المتسلسلات المثلثية

في الرياضيات ، تعتبر المتسلسلات المثلثية فئة خاصة من المتسلسلات المتعامدة من الشكل ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle A_{0}+\sum _{n=1}^{\infty} A_{n}\cos {(nx)}+B_{n}\sin {(nx)},}$

أين${\displaystyle x}$هو المتغير و${\displaystyle \{A_{n}\}}$و${\displaystyle \{B_{n}\}}$هي معاملات . إنها نسخة لانهائية من متعددة الحدود المثلثية .

تُسمى المتسلسلة المثلثية متسلسلة فورييه للدالة القابلة للتكامل${\textstyle f}$إذا كانت المعاملات على الشكل التالي:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {(nx)}\,dx}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {(nx)}\,dx}$

كل متسلسلة فورييه تعطي مثالاً على متسلسلة مثلثية. لنفترض الدالة${\displaystyle f(x)=x}$على${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$إذا امتدت بشكل دوري (انظر الموجة المنشارية )، فإن معاملات فورييه الخاصة بها هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos {(nx)}\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]B_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin {(nx)}\,dx\\[4pt]&=-{\frac {x}{n\pi }}\cos {(nx)}+{\frac {1}{n^{2}\pi }}\sin {(nx)}{\Bigg \vert }_{x=-\pi }^{\pi }\\[5mu]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

وهذا يعطي مثالاً على متسلسلة مثلثية:

${\displaystyle 2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin {(nx)}=2\sin {(x)}-{\frac {2}{2}}\sin {(2x)}+{\frac {2}{3}}\sin {(3x)}-{\frac {2}{4}}\sin {(4x)}+\cdots }$

لكن العكس غير صحيح. على سبيل المثال،

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\sin {(nx)}}{\log {n}}}={\frac {\sin {(2x)}}{\log {2}}}+{\frac {\sin {(3x)}}{\log {3}}}+{\frac {\sin {(4x)}}{\log {4}}}+\cdots }$

هي متسلسلة مثلثية متقاربة لجميع${\displaystyle x}$لكنها ليست متسلسلة فورييه . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

كان تفرد المتسلسلات المثلثية وأصفارها مجالًا بحثيًا نشطًا في أوروبا خلال القرن التاسع عشر. أولًا، أثبت جورج كانتور أنه إذا كانت متسلسلة مثلثية متقاربة إلى دالة، فإن${\displaystyle f}$على الفترة${\displaystyle [0,2\pi ]}$إذا كانت قيمة المصفوفة تساوي صفرًا تمامًا، أو بشكل أعم، إذا كانت قيمتها غير صفرية عند عدد محدود من النقاط على الأكثر، فإن معاملات المتسلسلة كلها تساوي صفرًا. ^{[ 5 ]}

أثبت كانتور لاحقًا أنه حتى لو كانت المجموعة S التي${\displaystyle f}$_{إذا كانت قيمة المصفوفة غير صفرية، وكانت المصفوفة غير منتهية، ولكن المجموعة المشتقة S' من S منتهية، فإن جميع المعاملات تساوي صفرًا. في الواقع، أثبت نتيجة أكثر عمومية. ليكن S₀ = S، ولتكن Sₖ₊₁ المجموعة} المشتقة من Sₖ . إذا وُجد عدد منتهٍ n _بحيث تكون Sₙ منتهية ، فإن جميع المعاملات تساوي صفرًا . _لاحقًا ، أثبت لوبيغ أنه إذا وُجد عدد ترتيبي α قابل للعد غير منتهٍ بحيث تكون Sα منتهية _، فإن جميع معاملات المتسلسلة تساوي صفرًا. قاد عمل كانتور على مسألة التفرد إلى ابتكار الأعداد الترتيبية المتسامية ^، والتي ظهرت كمؤشرات سفلية α في Sα _. ^{[ 6} ]

• نظرية دينجوي-لوزين

• باري، نينا كارلوفنا (1964). رسالة في المتسلسلات المثلثية . المجلد  1. ترجمة مارغريت ف. بيرغامون مولينز.
• إدواردز، ر. إي. (1979). متسلسلات فورييه . المجلد  64. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4612-6208-4 . ISBN 978-1-4612-6210-7.
• إدواردز، ر. إي. (1982). متسلسلات فورييه . المجلد  85. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4613-8156-3 . ISBN 978-1-4613-8158-7.
• هاردي، جي إتش ؛ روغوسينسكي، فيرنر (1999). متسلسلات فورييه . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-40681-7.
• زيغموند، أنطوني (1968). المتسلسلات المثلثية . المجلد  1 و2 (الطبعة الثانية المعاد طباعتها  ). مطبعة جامعة كامبريدج. MR 0236587 .