الجذر التربيعي لمصفوفة

إذا كانت D مصفوفة قطرية من الرتبة n × n${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$إذن ، بعض جذورها التربيعية هي المصفوفات القطرية .${\displaystyle \operatorname {diag} (\mu _{1},\dots ,\mu _{n})}$أين​​${\displaystyle \mu _{i}=\pm {\sqrt {\lambda _{i}}}}$⁠ .

إذا كانت العناصر القطرية لـ D حقيقية وغير سالبة، فإنها تكون شبه موجبة، وإذا تم أخذ الجذور التربيعية مع الإشارة (+) (أي جميعها غير سالبة)، فإن المصفوفة الناتجة هي الجذر التربيعي الرئيسي لـ D.

قد تحتوي المصفوفة القطرية على جذور تربيعية إضافية غير قطرية إذا كانت بعض المدخلات على القطر متساوية، كما هو موضح في مصفوفة الوحدة أعلاه.

إذا كانت U مصفوفة مثلثية علوية (أي أن عناصرها هي${\displaystyle u_{i,j}=0}$لـ​${\displaystyle i>j\,}$) ويكون أحد عناصر قطرها على الأكثر يساوي صفرًا، فإن حلًا مثلثيًا علويًا واحدًا للمعادلة${\displaystyle B^{2}=U}$يمكن العثور عليها على النحو التالي.

بما أن المعادلة${\displaystyle u_{i,i}=b_{i,i}^{2}}$ينبغي أن يكون ذلك مُرضيًا، دع${\displaystyle b_{i,i}}$ليكن الجذر التربيعي الرئيسي للعدد المركب${\displaystyle u_{i,i}}$وهذا يعني${\displaystyle b_{i,i}+b_{j,j}\neq 0}$لكل i و j ، لأن الجذور التربيعية الرئيسية للأعداد المركبة تقع جميعها على نصف المستوى المركب. ^{[ د ]} هذا ممكن بافتراض${\displaystyle b_{i,i}^{2}=0}$⁠ لواحد على الأكثر i .

من المعادلة $${\displaystyle u_{i,j}=b_{i,i}b_{i,j}+b_{i,i+1}b_{i+1,j}+b_{i,i+2}b_{i+2,j}+\dots +b_{i,j-1}b_{j-1,j}+b_{i,j}b_{j,j},}$$ نستنتج أن${\displaystyle b_{i,j}}$يمكن حسابها بشكل متكرر لـ${\displaystyle j-i}$تزداد من 1 إلى n − 1 كما يلي: $${\displaystyle b_{i,j}={\frac {u_{i,j}-b_{i,i+1}b_{i+1,j}-b_{i,i+2}b_{i+2,j}-\dots -b_{i,j-1}b_{j-1,j}}{b_{i,i}+b_{j,j}}}.}$$

إذا كانت المصفوفة U مثلثية علوية ولكنها تحتوي على أصفار متعددة على القطر الرئيسي، فقد لا يكون للجذر التربيعي وجود، كما هو موضح في المثال التالي :${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right)}$⁠ .

لاحظ أن المدخلات القطرية للمصفوفة المثلثية هي بالضبط قيمها الذاتية (انظر المصفوفة المثلثية#الخصائص ).

تكون المصفوفة A من الرتبة n × n قابلة للتقطير إذا وُجدت مصفوفة V ومصفوفة قطرية D بحيث يكون A = VDV ⁻¹ . ويتحقق هذا إذا وفقط إذا كان للمصفوفة A عدد n من المتجهات الذاتية التي تُشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$في هذه الحالة، يمكن اختيار V لتكون المصفوفة التي تحتوي على n من المتجهات الذاتية كأعمدة، وبالتالي فإن الجذر التربيعي لـ A هو

⁠${\displaystyle R=VSV^{-1}}$،​

حيث S هو أي جذر تربيعي لـ D. في الواقع، $${\displaystyle \left(VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}\right)^{2}=VD^{\frac {1}{2}}\left(V^{-1}V\right)D^{\frac {1}{2}}V^{-1}=VDV^{-1}=A.}$$

على سبيل المثال، المصفوفة${\displaystyle A={\begin{bmatrix}33&24\\48&57\end{bmatrix}}}$يمكن تحويلها إلى شكل قطري كـ VDV ⁻¹ ، حيث

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&1\\2&-1\end{bmatrix}}\ }$و​${\displaystyle \ D={\begin{bmatrix}81&0\\0&9\end{bmatrix}}}$⁠ .

D لها الجذر التربيعي الرئيسي

⁠${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}9&0\\0&3\end{bmatrix}}}$،​

إعطاء الجذر التربيعي

⁠${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=VD^{\frac {1}{2}}V^{-1}={\begin{bmatrix}5&2\\4&7\end{bmatrix}}}$⁠ .

عندما تكون المصفوفة A متناظرة، يمكن تحويل مصفوفة التقطير V إلى مصفوفة متعامدة باختيار المتجهات الذاتية المناسبة (انظر نظرية الطيف ). عندئذٍ، يكون معكوس V هو ببساطة منقولها، بحيث

⁠${\displaystyle R=VSV^{\textsf {T}}}$⁠ .

كل مصفوفة مربعة ذات قيم مركبة${\displaystyle A}$بغض النظر عن إمكانية القطرنة، فإن لها تحليل شور معطى بواسطة${\displaystyle A=QUQ^{*}}$أين${\displaystyle U}$هو مثلث علوي و${\displaystyle Q}$هو وحدة (بمعنى ⁠${\displaystyle Q^{*}=Q^{-1}}$) . القيم الذاتية لـ${\displaystyle A}$هي بالضبط المدخلات القطرية لـ ⁠${\displaystyle U}$إذا كان أحدها على الأكثر يساوي صفرًا، فإن ما يلي هو الجذر التربيعي لـ${\displaystyle A}$⁠ : ^{[ 7 ]}

⁠${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}}$،​

حيث الجذر التربيعي${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$من المصفوفة المثلثية العلوية${\displaystyle U}$يمكن العثور عليها كما هو موضح أعلاه .

لو${\displaystyle A}$إذا كانت مصفوفة موجبة تمامًا، فإن قيمها الذاتية كلها أعداد حقيقية موجبة، لذا يمكن اختيار أعداد حقيقية موجبة لجميع عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة .${\displaystyle U^{\frac {1}{2}}}$ومن ثم فإن القيم الذاتية لـ${\displaystyle QU^{\frac {1}{2}}Q^{*}}$جميعها أعداد حقيقية موجبة، مما يعني أن المصفوفة الناتجة هي الجذر الرئيسي لـ${\displaystyle A}$⁠ .

وبالمثل بالنسبة لتحليل شور، فإن كل مصفوفة مربعة${\displaystyle A}$يمكن تحليلها إلى${\displaystyle A=PJP^{-1}}$أين:

• ⁠${\displaystyle P}$قابلة للعكس، و
• ⁠${\displaystyle J}$⁠ في الصيغة الأردنية العادية ، أي ⁠${\displaystyle J}$هي مصفوفة قطرية كتلية${\displaystyle \mathrm {diag} {\big (}B_{k},\dots ,B_{1}{\big )}}$أين​​${\displaystyle B_{k},\dots ,B_{1}}$هي كتل جوردان (وبالتالي ،${\displaystyle J}$( وهو أيضًا مثلث علوي).

لإثبات أن أي مصفوفة حقيقية ذات قيم ذاتية موجبة لها جذر تربيعي لمصفوفة حقيقية ذات قيم ذاتية موجبة، يكفي التحقق من ذلك بالنسبة لكتلة جوردان. أي كتلة من هذا القبيل${\displaystyle B}$له الشكل​${\displaystyle \lambda (I+N)}$أين :

• ⁠${\displaystyle \lambda }$إيجابي حقيقي، و
• ⁠${\displaystyle N}$هو عديم القوة ، أي${\displaystyle N^{\ell }=0}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle \ell }$⁠ .

ضع في اعتبارك سلسلة ماكلورين$${\displaystyle (1+z)^{\frac {1}{2}}=1+{{\frac {1}{2}} \choose 1}z+{{\frac {1}{2}} \choose 2}z^{2}+\cdots .}$$ استبدال​${\displaystyle N}$لـ​​${\displaystyle z}$، نحصل على مجموع محدود، لأن فقط ⁠${\displaystyle \ell }$قد تكون الحدود الأولى غير صفرية. ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle B^{\frac {1}{2}}={\sqrt {\lambda (I+N)}}={\sqrt {\lambda }}\left(I+{{\frac {1}{2}} \choose 1}N+{{\frac {1}{2}} \choose 2}N^{2}+\cdots +{{\frac {1}{2}} \choose {\ell -1}}N^{\ell -1}\right).}$$⁠${\displaystyle N}$المصفوفة مثلثية علوية ذات جميع القيم الذاتية تساوي صفرًا، لذا${\displaystyle B^{\frac {1}{2}}}$هي مصفوفة مثلثية علوية ذات جميع القيم الذاتية${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$إيجابي حقيقي .

وبالتالي ،${\displaystyle J^{\frac {1}{2}}=\mathrm {diag} \!\left(\!B_{k}^{\frac {1}{2}},\dots ,B_{1}^{\frac {1}{2}}\!\right)}$أين​​${\displaystyle B_{k}^{\frac {1}{2}},\dots ,B_{1}^{\frac {1}{2}}}$هي كتل مثلثة علوية (ولكن ليس بالضرورة كتل جوردان).

وأخيرًا ،${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=P\,J^{\frac {1}{2}}P^{-1}}$⁠ .

يمكن إثبات صحة النتيجة بتوسيع مربعها. وتتمثل طريقة أبسط في استبدال ⁠${\displaystyle N}$مع​​${\displaystyle tN}$، حيث​${\displaystyle t}$⁠ هو متغير حقيقي مساعد، يحاكي برهان نظرية تايلور لهذه الحالة، ويجعل ⁠${\displaystyle t=1}$في النهاية.

تذكر سلسلة القوى الرسمية $${\displaystyle (1-z)^{\frac {1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {\frac {1}{2}}{n}}z^{n},}$$ والتي تتقارب بشرط${\displaystyle |z|\leq 1}$(بما أن معاملات متسلسلة القوى قابلة للجمع). بالتعويض${\displaystyle z=I-A}$يؤدي إدخال هذا التعبير إلى $${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{{\frac {1}{2}} \choose n}(I-A)^{n},}$$ بشرط أن${\textstyle \limsup _{n}\|(I-A)^{n}\|^{\frac {1}{n}}\leq 1}$بموجب صيغة جيلفاند ، فإن هذا الشرط يعادل شرط أن يكون طيف${\displaystyle A}$موجود داخل القرص المغلق${\displaystyle D(1,1)\subset \mathbb {C} }$هذه الطريقة في التعريف أو الحساب${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}}$وهو مفيد بشكل خاص في الحالة التي${\displaystyle A}$هي شبه موجبة. إذن، لدينا${\textstyle \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|\leq 1}$وبالتالي${\textstyle \left\|\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}\right\|\leq \left\|I-{\frac {A}{\|A\|}}\right\|^{n}\leq 1}$، لهذا السبب $${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=\|A\|^{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\binom {\frac {1}{2}}{n}}\left(I-{\frac {A}{\|A\|}}\right)^{n}}$$ يُعرّف الجذر التربيعي لـ${\displaystyle A}$والذي يتبين أيضًا أنه الجذر شبه المحدد الموجب الوحيد. تظل هذه الطريقة صالحة لتعريف الجذور التربيعية للمؤثرات على فضاءات باناخ أو هيلبرت اللانهائية الأبعاد أو عناصر معينة من ( ⁠${\displaystyle C^{*}}$) جبر باناخ.

هناك طريقة أخرى لإيجاد الجذر التربيعي لمصفوفة A من الرتبة n × n وهي طريقة دينمان-بيفرز لإيجاد الجذر التربيعي. ^{[ 8 ]}

ليكن Y₀ = A و Z₀ ₌ I ، حيث I هي مصفوفة الوحدة من الرتبة _n × n . يتم تعريف التكرار بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Y_{k}+Z_{k}^{-1}\right),\\Z_{k+1}&={\frac {1}{2}}\left(Z_{k}+Y_{k}^{-1}\right).\end{aligned}}}$

بما أن هذه الطريقة تستخدم زوجًا من متواليات معكوسات المصفوفات التي تتغير عناصرها اللاحقة بشكل طفيف نسبيًا، فإن العناصر الأولى فقط هي التي تتطلب تكلفة حسابية عالية، حيث يمكن حساب الباقي من العناصر السابقة ببضع تمريرات فقط من أحد متغيرات طريقة نيوتن لحساب المعكوسات .

${\displaystyle X_{n+1}=2X_{n}-X_{n}BX_{n}.}$

وبهذا، بالنسبة للقيم اللاحقة لـ k ، يتم تحديد${\displaystyle X_{0}=Z_{k-1}^{-1}}$و${\displaystyle B=Z_{k},}$ثم استخدم${\displaystyle Z_{k}^{-1}=X_{n}}$لبعض الصغار${\displaystyle n}$(ربما واحد فقط)، وبالمثل بالنسبة لـ${\displaystyle Y_{k}^{-1}.}$

لا يُضمن التقارب، حتى بالنسبة للمصفوفات التي لها جذور تربيعية، ولكن إذا تقاربت العملية، فإن المصفوفة${\displaystyle Y_{k}}$يتقارب تقاربًا تربيعيًا إلى الجذر التربيعي لـ A ^1/2 ، بينما${\displaystyle Z_{k}}$يتقارب إلى معكوسه، A ^−1/2 .

تُستخلص طريقة تكرارية أخرى من خلال أخذ الصيغة المعروفة للطريقة البابلية لحساب الجذر التربيعي لعدد حقيقي، وتطبيقها على المصفوفات. لنفترض أن _X₀ = I ، حيث I هي مصفوفة الوحدة . يُعرَّف التكرار كما يلي:

${\displaystyle X_{k+1}={\frac {1}{2}}\left(X_{k}+AX_{k}^{-1}\right)\,.}$

مرة أخرى، التقارب ليس مضمونًا، ولكن إذا تقاربت العملية، فإن المصفوفة${\displaystyle X_{k}}$يتقارب بشكل تربيعي إلى الجذر التربيعي لـ A ^1/2 . بالمقارنة مع تكرار دينمان-بيفرز، تتمثل إحدى مزايا طريقة بابل في أنها تتطلب حساب معكوس مصفوفة واحد فقط في كل خطوة تكرار. من ناحية أخرى، ولأن تكرار دينمان-بيفرز يستخدم زوجًا من متواليات معكوسات المصفوفات التي تتغير عناصرها الأخيرة بشكل طفيف نسبيًا، فإن العناصر الأولى فقط هي التي تتطلب تكلفة حسابية عالية، حيث يمكن حساب الباقي من العناصر السابقة ببضع تمريرات فقط باستخدام صيغة معدلة من طريقة نيوتن لحساب المعكوسات (انظر تكرار دينمان-بيفرز أعلاه)؛ بالطبع، يمكن استخدام نفس النهج للحصول على متوالية المعكوسات الوحيدة المطلوبة لطريقة بابل. مع ذلك، وعلى عكس تكرار دينمان-بيفرز، فإن طريقة بابل غير مستقرة عدديًا وأكثر عرضة للفشل في التقارب. ^{[ 1 ]}

تعتمد الطريقة البابلية على طريقة نيوتن في المعادلة${\displaystyle X^{2}-A=0}$وباستخدام${\displaystyle AX_{k}=X_{k}A}$للجميع​${\displaystyle k}$. ^{[ 9 ]} }}

إذا كان T مؤثرًا غير سالب على فضاء هيلبرت ذي أبعاد منتهية، فإن جميع الجذور التربيعية لـ T ترتبط بتحويلات وحدوية. بتعبير أدق، إذا كان T = A*A = B*B ، فإنه يوجد مؤثر وحدوي U بحيث يكون A = UB .

في الواقع، لنفترض أن B = T ^1/2 هو الجذر التربيعي الوحيد غير السالب لـ T. إذا كانت T موجبة تمامًا، فإن B قابلة للعكس، وبالتالي فإن U = AB ⁻¹ هي عملية وحدوية.

${\displaystyle {\begin{aligned}U^{*}U&=\left(\left(B^{*}\right)^{-1}A^{*}\right)\left(AB^{-1}\right)=\left(B^{*}\right)^{-1}T\left(B^{-1}\right)\\&=\left(B^{*}\right)^{-1}B^{*}B\left(B^{-1}\right)=I.\end{aligned}}}$

إذا كانت T غير سالبة دون أن تكون موجبة تمامًا، فلا يمكن تعريف معكوس B ، ولكن يمكن تعريف شبه معكوس مور-بنروز B ⁺ . في هذه الحالة، يكون المؤثر B ⁺ A تماثلًا جزئيًا ، أي مؤثرًا وحدويًا من مدى T إلى نفسه. يمكن بعد ذلك تعميم هذا المؤثر ليصبح مؤثرًا وحدويًا U على الفضاء بأكمله بجعله مساويًا للمؤثر المحايد على نواة T. وبشكل أعم، يصح هذا في فضاء هيلبرت لانهائي الأبعاد إذا كان مدى T مغلقًا . عمومًا، إذا كان A و B مؤثرين مغلقين ومُعرَّفين بكثافة على فضاء هيلبرت H ، وكان A*A = B*B ، فإن A = UB حيث U تماثل جزئي.

للجذور التربيعية، والحرية الوحدوية للجذور التربيعية، تطبيقات في جميع أنحاء التحليل الوظيفي والجبر الخطي.