الدوال المثلثية للمصفوفات

تظهر الدوال المثلثية (وخاصة الجيب وجيب التمام ) للمصفوفات المربعة المركبة في حلول أنظمة المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية . ^{[ 1 ]} وهي تُعرَّف بواسطة متسلسلة تايلور نفسها التي تنطبق على الدوال المثلثية للأعداد المركبة : ^{[ 2 ]}

$\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!}}-{\frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}-{\frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}\end{aligned}}}$

حيث X ⁿ هي القوة n للمصفوفة X ، و I هي مصفوفة الوحدة ذات الأبعاد المناسبة.

وبصورة مكافئة، يمكن تعريفها باستخدام الدالة الأسية للمصفوفة بالإضافة إلى الصيغة المصفوفية المكافئة لصيغة أويلر ، e ^iX = cos X + i sin X ، مما ينتج عنه

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \over 2}.\end{aligned}}}$

على سبيل المثال، إذا اعتبرنا X مصفوفة باولي قياسية ،

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,}$

يمتلك المرء

${\displaystyle \sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~I~,}$

وكذلك بالنسبة لدالة الجيب الأساسية ،

${\displaystyle \operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta )~I.}$

ينطبق نظير متطابقة فيثاغورس المثلثية على ما يلي : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I}$

إذا كانت X مصفوفة قطرية ، فإن sin X و cos X هما أيضًا مصفوفتان قطريتان مع (sin X ) _nn = sin( X _nn ) و (cos X ) _nn = cos( X _nn ) ، أي أنه يمكن حسابهما ببساطة عن طريق أخذ جيوب أو جيوب تمام المكونات القطرية للمصفوفات.

تكون نظائر صيغ الجمع المثلثية صحيحة إذا وفقط إذا كان XY = YX : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{محاذاة}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\mp \sin X\sin Y\end{محاذاة}}}$

تم تعريف دالة الظل، بالإضافة إلى الدوال المثلثية العكسية ، والدوال الزائدية والزائدية العكسية للمصفوفات: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {IX^{2}}}\right)}$(انظر الدوال المثلثية العكسية#الصيغ اللوغاريتمية ، لوغاريتم المصفوفة ، الجذر التربيعي للمصفوفة )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \over 2}\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك.