عدد لا نهائي

في الرياضيات ، تُعرف الأعداد المتسامية أو الأعداد اللانهائية بأنها أعداد " لانهائية " بمعنى أنها أكبر من جميع الأعداد المنتهية . وتشمل هذه الأعداد الأقدمية المتسامية ، وهي أعداد أصلية تُستخدم لتحديد حجم المجموعات اللانهائية، والأعداد الترتيبية المتسامية ، وهي أعداد ترتيبية تُستخدم لترتيب المجموعات اللانهائية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} صاغ مصطلح "متسامي" عام 1895 جورج كانتور ، ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} الذي رغب في تجنب بعض دلالات كلمة " لانهائي". وعلى وجه الخصوص، اعتقد أن "اللانهائية الحقيقية" صفة كاملة، وبالتالي إلهية، ولذلك رفض إطلاق هذا المصطلح على البنى الرياضية التي يمكن للبشر فهمها. ^{[ 7 ]} قليل من الكتاب المعاصرين يشاركونه هذه المخاوف؛ ومن المتعارف عليه الآن الإشارة إلى الأعداد الأقدمية والترتيبية المتسامية على أنها أعداد لانهائية . ومع ذلك، لا يزال مصطلح "متسامي" مستخدمًا.

وقد قام واكلاف سيربينسكي بعمل بارز في مجال الأعداد المتسامية ، والذي تم وصفه في كتابه الصادر عام 1928 بعنوان Leçons sur les nombres transfinis ، والذي تم توسيعه بشكل كبير ليشمل الأعداد الأصلية والترتيبية في عام 1958، ^{[ 8 ]} مع طبعة ثانية منقحة قليلاً في عام 1965. ^{[ 9 ]} .

يمكن استخدام أي عدد طبيعي محدود بطريقتين على الأقل: كعدد ترتيبي وكعدد أصلي. تحدد الأعداد الأصلية حجم المجموعات (مثل: كيس من خمس كرات زجاجية)، بينما تحدد الأعداد الترتيبية ترتيب عنصر داخل مجموعة مرتبة ^{[ 10 ]} (مثل: " الرجل الخامس من اليسار" أو " اليوم السابع والعشرون من يناير"). بالنسبة للأعداد المحدودة، يكون هذان المفهومان متناظرين تناظرًا تامًا : خمسة ⇔ خامس، ولكن عند توسيعهما ليشمل الأعداد المتسامية، لا يعود المفهومان متناظرين تناظرًا تامًا. يُستخدم العدد الأصلي المتسامي لوصف حجم مجموعة كبيرة جدًا، ^{[ 2 ]} بينما يُستخدم العدد الترتيبي المتسامي لوصف الموقع داخل مجموعة كبيرة جدًا مرتبة. ^{[ 10 ]} من أبرز الأعداد الترتيبية والأصلية:

• ${\displaystyle \omega }$( أوميغا ): أصغر عدد ترتيبي متجاوز. وهو أيضاً نوع ترتيب الأعداد الطبيعية في ترتيبها الخطي المعتاد.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$( ألف-صفر ): أول عدد أصلي متجاوز. وهو أيضًا عدد عناصر الأعداد الطبيعية. إذا تحققت بديهية الاختيار ، فإن العدد الأصلي الأعلى التالي هو ألف-واحد .${\displaystyle \aleph _{1}.}$وإلا، فقد توجد أعداد أصلية أخرى لا تُقارن بألف-واحد وأكبر من ألف-صفر. على أي حال، لا توجد أعداد أصلية بين ألف-صفر وألف-واحد.

فرضية الاستمرارية هي الافتراض القائل بأنه لا توجد أعداد أصلية وسيطة بين${\displaystyle \aleph _{0}}$وعدد عناصر المتصل (عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية ): ^{[ 2 ]} أو بصورة مكافئة أن${\displaystyle \aleph _{1}}$يمثل عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية. في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات ، لا يمكن إثبات فرضية الاستمرارية ولا نفيها.

يستخدم بعض المؤلفين، بمن فيهم ب. سوبس وج. روبين، مصطلح " العدد الكاردينالي المتسامي " للإشارة إلى عدد عناصر مجموعة ديديكيند-اللانهائية في سياقات قد لا يكون فيها هذا المصطلح مكافئًا لمصطلح "العدد الكاردينالي اللانهائي"؛ أي في سياقات لا يُفترض فيها صحة بديهية الاختيار القابل للعد أو لا يُعرف أنها صحيحة. وبناءً على هذا التعريف، فإن ما يلي متكافئ:

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$هو عدد أصلي متسامي. أي أن هناك مجموعة ديديكيند غير منتهية${\displaystyle A}$بحيث يكون عدد عناصر${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• هناك عدد أساسي${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$بحيث${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

على الرغم من أن الأعداد الترتيبية والأعداد الأصلية المتسامية تعمم فقط الأعداد الطبيعية، فإن أنظمة الأعداد الأخرى، بما في ذلك الأعداد الفائقة الحقيقية والأعداد السريالية ، توفر تعميمات للأعداد الحقيقية . ^{[ 11 ]}

في نظرية كانتور للأعداد الترتيبية، يجب أن يكون لكل عدد صحيح عددٌ لاحق. ^{[ 12 ]} يُسمى العدد الصحيح التالي بعد جميع الأعداد المنتظمة، أي أول عدد صحيح لانهائي،${\displaystyle \omega }$في هذا السياق،${\displaystyle \omega +1}$أكبر من${\displaystyle \omega }$، و${\displaystyle \omega \cdot 2}$،${\displaystyle \omega ^{2}}$و${\displaystyle \omega ^{\omega }}$أكبر من ذلك. التعبيرات الحسابية التي تحتوي على${\displaystyle \omega }$يُحدد عددًا ترتيبيًا، ويمكن اعتباره مجموعة جميع الأعداد الصحيحة حتى ذلك العدد. عادةً ما يكون للعدد المُعطى عدة تعابير تُمثله، ومع ذلك، هناك شكل كانتور طبيعي فريد يُمثله، ^{[ 12 ]} وهو في الأساس سلسلة منتهية من الأرقام تُعطي معاملات قوى تنازلية لـ${\displaystyle \omega }$.

مع ذلك، لا يمكن تمثيل جميع الأعداد الصحيحة اللانهائية بصيغة كانتور الطبيعية، وأول عدد لا يمكن تمثيله يُعطى بالنهاية.${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$ويُطلق عليه اسم${\displaystyle \varepsilon _{0}}$[ ^{12 ]​}${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هو الحل الأصغر لـ${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$والحلول التالية${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$يمكن الحصول على أعداد ترتيبية أكبر، ويمكن اتباعها حتى الوصول إلى الحد الأقصى.${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$وهو الحل الأول لـ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$هذا يعني أنه لكي يتمكن المرء من تحديد جميع الأعداد الصحيحة المتسامية، يجب عليه ابتكار سلسلة لانهائية من الأسماء؛ لأنه إذا حدد عددًا صحيحًا واحدًا هو الأكبر، فسيكون قادرًا دائمًا على ذكر العدد الأكبر الذي يليه. ولكن كما أشار كانتور، فإن هذا لا يسمح إلا بالوصول إلى أدنى فئة من الأعداد المتسامية: تلك التي يتوافق حجم مجموعاتها مع العدد الأصلي.${\displaystyle \aleph _{0}}$.

• ليفي، عزريل، 2002 (1978) نظرية المجموعات الأساسية . منشورات دوفر. ISBN 0-486-42079-5
• أوكونور، جي جي وإي إف روبرتسون (1998) " جورج فرديناند لودفيج فيليب كانتور "، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات .
• روبين، جان إي. ، 1967. "نظرية المجموعات للرياضيين". سان فرانسيسكو: هولدن-داي. مبنية على نظرية مجموعات مورس-كيلي .
• رودي روكر ، 2005 (1982) اللانهاية والعقل . مطبعة جامعة برينستون. استكشافٌ في المقام الأول للآثار الفلسفية لفردوس كانتور . ISBN 978-0-691-00172-2.
• باتريك سوبس ، 1972 (1960) " نظرية المجموعات البديهية ". دوفر. ISBN 0-486-61630-4. متجذر في ZFC .