اختبار Z لنسبتين

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 66 صور
الموسوعة الحرة

اختبار Z لنسبتين (يُسمى أيضًا اختبار Z لنسبتين لعينتين ) هو اختبار فرضية إحصائية لتقييم ما إذا كانت مجموعتان تختلفان في نسبة نتيجة ثنائية ، بشكلٍ دال إحصائيًا يتجاوز الصدفة. على سبيل المثال، نسبة المرضى الذين يستجيبون إيجابيًا لعلاجٍ ما في تجربة سريرية مقارنةً بالمجموعة الضابطة، أو معدل العيوب في مراقبة الجودة لخطّي إنتاج، أو معدل النقر في اختبار A/B لتصميمين بديلين لصفحات الويب.

يُعدّ هذا الاختبار مناسبًا عندما تكون كل ملاحظة مستقلة عن الأخرى، ويمكن تصنيفها على أنها نجاح أو فشل (أي تجربة برنولي )، وتكون أحجام العينات كبيرة بما يكفي بحيث يُمكن تقريب توزيع المعاينة لكل نسبة عينة بدقة باستخدام نظرية النهاية المركزية . في ظل هذه الشروط، يُمكن تحويل الفرق الملحوظ في نسب العينات إلى إحصائية z معيارية (باستخدام خطأ معياري مُجمّع ) ومقارنتها بالتوزيع الطبيعي المعياري للحصول على قيم p أو تكوين فترات ثقة للفرق في النسب (مُشتقة بطريقة مختلفة قليلاً). يسمح هذا أيضًا بتحديد حجم العينة المطلوب لحسابات الحد الأدنى للتأثير القابل للكشف.

يرتبط هذا الاختبار باختبارات أخرى معروفة مثل اختبار مربع كاي لبيرسون ، واختبار فيشر الدقيق للعينات الصغيرة، واختبار ماكنيمار للبيانات الثنائية المزدوجة.

تعريف

اختبار Z لنسبتين، أو اختبار Z لنسبتين لعينتين، هو أسلوب إحصائي يُستخدم لتحديد ما إذا كان الفرق بين نسب مجموعتين، تتبعان توزيعًا ثنائيًا، ذا دلالة إحصائية. [ 1 ] يعتمد هذا الأسلوب على ملاحظة أن نسب العينة (بالنسبة لعينات كبيرة بما يكفي) تتبع التوزيع الطبيعي وفقًا لنظرية النهاية المركزية ، مما يسمح بإنشاء اختبار Z لاختبار الفرضيات ( اختبار سكور ) وتقدير فترة الثقة ( اختبار والد ). [ 2 ] يُستخدم هذا الاختبار في مجالات متنوعة لمقارنة معدلات النجاح، ومعدلات الاستجابة، أو النسب الأخرى بين مجموعات مختلفة.

اختبار الفرضية

اختبار z لمقارنة نسبتين هو اختبار فرضية إحصائية تكرارية يُستخدم لتقييم ما إذا كانت عينتان مستقلتان تمتلكان نسبًا مختلفة في مجتمع إحصائي لنتيجة ثنائية. في ظل شروط انتظام معتدلة (أحجام عينات كبيرة بما يكفي وأخذ عينات مستقل)، فإن نسب العينة (وهي متوسط ​​المشاهدات القادمة من توزيع برنولي ) تتوزع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا وفقًا لنظرية النهاية المركزية ، مما يسمح باستخدام إحصائية z المُنشأة من الفرق بين نسب العينة والخطأ المعياري المُقدَّر. [ 2 ]

يتضمن الاختبار فرضيتين متنافستين:

  • الفرضية الصفرية (H 0 ): النسب في المجموعتين متساوية، أيص1=ص2{\displaystyle p_{1}=p_{2}}.
  • الفرضية البديلة (H 1 ): النسب في المجموعتين غير متساوية، أيص1≠ص2{\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}( ذو ذيلين ) أوص1>ص2{\displaystyle p_{1}>p_{2}}/ص1<ص2{\displaystyle p_{1}<p_{2}}(ذيل واحد).

يتم حساب إحصائية z لمقارنة نسبتين باستخدام: [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 2 ] : 10.6.2z=ص^1-ص^2ص^(1-ص^)(1ن1+1ن2)،{\displaystyle z={\frac {{\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2}}{\sqrt {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}},}أينص^1{\displaystyle {\hat {p}}_{1}}وص^2{\displaystyle {\hat {p}}_{2}}تمثل هذه النسب نسبة العينة في العينة الأولى والثانية.ن1{\displaystyle n_{1}}ون2{\displaystyle n_{2}}يمثل حجم العينة الأولى والثانية على التوالي،ص^{\displaystyle {\hat {p}}}هي النسبة المجمعة، محسوبة على النحو التالي:ص^=x1+x2ن1+ن2{\displaystyle {\hat {p}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}، أينx1{\displaystyle x_{1}}وx2{\displaystyle x_{2}}تمثل هذه الأرقام عدد حالات النجاح في العينتين. يتم استخدام النسبة المجمعة لتقدير الاحتمالية المشتركة للنجاح في ظل الفرضية الصفرية، ويأخذ الخطأ المعياري في الاعتبار التباين بين العينتين.

يحدد اختبار z الدلالة الإحصائية من خلال مقارنة قيمة z المحسوبة بقيمة حرجة. على سبيل المثال، عند مستوى دلالة قدرهα=0.05{\displaystyle \alpha =0.05}نرفض الفرضية الصفرية إذا|z|>1.96{\displaystyle |z|>1.96}( لاختبار ذي طرفين ). أو، بدلاً من ذلك، عن طريق حساب قيمة الاحتمال ورفض الفرضية الصفرية إذاص<α{\displaystyle p<\alpha }.

فاصل الثقة

فترة الثقة للفرق بين نسبتين، بناءً على التعريفات المذكورة أعلاه، هي: [ 5 ] [ 2 ] : 10.6.3(ص^1-ص^2)±zα/2ص^1(1-ص^1)ن1+ص^2(1-ص^2)ن2،{\displaystyle ({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})\pm z_{\alpha /2}{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}_{1}(1-{\hat {p}}_{1})}{n_{1}}}+{\frac {{\hat {p}}_{2}(1-{\hat {p}}_{2})}{n_{2}}}}},}أينzα/2{\displaystyle z_{\alpha /2}}هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي القياسي (على سبيل المثال، 1.96 لمستوى ثقة 95٪).

توفر هذه الفترة نطاقًا من القيم المعقولة للفرق الحقيقي بين نسب السكان.

لاحظ كيف يختلف تقدير التباين بين اختبار الفرضيات وفترات الثقة. يستخدم الأول تباينًا مجمعًا (بناءً على الفرضية الصفرية)، بينما يتطلب الثاني تقدير التباين باستخدام كل عينة على حدة (ليسمح لفترة الثقة باستيعاب نطاق من الاختلافات في النسب). قد يؤدي هذا الاختلاف إلى نتائج مختلفة قليلاً عند استخدام فترة الثقة كبديل لطريقة اختبار الفرضيات.

تحديد حجم العينة والحد الأدنى للتأثير القابل للكشف

تحديد حجم العينة هو عملية اختيار عدد المشاهدات التي سيتم تضمينها في كل مجموعة لإجراء الاختبار الإحصائي. بالنسبة لاختبار Z لنسبتين، يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بتحديد الحد الأدنى للتأثير القابل للكشف.

لإيجاد حجم العينة المطلوب (مع الأخذ في الاعتبار حجم التأثير)|ص1-ص2|{\displaystyle |p_{1}-p_{2}|}، قوةπ=(1-β){\displaystyle \pi =(1-\beta )}، وخطأ من النوع الأولα{\displaystyle \alpha })، نُعرّف ذلكن1=κن2{\displaystyle n_{1}=\kappa n_{2}}، (عندما تكون قيمة κ = 1، يُفترض أن يكون حجم العينة متساوياً لكل مجموعة)، ثم: [ 6 ] [ 7 ]

ن2=(Zα/2+Zβ)2(ص1-ص2)2×(ص1(1-ص1)κ+ص2(1-ص2))2{\displaystyle n_{2}={\frac {(Z_{\alpha /2}+Z_{\beta })^{2}}{(p_{1}-p_{2})^{2}}}\times \left({\frac {p_{1}(1-p_{1})}{\kappa }}+p_{2}(1-p_{2})\right)^{2}}

الحد الأدنى للتأثير القابل للكشف أو MDE هو أصغر فرق بين نسبتين (ص1{\displaystyle p_{1}}وص2{\displaystyle p_{2}}) التي يمكن للاختبار الإحصائي اكتشافها عند مستوى خطأ من النوع الأول محدد (α{\displaystyle \alpha })، القوة الإحصائية (1-β{\displaystyle 1-\beta }) وأحجام العينات (ن1{\displaystyle n_{1}}ون2{\displaystyle n_{2}}). ويستخدم بشكل شائع في تصميم الدراسة لتحديد ما إذا كانت أحجام العينات تسمح بإجراء اختبار بحساسية كافية للكشف عن اختلافات ذات مغزى.

الحد الأدنى للخطأ عند استخدام صيغة اختبار z (ثنائي الجانب) لمقارنة نسبتين، مع تضمين القيم الحرجة لـα{\displaystyle \alpha }و1-β{\displaystyle 1-\beta }، والأخطاء المعيارية للنسب: [ 8 ] [ 9 ]MDE=|ص1-ص2|=z1-α/2ص0(1-ص0)(1ن1+1ن2)+z1-βص1(1-ص1)ن1+ص2(1-ص2)ن2،{\displaystyle {\text{MDE}}=|p_{1}-p_{2}|=z_{1-\alpha /2}{\sqrt {p_{0}(1-p_{0})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}+z_{1-\beta }{\sqrt {{\frac {p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}}+{\frac {p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}}},}أينz1-α/2{\displaystyle z_{1-\alpha /2}}قيمة حرجة لمستوى الدلالة،z1-β{\displaystyle z_{1-\beta }}يمثل هذا المقياس الكمية للقدرة المطلوبة، وص0=ص1=ص2{\displaystyle p_{0}=p_{1}=p_{2}}وذلك عند افتراض صحة الفرضية الصفرية.

يعتمد الحد الأدنى للتأثير على أحجام العينات والنسب الأساسية (ص1،ص2{\displaystyle p_{1},p_{2}}(ومعاني الاختبار). عندما تكون النسب الأساسية غير معروفة، يجب افتراضها أو تقديرها تقريبًا من خلال دراسة صغيرة. يؤدي استخدام عينات أكبر أو متطلبات قوة إحصائية أقل إلى تقليل الحد الأدنى للفرق المهم، مما يجعل الاختبار أكثر حساسية للاختلافات الصغيرة. يمكن للباحثين استخدام الحد الأدنى للفرق المهم لتقييم جدوى اكتشاف اختلافات ذات دلالة قبل إجراء الدراسة.

[دليل]

الحد الأدنى للتأثير القابل للكشف (MDE) هو أصغر فرق، ويرمز له بـΔ=|ص1-ص2|{\displaystyle \Delta =|p_{1}-p_{2}|}، الذي يستوفي معيارين أساسيين في اختبار الفرضيات:

  1. الفرضية الصفرية (ح0:ص1=ص2{\displaystyle H_{0}:p_{1}=p_{2}}يتم رفضها عند مستوى الدلالة المحدد (α{\displaystyle \alpha }).
  2. القوة الإحصائية (1-β{\displaystyle 1-\beta }يتحقق ذلك في ظل الفرضية البديلة (حأ:ص1≠ص2{\displaystyle H_{a}:p_{1}\neq p_{2}}).

بافتراض أن التوزيع طبيعي في ظل الفرضية الصفرية والفرضية البديلة، فإنه لكي يتحقق المعياران، يجب أن تكون المسافة بين|ص1-ص2|{\displaystyle |p_{1}-p_{2}|}سيكون ذلك بحيث تكون القيمة الحرجة لرفض الفرضية الصفرية (Xشديد الأهمية{\displaystyle X_{\text{critical}}}) يقع بالضبط في الموقع الذي تكون فيه احتمالية تجاوز هذه القيمة، في ظل الفرضية الصفرية، (α{\displaystyle \alpha })، وكذلك أن احتمال تجاوز هذه القيمة، في ظل البديل، هو1-β{\displaystyle 1-\beta }.

يحدد المعيار الأول القيمة الحرجة اللازمة لرفض الفرضية الصفرية. ويحدد المعيار الثاني مدى بُعد التوزيع البديل عنXشديد الأهمية{\displaystyle X_{\text{critical}}}لضمان أن يكون احتمال تجاوزها في ظل الفرضية البديلة على الأقل1-β{\displaystyle 1-\beta }[ 10 ] [ 11 ]​

الشرط الأول: الرفضح0{\displaystyle H_{0}}

في ظل الفرضية الصفرية، تعتمد إحصائية الاختبار على الخطأ المعياري المجمع (جنوب شرقباطل{\displaystyle {\text{SE}}_{\text{null}}}): Zامتحان=|ص1-ص2|جنوب شرقباطل،أين جنوب شرقباطل=ص0(1-ص0)(1ن1+1ن2).{\displaystyle Z_{\text{test}}={\frac {|p_{1}-p_{2}|}{{\text{SE}}_{\text{null}}}},\quad {\text{where }}{\text{SE}}_{\text{null}}={\sqrt {p_{0}(1-p_{0})\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}}.}

ص0{\displaystyle p_{0}}قد يتم تقديرها (كما هو موضح أعلاه).

رفضح0{\displaystyle H_{0}}، يجب أن يتجاوز الفرق الملحوظ العتبة الحرجة (Zشديد الأهمية=zα/2{\displaystyle Z_{\text{critical}}=z_{\alpha /2}}) بعد نفخها بشكل صحيح باتجاه الجنوب الشرقي: |ص1-ص2|≥Xجرأناتأناجأل=zα/2⋅جنوب شرقباطل{\displaystyle |p_{1}-p_{2}|\geq X_{critical}=z_{\alpha /2}\cdot {\text{SE}}_{\text{null}}}

إذا تم تعريف الحد الأدنى للاضطراب فقط على أنهمدهـ=zα/2⋅جنوب شرقباطل{\displaystyle MDE=z_{\alpha /2}\cdot {\text{SE}}_{\text{null}}}ستكون القوة الإحصائية 50% فقط لأن التوزيع البديل متماثل حول العتبة. ولتحقيق مستوى قوة أعلى، يلزم إضافة عنصر آخر في حساب الحد الأدنى للتأثير.

الشرط الثاني: تحقيق السلطة1-β{\displaystyle 1-\beta }

في ظل الفرضية البديلة، يكون الخطأ المعياري (جنوب شرقبديل=ص1(1-ص1)ن1+ص2(1-ص2)ن2{\displaystyle {\text{SE}}_{\text{alt}}={\sqrt {{\frac {p_{1}(1-p_{1})}{n_{1}}}+{\frac {p_{2}(1-p_{2})}{n_{2}}}}}}وهذا يعني أنه إذا كان التوزيع البديل متمركزًا حول قيمة معينة (على سبيل المثال،Xشديد الأهمية{\displaystyle X_{\text{critical}}}ثم الحد الأدنى|ص1-ص2|{\displaystyle |p_{1}-p_{2}|}يجب أن يكون أكبر منzα/2⋅جنوب شرقباطل{\displaystyle z_{\alpha /2}\cdot {\text{SE}}_{\text{null}}}لضمان أن يكون احتمال اكتشاف الفرق في ظل الفرضية البديلة على الأقل1-β{\displaystyle 1-\beta }.

شروط الجمع

لتحقيق كلا الشرطين، يتضمن إجمالي الفرق القابل للكشف مكونات من كل من التوزيع الصفري والتوزيع البديل. ويُعرَّف الفرق القابل للكشف على النحو التالي: MDE=z1-α/2⋅جنوب شرقباطل+z1-β⋅جنوب شرقبديل.{\displaystyle {\text{MDE}}=z_{1-\alpha /2}\cdot {\text{SE}}_{\text{null}}+z_{1-\beta }\cdot {\text{SE}}_{\text{alt}}.}

من خلال جمع العتبات الحرجة من الفرضية الصفرية وإضافة الكمية المناسبة من التوزيعات البديلة إليها، يضمن اختبار MDE أن الاختبار يفي بالمتطلبات المزدوجة المتمثلة في رفضح0{\displaystyle H_{0}}عند مستوى الدلالةα{\displaystyle \alpha }وتحقيق قوة إحصائية لا تقل عن1-β{\displaystyle 1-\beta }.

الافتراضات والشروط

لضمان صحة النتائج، يجب استيفاء الافتراضات التالية:

  1. العينات العشوائية المستقلة: يجب سحب العينات بشكل مستقل من المجتمعات محل الاهتمام.
  2. أحجام العينات الكبيرة: عادةً،ن1+ن2{\displaystyle n_{1}+n_{2}}ينبغي أن يتجاوز 20. [ 12 ] : 48
  3. شرط النجاح أو الفشل: [ 13 ] [ 2 ] : 10.6.1
    1. ن1ص^1>10{\displaystyle n_{1}{\hat {p}}_{1}>10}ون1(1-ص^1)>10{\displaystyle n_{1}(1-{\hat {p}}_{1})>10}
    2. ن2ص^2>10{\displaystyle n_{2}{\hat {p}}_{2}>10}ون2(1-ص^2)>10{\displaystyle n_{2}(1-{\hat {p}}_{2})>10}

يكون اختبار z أكثر موثوقية عندما تكون أحجام العينات كبيرة، ويتم استيفاء جميع الافتراضات.

العلاقة بالأساليب الإحصائية الأخرى

يُعطي استخدام اختبار z لاختبار الفرضيات ( اختبار النتيجة ) نفس نتائج اختبار مربع كاي لبيرسون لجدول توافق ثنائي الأبعاد . [ 14 ] : 216-217 [ 15 ] : 875. يُعد اختبار فيشر الدقيق أكثر ملاءمةً عندما تكون أحجام العينات صغيرة.

تمت دراسة معالجة جداول التوافق 2×2 في وقت مبكر من القرن التاسع عشر، [ 16 ] مع مزيد من العمل خلال القرن العشرين. [ 17 ]

لاحظ ما يلي:

  • عندما يكون عدد خلية واحدة أو أكثر صغيرًا (على سبيل المثال أقل من 5 [ 12 ] : 48 )، يفضل استخدام الاختبارات الدقيقة (مثل اختبار فيشر الدقيق ) أو فترات الثقة الدقيقة.
  • بالنسبة للبيانات الثنائية المزدوجة أو المتطابقة، استخدم اختبار ماكنيمار بدلاً من اختبار z لعينتين.  
  • يُعدّ الاختيار بين التباين المجمع وغير المجمع أمرًا مهمًا: فالتباين المجمع مناسب لاختبار فرضيات المساواة (ح0:ص1=ص2{\displaystyle H_{0}:p_{1}=p_{2}})، بينما يتم استخدام التباين غير المجمع لفترات الثقة.  
  • يمكن أن تؤدي الاختبارات المتعددة ، وتأثيرات الاختيار، وأخذ العينات غير العشوائية إلى إبطال قيم p وفترات الثقة؛ يجب معالجة هذه المشكلات التصميمية في أساليب الدراسة.

في سياق الاستدلال البايزي ، يمكن نمذجة النسب باستخدام توزيع بيتا . ويُجري اختبار z لنسبتين استدلالاً مماثلاً باستخدام الفرق بين توزيعي بيتا. [ 18 ]

طريقة نيوكومب

قد تعاني فترة الثقة التقاربية القياسية (فترة والد) للفرق بين النسب من احتمالات تغطية ضعيفة ، خاصةً عندما تكون أحجام العينات صغيرة أو تكون النسب قريبة من 0 أو 1. بالإضافة إلى ذلك، قد تُنتج طريقة والد أحيانًا حدودًا "متجاوزة" تمتد إلى ما وراء النطاق ذي الدلالة [−1، 1]. [ 19 ] ولمعالجة هذه المشكلة، اقترح روبرت ج. نيوكومب طريقة بديلة عالية المتانة تعتمد على فترة ويلسون .

تحسب طريقة نيوكومب فترة الثقة للفرقص1-ص2{\displaystyle p_{1}-p_{2}}عن طريق حساب فترات الدرجات الفردية هذه لكل نسبة عينة على حدة. لنفترض(ل1،u1){\displaystyle (l_{1},u_{1})}لنفترض أن الحدين الأدنى والأعلى لـص1{\displaystyle p_{1}}، و(ل2،u2){\displaystyle (l_{2},u_{2})}لنفترض أن الحدين الأدنى والأعلى لـص2{\displaystyle p_{2}}حدود الفترة لنسبة عينة معينةص^{\displaystyle {\hat {p}}}مع حجم العينةن{\displaystyle n}يتم حسابها على النحو التالي: ص^+z22ن±zص^(1-ص^)ن+z24ن21+z2ن{\displaystyle {\frac {{\hat {p}}+{\frac {z^{2}}{2n}}\pm z{\sqrt {{\frac {{\hat {p}}(1-{\hat {p}})}{n}}+{\frac {z^{2}}{4n^{2}}}}}}{1+{\frac {z^{2}}{n}}}}} أينz{\displaystyle z}هي القيمة الحرجة من التوزيع الطبيعي القياسي (على سبيل المثال، 1.96 لمستوى ثقة 95٪).

بمجرد حساب الحدود الفردية، يكون الحد الأدنىل{\displaystyle L}والحد الأعلىيو{\displaystyle U}يتم حساب الفرق بين النسبتين على النحو التالي: [ 19 ]ل=(ص^1-ص^2)-(ص^1-ل1)2+(u2-ص^2)2{\displaystyle L=({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})-{\sqrt {({\hat {p}}_{1}-l_{1})^{2}+(u_{2}-{\hat {p}}_{2})^{2}}}}يو=(ص^1-ص^2)+(u1-ص^1)2+(ص^2-ل2)2{\displaystyle U=({\hat {p}}_{1}-{\hat {p}}_{2})+{\sqrt {(u_{1}-{\hat {p}}_{1})^{2}+({\hat {p}}_{2}-l_{2})^{2}}}}

يُوصى بهذه الطريقة في كثير من الأحيان بدلاً من طريقة والد التقليدية لأن الفترة الناتجة عنها محصورة بدقة بين -1 و1، وتتوافق بشكل أدق مع مستوى الثقة الاسمي دون الحاجة إلى تصحيح الاستمرارية . [ 19 ] [ 20 ]

مثال

لنفترض أن المجموعة 1 حققت 120 نجاحاً من أصل 1000 محاولة (ص^1=0.12{\displaystyle {\hat {p}}_{1}=0.12}) وحققت المجموعة الثانية 150 نجاحاً من أصل 1000 تجربة (ص^2=0.15{\displaystyle {\hat {p}}_{2}=0.15}النسبة المجمعة هيص^=(120+150)/(1000+1000)=0.135{\displaystyle {\hat {p}}=(120+150)/(1000+1000)=0.135}الخطأ المعياري المجمع هوجنوب شرقمجمع=0.135×0.865×(11000+11000)≈0.01529.{\displaystyle {\text{SE}}_{\text{pooled}}={\sqrt {0.135\times 0.865\times \left({\dfrac {1}{1000}}+{\dfrac {1}{1000}}\right)}}\approx 0.01529.}

إحصائية z هيz=0.12-0.150.01529≈-1.96،{\displaystyle z={\dfrac {0.12-0.15}{0.01529}}\approx -1.96,}مما يعطي قيمة احتمالية ثنائية الجانب تبلغ حوالي 0.0497 (أقل بقليل من 0.05). وتكون فترة الثقة التقريبية بنسبة 95% للفرق باستخدام الخطأ المعياري غير المجمع هي(0.12-0.15)±1.960.12×0.881000+0.15×0.851000≈(-0.0599، -0.0001).{\displaystyle (0.12-0.15)\pm 1.96{\sqrt {{\dfrac {0.12\times 0.88}{1000}}+{\dfrac {0.15\times 0.85}{1000}}}}\approx (-0.0599,\ -0.0001).}لأن فاصل الثقة 95٪ (بصعوبة بالغة) يستبعد الصفر وقيمة p ≈0.0497، فإن الفرق ذو دلالة إحصائية عند مستوى 5٪ وفقًا لمعايير العينة الكبيرة المعتادة (ولكنه على الحدود؛ يجب أن تأخذ الاستنتاجات في الاعتبار سياق الدراسة والاختبارات المتعددة إن وجدت).

تنفيذ البرمجيات

تتوفر تطبيقات لهذه الأداة في العديد من بيئات الإحصاء. انظر أدناه للاطلاع على تفاصيل التطبيق في بعض اللغات الشائعة. كما توجد تطبيقات أخرى لبرامج SPSS [ 21 ] وSAS [ 22 ] وMinitab [ 5 ] .

R

استخدمه prop.test()مع تعطيل تصحيح الاستمرارية:

prop.test ( x = c ( 120 , 150 ), n = c ( 1000 , 1000 ), correct = FALSE )

تتضمن المخرجات نتائج مكافئة لاختبار z: إحصائية مربع كاي، وقيمة p، وفترة الثقة:

 اختبار عينتين لتساوي النسب بدون تصحيح الاستمرارية البيانات: c(120, 150) من أصل c(1000, 1000) مربع كاي = 3.8536، درجة الحرية = 1، قيمة الاحتمال = 0.04964 الفرضية البديلة: ثنائية الجانب فترة الثقة بنسبة 95%: -5.992397e-02 -7.602882e-05 تقديرات العينة: الاقتراح 1 الاقتراح 2 0.12 0.15

بايثون

استخدم proportions_ztestمن statsmodels: [ 23 ]

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest z , p = proportions_ztest ([ 120 , 150 ], [ 1000 , 1000 ], 0 ) # لحساب فاصل الثقة: from statsmodels.stats.proportion import test_proportions_2indep

SQL

التنفيذ المباشر للصيغ المذكورة أعلاه، باستخدام لغة SQL بنكهة Presto (بالاعتماد على VALUES، [ 24 ] inverse_normal_cdf، [ 25 ] و normal_cdf [ 26 ] )

باستخدام بيانات الإدخال كـ ( تحديد * ، ( ( n_1 * p_1 + n_2 * p_2 ) / ( n_1 + n_2 ) ) كـ p_pooled من ( القيم ( 1000 ، 1000 ، 0.12 ، 0.15 ) ) كـ t ( n_1 ، n_2 ، p_1 ، p_2 ) ) ، والإحصائيات المحسوبة كـ ( تحديد n_1 ، n_2 ، p_1 ، p_2 ، p_2 - p_1 كـ p2_minus_p1 ، والجذر التربيعي لـ ( ( p_1 * ( 1 - p_1 ) / n_1 ) + ( p_2 * ( 1 - p_2 ) / n_2 ) ) كـ se_p2_minus_p1 ، والجذر التربيعي لـ ( p_pooled * ( 1 - p_pooled ) * ( 1.0 / n_1 + 1.0 / n_2 ) ) AS pooled_se , inverse_normal_cdf ( 0 , 1 , 0.975 ) AS z_975 -- لفاصل الثقة 95% (1.96 ) FROM input_data ) SELECT n_1 , n_2 , ROUND ( p_1 , 3 ) AS p_1 , ROUND ( p_2 , 3 ) AS p_2 , ROUND ( p2_minus_p1 , 3 ) AS p2_minus_p1 , ROUND ( se_p2_minus_p1 , 3 ) AS se_p2_minus_p1 , ROUND ( p2_minus_p1 - z_975 *se_p2_minus_p1 , 3 ) AS p2_minus_p1_ci_lower , ROUND ( p2_minus_p1 + z_975 * se_p2_minus_p1 , 3 ) AS p2_minus_p1_ci_upper , ROUND ( 2 * ( 1 - normal_cdf ( 0 , 1 , ABS ( p2_minus_p1 ) / pooled_se )), 3 ) AS p_value FROM stats_computed ;

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ اختبار الفرضية: الفرق بين النسب
  2. 1 2 3 4 5 سو، وان هوا (2024). "مقدمة في الإحصاء التطبيقي (10.6 الاستدلالات لنسبتين سكانيتين)" . كتب جامعة ماك إيوان المفتوحة.
  3. ↑ "§10.3 مقارنة نسبتين سكانيتين مستقلتين" . الإحصاء التمهيدي، الطبعة الثانية . أوبن ستاكس. 2023.
  4. ↑ غوثري، ويليام ف. (2012). "§7.3.3 كيف يمكننا تحديد ما إذا كانت عمليتان تنتجان نفس نسبة المنتجات المعيبة؟" . الدليل الإلكتروني للأساليب الإحصائية . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا/سيماتيك. doi : 10.18434/M32189 .
  5. 1 2 3 كيرنان، د. (2014). "4. استنتاجات حول اختلافات مجموعتين سكانيتين - القسم 4" . القياسات الحيوية للموارد الطبيعية . دار نشر ميلن (جامعة ولاية نيويورك في جينيسيو).
  6. ↑ كيم، هـ. ي. (مايو 2016). "ملاحظات إحصائية للباحثين السريريين: حساب حجم العينة 2. مقارنة نسبتين مستقلتين" . مجلة طب الأسنان الترميمي وعلاج جذور الأسنان . 41 ( 2): 154-156 . doi : 10.5395/rde.2016.41.2.154 . PMC 4868880. PMID 27200285 .  
  7. ↑ وانغ، هـ.؛ تشاو، س.-س. (2008). "حساب حجم العينة لمقارنة النسب". موسوعة وايلي للتجارب السريرية . ISBN 978-1-78034-239-9.
  8. ↑ COOLSerdash ( https://stats.stackexchange.com/users/21054/coolserdash )، حساب حجم العينة لنسبتين، الرابط (الإصدار: 2023-04-14): https://stats.stackexchange.com/q/612894
  9. ↑ تشاو، إس سي؛ شاو، جيه؛ وانغ، إتش؛ لوخنيجينا، واي (2018). حسابات حجم العينة في البحوث السريرية . إحصاءات سي آر سي الحيوية ( الطبعة الثالثة). مطبعة سي آر سي. ISBN  978-1-351-72712-9.
  10. ↑ حساب أحجام العينات لاختبارات A/B
  11. ↑ تقدير القوة، والحد الأدنى للتأثير القابل للكشف، وحجم المجموعة في اختبارات A/B (يحتوي على بعض الأشكال الجيدة لتوضيح المفاضلات)
  12. 1 2 فان فوريس، سي آر ويلسون؛ مورغان، بيتسي إل. (2007). "فهم القوة الإحصائية وقواعد عامة لتحديد أحجام العينات" (ملف PDF) . دروس في الأساليب الكمية لعلم النفس . 3 (2): 43-50 . doi : 10.20982/tqmp.03.2.p043 .
  13. ↑ ملاحظات المقرر الدراسي لمادة الإحصاء 200: الإحصاء الأساسي. 9.1 - نسبتان مستقلتان ، قسم الإحصاء بجامعة ولاية بنسلفانيا
  14. ↑ "فترات الثقة للفرق بين نسبتين" (ملف PDF) . برنامج PASS لحساب حجم العينة . NCSS.com.
  15. ↑ نيوكومب، آر جي (أبريل 1998). "تقدير الفترة للفرق بين النسب المستقلة: مقارنة بين إحدى عشرة طريقة". الإحصاء الطبي . 17 (8): 873-90 . doi : 10.1002/(sici)1097-0258(19980430)17:8 < 873::aid-sim779 > 3.0.co ; 2-i . PMID 9595617 . 
  16. ^ ستيجلر ، ستيفن م. (2002). “التاريخ المبكر المفقود لجداول الطوارئ” . حوليات كلية العلوم بتولوز: الرياضيات . 11 (4): 563-573 . دوى : 10.5802/afst.1039 (غير نشط في 15 أكتوبر 2025).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من أكتوبر 2025 ( رابط )
  17. ↑ هيتشكوك، ديفيد ب. (2009). "ييتس وجداول الطوارئ: بعد 75 عامًا" (ملف PDF) . المجلة الإلكترونية لتاريخ الاحتمالات والإحصاء.
  18. ↑ تشين، ي.، ولو، س. (2011). بعض الملاحظات حول "التوزيع الإحصائي لفرق نسبتين" لناداراجا وكوتز، الإحصاء في الطب 2007؛ 26 (18): 3518-3523. الإحصاء في الطب، 30(15)، 1913-1915.
  19. 1 2 3 نيوكومب، روبرت ج. (أبريل 1998). "تقدير الفترة للفرق بين النسب المستقلة: مقارنة بين إحدى عشرة طريقة". الإحصاء في الطب . 17 (8): 873-890 . doi : 10.1002/(sici)1097-0258(19980430)17:8 < 873::aid-sim779 > 3.0.co ; 2-i . PMID 9595617 . 
  20. ↑ فاجرلاند، مورتن دبليو؛ ليدرسن، ستان؛ لايك، بيتر (2015). "فترات الثقة الموصى بها لنسبتين ثنائيتين مستقلتين". الأساليب الإحصائية في البحوث الطبية . 24 (2): 224-254 . doi : 10.1177/0962280211415469 . PMID 21996567 . 
  21. ↑ اختبار Z لنسبتين مستقلتين - شرح سريع
  22. ↑ ملاحظة الاستخدام 22561: اختبار تساوي نسبتين أو أكثر من عينات مستقلة
  23. ↑ statsmodels.stats.proportion.proportions_ztest
  24. ↑ وثائق بريستو 0.295 - القيم
  25. ↑ الدوال والمؤثرات الرياضية - دوال الاحتمالات: دالة التوزيع التراكمي العكسي
  26. ↑ الدوال والمؤثرات الرياضية - دوال الاحتمال: دالة التوزيع التراكمي