دالة محددة في كل مكان لمتغيرين حقيقيين: ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle د(س،ص)=|س|}$

تكون الدالة f متصلة عند نقطة داخلية لمجالها ، إذا كان لكل عدد حقيقي موجب ε ، عدد حقيقي موجب φ بحيث أنه لكل ما يكون بحيث. بعبارة أخرى، يمكن اختيار φ صغيرًا بما يكفي للحصول على الصورة بواسطة f لفترة نصف القطر φ ومركزها عند مضمنة في فترة طولها 2 ε ومركزها عند . تكون الدالة متصلة إذا كانت متصلة عند كل نقطة من مجالها. ${\displaystyle أ}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,a)<\varphi .}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

حد الدالة ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي هو كما يلي. ^[1] ليكن a نقطة في الإغلاق الطوبولوجي للمجال X للدالة f . الدالة f لها حد L عندما تتجه x نحو a ، ويرمز لها

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

إذا تم استيفاء الشرط التالي: لكل عدد حقيقي موجب ε > 0، يوجد عدد حقيقي موجب δ > 0 بحيث:

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

لجميع x في المجال بحيث

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

إذا كان الحد موجودًا، فهو فريد. إذا كان a في الجزء الداخلي من المجال، فإن الحد موجود إذا وفقط إذا كانت الدالة متصلة عند a . في هذه الحالة، لدينا

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

عندما يكون a ضمن حدود مجال f ، وإذا كان لـ f حد عند a ، فإن الصيغة الأخيرة تسمح بـ "تمديد الاستمرارية" لمجال f إلى a .

يمكن جمع عدد من الوظائف لكل متغير حقيقي، على سبيل المثال

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

إلى متجه معلمة بـ x :

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

المشتق للمتجه y هو المشتقات المتجهة لـ f _i ( x ) حيث i = 1, 2, ..., n :

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

يمكنك أيضًا إجراء تكاملات خطية على طول منحنى فضاء معلم بواسطة x ، مع متجه الموضع r = r ( x )، عن طريق التكامل بالنسبة للمتغير x :

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

حيث · هو حاصل الضرب النقطي ، و x = a و x = b هما نقطة البداية ونقطة النهاية للمنحنى.

باستخدام تعريفات التكامل والمشتقات، يمكن صياغة نظريات أساسية، بما في ذلك النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، والتكامل بالأجزاء ، ونظرية تايلور . يمكن تقييم مزيج من التكاملات والمشتقات باستخدام التمايز النظري تحت علامة التكامل .

لا تتم كتابة دالة ضمنية ذات قيمة حقيقية لمتغير حقيقي في النموذج " y = f ( x )". بدلاً من ذلك، يتم التعيين من الفضاء ² إلى عنصر الصفر في (الصفر العادي 0 فقط): ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

و

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

هي معادلة في المتغيرات. الدوال الضمنية هي طريقة أكثر عمومية لتمثيل الدوال، حيث إذا:

${\displaystyle y=f(x)}$

ومن ثم يمكننا دائمًا تعريف:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

لكن العكس ليس ممكنًا دائمًا، أي أن ليس كل الدوال الضمنية لها شكل هذه المعادلة.

بالنظر إلى الدوال r ₁ = r ₁ ( t ) ، r ₂ = r ₂ ( t ) ، ...، r _n = r _n ( t ) جميعها لمتغير مشترك t ، بحيث:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

أو مجتمعة:

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

ثم يتم تحديد المعلمة n -tuple،

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

يصف منحنى الفضاء أحادي البعد .

عند النقطة r ( t = c ) = a = ( a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) لبعض الثوابت t = c ، فإن معادلات خط المماس أحادي البعد للمنحنى عند تلك النقطة تُعطى من حيث المشتقات العادية لـ r ₁ ( t )، r ₂ ( t )، ...، r _n ( t )، و r بالنسبة إلى t :

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

معادلة المستوى الفائق ذي الأبعاد n العمودي على خط المماس عند r = a هي:

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

أو من حيث حاصل الضرب النقطي :

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

حيث p = ( p ₁ ، p ₂ ، ... ، p _n ) هي نقاط في المستوى ، وليست على منحنى الفضاء.

التفسير الفيزيائي والهندسي لـ d r ( t ) / dt هو " سرعة " جسيم يشبه النقطة يتحرك على طول المسار r ( t )، مع معاملة r على أنها إحداثيات متجه الموضع المكاني المعلمة بالزمن t ، وهو متجه مماس لمنحنى الفضاء لجميع t في الاتجاه اللحظي للحركة. عند t = c ، يكون لمنحنى الفضاء متجه مماس d r ( t ) / dt | _{t = c} ، والمستوي الفائق العمودي على منحنى الفضاء عند t = c عمودي أيضًا على المماس عند t = c . يجب أن يكون أي متجه في هذا المستوى ( p − a ) عموديًا على d r ( t ) / dt | _{t = c} .

وبالمثل، فإن d ² r ( t ) / dt ² هو " تسارع " الجسيم، وهو متجه عمودي على المنحنى الموجه على طول نصف قطر الانحناء .

يمكن أن تكون المصفوفة أيضًا دالة لمتغير واحد. على سبيل المثال، مصفوفة الدوران في البعد الثاني:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

هي دالة ذات قيمة مصفوفة لزاوية الدوران حول الأصل. وعلى نحو مماثل، في النسبية الخاصة ، مصفوفة تحويل لورنتز للدفعة النقية (بدون دوران):

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

هي دالة لمعامل التعزيز β = v / c ، حيث v هي السرعة النسبية بين إطارات المرجع (متغير مستمر)، و c هي سرعة الضوء ، وهي ثابتة.

بتعميم القسم السابق، يمكن أن يكون خرج دالة متغير حقيقي موجودًا أيضًا في فضاء باناخ أو فضاء هيلبرت . في هذه الفضاءات، يتم تعريف القسمة والضرب والحدود، لذا لا تزال المفاهيم مثل المشتق والتكامل سارية. يحدث هذا غالبًا بشكل خاص في ميكانيكا الكم، حيث يأخذ المرء مشتقة كيت أو عامل . يحدث هذا، على سبيل المثال، في معادلة شرودنجر العامة المعتمدة على الزمن :

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

حيث نأخذ المشتق لدالة الموجة، والتي يمكن أن تكون عنصرًا من عدة مساحات هيلبرت مختلفة.

يمكن تعريف دالة ذات قيمة معقدة لمتغير حقيقي عن طريق تخفيف تقييد المجال المشترك للأعداد الحقيقية في تعريف الدوال ذات القيمة الحقيقية والسماح بالقيم المعقدة .

إذا كانت f ( x ) دالة ذات قيمة معقدة، فيمكن تحليلها على النحو التالي:

و ( x ) = ز ( x ) + ih ( x ) ,

حيث g و h دالتان ذات قيمة حقيقية. بعبارة أخرى، فإن دراسة الدوال ذات القيمة المركبة تنحصر بسهولة في دراسة أزواج الدوال ذات القيمة الحقيقية.

إن عدد عناصر مجموعة الدوال ذات القيمة الحقيقية لمتغير حقيقي، ، هو ، وهو أكبر بشكل صارم من عدد عناصر المتصل (أي مجموعة كل الأعداد الحقيقية). يمكن التحقق من هذه الحقيقة بسهولة من خلال الحساب العددي: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

علاوة على ذلك، إذا كانت المجموعة بحيث ، فإن عددية المجموعة هي أيضًا ، لأن ${\displaystyle X}$${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

ومع ذلك، فإن مجموعة الدوال المستمرة لها عدد أصغر تمامًا، وهو عدد المتصل، . وهذا يتبع من حقيقة أن الدالة المستمرة يتم تحديدها تمامًا من خلال قيمتها على مجموعة فرعية كثيفة من مجالها. ^[2] وبالتالي، فإن عدد الدوال المستمرة ذات القيمة الحقيقية على الأعداد الحقيقية لا يكون أكبر من عدد الدوال ذات القيمة الحقيقية لمتغير نسبي. وفقًا للحسابات الكاردينالية: ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

من ناحية أخرى، نظرًا لوجود تطابق واضح بين و، فإن مجموعة الدوال الثابتة ، والتي تشكل مجموعة فرعية من ، يجب أن تكون صحيحة أيضًا. وبالتالي، . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$

• تحليل حقيقي
• دالة عدة متغيرات حقيقية
• تحليل معقد
• دالة عدة متغيرات معقدة

• ف. آيرز، إي. مندلسون (2009). حساب التفاضل والتكامل . سلسلة مخططات شاوم (الطبعة الخامسة). ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-150861-2.
• R. Wrede, MR Spiegel (2010). حساب التفاضل والتكامل المتقدم . سلسلة مخططات شاوم (الطبعة الثالثة). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162366-7.
• ن. بورباكي (2004). دوال المتغير الحقيقي: النظرية الأولية. سبرينغر. رقم ISBN 354-065-340-6.

• حساب متعدد المتغيرات
• LA Talman (2007) قابلية التفاضل للوظائف متعددة المتغيرات