اختبار والد

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 26 صور
الموسوعة الحرة

في الإحصاء ، يُقيّم اختبار والد (نسبةً إلى أبراهام والد ) القيود المفروضة على المعلمات الإحصائية بناءً على المسافة المرجحة بين التقدير غير المقيد وقيمته المفترضة في ظل الفرضية الصفرية ، حيث يُمثل الوزن دقة التقدير. [ 1 ] [ 2 ] وبشكلٍ بديهي، كلما زادت هذه المسافة المرجحة، قلّ احتمال صحة القيد. في حين أن توزيعات العينات المحدودة لاختبارات والد غير معروفة عمومًا، [ 3 ] : 138 إلا أنها تتبع توزيع χ² تقاربيًا في ظل الفرضية الصفرية، وهي حقيقة يمكن استخدامها لتحديد الدلالة الإحصائية . [ 4 ]

يُعد اختبار والد ، إلى جانب اختبار مُضاعِف لاغرانج واختبار نسبة الاحتمال ، أحد الأساليب الكلاسيكية الثلاثة لاختبار الفرضيات . ومن مزايا اختبار والد على الاختبارين الآخرين أنه لا يتطلب سوى تقدير النموذج غير المُقيَّد، مما يُخفِّف العبء الحسابي مقارنةً باختبار نسبة الاحتمال. مع ذلك، يتمثل عيبه الرئيسي في أنه (في العينات المحدودة) لا يكون ثابتًا عند تغيير تمثيل الفرضية الصفرية؛ بمعنى آخر، قد تؤدي التعبيرات الجبرية المُكافئة لتقييد المعلمات غير الخطي إلى قيم مختلفة لإحصائية الاختبار. [ 5 ] [ 6 ] ويعود ذلك إلى أن إحصائية والد مُشتقة من مُوسِّع تايلور ، [ 7 ] وتؤدي الطرق المختلفة لكتابة التعبيرات غير الخطية المُكافئة إلى اختلافات جوهرية في معاملات تايلور المُقابلة. [ ٨ ] ثمة خلل آخر، يُعرف بتأثير هاوك-دونر، [ ٩ ] قد يحدث في النماذج ذات الحدين عندما تكون المعلمة المقدرة (غير المقيدة) قريبة من حدود فضاء المعلمات - على سبيل المثال، احتمال مُلائم قريب جدًا من الصفر أو الواحد - مما يؤدي إلى أن اختبار والد لا يعود يتزايد بشكل رتيب في المسافة بين المعلمة غير المقيدة والمعلمة المقيدة. [ ١٠ ] [ ١١ ]

التفاصيل الرياضية

وفقًا لاختبار والد، فإن التقديرθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}تمت مقارنة القيمة التي تم التوصل إليها عند تعظيم قيمة دالة الاحتمال غير المقيدة بقيمة مفترضة.θ0{\displaystyle \theta _{0}}. وعلى وجه الخصوص، الفرق التربيعيθ^-θ0{\displaystyle {\hat {\theta }}-\theta _{0}}يتم ترجيحها بانحناء دالة الاحتمال اللوغاريتمي.

اختبار على معيار واحد

إذا كانت الفرضية تتضمن قيدًا واحدًا فقط على المعلمة، فإن إحصائية والد تأخذ الشكل التالي:

دبليو=(θ^-θ0)2متغير⁡(θ^){\displaystyle W={\frac {{({\widehat {\theta }}-\theta _{0})}^{2}}{\operatorname {var} ({\hat {\theta }})}}}

والذي يتبع، في ظل الفرضية الصفرية، توزيع χ² تقاربيًا بدرجة حرية واحدة. يمكن فهم الجذر التربيعي لإحصائية والد ذات القيد الواحد على أنه نسبة t (شبه) لا تتبع توزيع t فعليًا إلا في حالة خاصة هي الانحدار الخطي مع أخطاء موزعة توزيعًا طبيعيًا . [ 12 ] وبشكل عام، يتبع توزيع z تقاربيًا . [ 13 ]

دبليو=θ^-θ0انظر⁡(θ^){\displaystyle {\sqrt {W}}={\frac {{\widehat {\theta }}-\theta _{0}}{\operatorname {se} ({\hat {\theta }})}}}

أينانظر⁡(θ^){\displaystyle \operatorname {se} ({\widehat {\theta }})}يمثل الخطأ المعياري (SE) لتقدير الاحتمال الأقصى (MLE)، وهو الجذر التربيعي للتباين. توجد عدة طرق لتقدير مصفوفة التباين بشكل متسق ، مما يؤدي في العينات المحدودة إلى تقديرات بديلة للأخطاء المعيارية وإحصائيات الاختبار وقيم p المرتبطة بها . [ 3 ] : 129 مدى صحة الحصول على توزيع طبيعي تقاربي بعد تطبيق مقدر الاحتمال الأقصى (MLE) لـθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}يعتمد الانتقال إلى SE على نظرية سلوتسكي .

اختبار (اختبارات) على معايير متعددة

يمكن استخدام اختبار والد لاختبار فرضية واحدة على عدة معلمات، وكذلك لاختبار عدة فرضيات بشكل مشترك على معلمة واحدة أو عدة معلمات.θ^ن{\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}ليكن تقديرنا العيني لمعاملات P (أي،θ^ن{\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}}هوP×1{\displaystyle P\times 1}المتجه)، والذي من المفترض أن يتبع بشكل تقاربي توزيعًا طبيعيًا بمصفوفة تباين V ، ن(θ^ن-θ)→دشمال(0،V){\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta}}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)}يُعبَّر عن اختبار فرضيات Q على معلمات P باستخدام aسؤال×P{\displaystyle Q\times P}المصفوفة R : 

ح0:Rθ=ر{\displaystyle H_{0}:R\theta =r}
ح1:Rθ≠ر{\displaystyle H_{1}:R\theta \neq r}

توزيع إحصائية الاختبار تحت الفرضية الصفرية هو

(Rθ^ن-ر)′[R(V^ن/ن)R′]-1(Rθ^ن-ر)/سؤال→دF(سؤال،ن-P)→ن→∞دχسؤال2/سؤال،{\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,nP)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2}/Q,}

وهذا بدوره يعني

(Rθ^ن-ر)′[R(V^ن/ن)R′]-1(Rθ^ن-ر)→ن→∞دχسؤال2،{\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad {\xrightarrow[{n\rightarrow \infty }]{\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2},}

أينV^ن{\displaystyle {\hat {V}}_{n}}[ 14 ] هو مقدر لمصفوفة التغاير.

دليل

يفترضن(θ^ن-θ)→دشمال(0،V){\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta}}_{n}-\theta )\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,V)}ثم، وفقًا لنظرية سلوتسكي وخصائص التوزيع الطبيعي ، فإن الضرب في R له التوزيع التالي:

Rن(θ^ن-θ)=ن(Rθ^ن-ر)→دشمال(0،RVR′){\displaystyle R{\sqrt {n}}({\hat {\theta}}_{n}-\theta )={\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,N(0,RVR')}

مع الأخذ في الاعتبار أن الشكل التربيعي للتوزيع الطبيعي له توزيع كاي تربيع :

ن(Rθ^ن-ر)′[RVR′]-1ن(Rθ^ن-ر)→دχسؤال2{\displaystyle {\sqrt {n}}(R{\hat {\theta}}_{n}-r)'[RVR']^{-1}{\sqrt {n}}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\,\xrightarrow {\mathcal {D}} \,\chi _{Q}^{2}}

إعادة ترتيب n تعطي في النهاية:

(Rθ^ن-ر)′[R(V/ن)R′]-1(Rθ^ن-ر)→دχسؤال2{\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R(V/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad \chi _{Q}^{2}}

ماذا لو لم تكن مصفوفة التغاير معروفة مسبقًا، وكان لا بد من تقديرها من البيانات؟ إذا كان لدينا مُقدِّر متسقV^ن{\displaystyle {\hat {V}}_{n}} لV{\displaystyle V}بحيثV-1V^ن{\displaystyle V^{-1}{\hat {V}}_{n}}له محدد موزعχن-P2{\displaystyle \chi _{n-P}^{2}}وبناءً على استقلالية مقدر التغاير والمعادلة أعلاه، نحصل على:

(Rθ^ن-ر)′[R(V^ن/ن)R′]-1(Rθ^ن-ر)/سؤال→دF(سؤال،ن-P){\displaystyle (R{\hat {\theta }}_{n}-r)'[R({\hat {V}}_{n}/n)R']^{-1}(R{\hat {\theta }}_{n}-r)/Q\quad \xrightarrow {\mathcal {D}} \quad F(Q,n-P)}

الفرضية غير الخطية

في الصيغة القياسية، يُستخدم اختبار والد لاختبار الفرضيات الخطية التي يمكن تمثيلها بمصفوفة واحدة R. إذا رغبنا في اختبار فرضية غير خطية من الشكل التالي: 

ح0:ج(θ)=0{\displaystyle H_{0}:c(\theta )=0}
ح1:ج(θ)≠0{\displaystyle H_{1}:c(\theta )\neq 0}

تصبح إحصائية الاختبار كالتالي:

ج(θ^ن)′[ج′(θ^ن)(V^ن/ن)ج′(θ^ن)′]-1ج(θ^ن)→دχسؤال2{\displaystyle c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\left[c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\left({\hat {V}}_{n}/n\right)c'\left({\hat {\theta }}_{n}\right)'\right]^{-1}c\left({\hat {\theta }}_{n}\right)\quad {\xrightarrow {\mathcal {D}}}\quad \chi _{Q}^{2}}

أينج′(θ^ن){\displaystyle c'({\hat {\theta }}_{n})}يمثل هذا مشتق c المحسوب عند مقدر العينة. وقد تم الحصول على هذه النتيجة باستخدام طريقة دلتا ، التي تستخدم تقريبًا من الدرجة الأولى للتباين.

عدم الثبات عند إعادة تحديد المعلمات

إن استخدام تقريب للتباين ينطوي على عيب يتمثل في أن إحصائية والد ليست ثابتة عند تطبيق تحويل/إعادة تحديد معلمات غير خطية على الفرضية: إذ يمكن أن تعطي إجابات مختلفة لنفس السؤال، اعتمادًا على كيفية صياغة السؤال. [ 15 ] [ 5 ] على سبيل المثال، السؤال عما إذا كانت R  =  1 هو نفسه السؤال عما إذا كان log R = 0؛ لكن إحصائية والد لـ R = 1 ليست هي نفسها إحصائية والد لـ log R = 0 (لأنه لا توجد عمومًا علاقة مباشرة بين الأخطاء المعيارية لـ R و log R ، لذا يلزم تقريبها). [ 16 ]         

بدائل لاختبار والد

توجد عدة بدائل لاختبار والد، وهي اختبار نسبة الاحتمال واختبار مضاعف لاغرانج (المعروف أيضًا باختبار النتيجة). وقد أثبت روبرت ف. إنجل أن هذه الاختبارات الثلاثة، اختبار والد واختبار نسبة الاحتمال واختبار مضاعف لاغرانج، متكافئة تقاربياً . [ 17 ] مع ذلك، ورغم تكافؤها التقاربي، إلا أنها قد تختلف في العينات المحدودة اختلافًا كافيًا للوصول إلى استنتاجات مختلفة.

هناك عدة أسباب لتفضيل اختبار نسبة الاحتمال أو مضاعف لاغرانج على اختبار والد: [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]

  • عدم الثبات: كما ذُكر أعلاه، فإن اختبار والد ليس ثابتًا تحت إعادة التحديد، في حين أن اختبارات نسبة الاحتمال ستعطي نفس الإجابة تمامًا سواء عملنا مع R أو log R أو أي تحويل رتيب آخر لـ R. [ 5 ]  
  • والسبب الآخر هو أن اختبار والد يستخدم تقريبين (أننا نعرف الخطأ المعياري أو معلومات فيشر وتقدير الاحتمال الأقصى)، في حين أن اختبار نسبة الاحتمال يعتمد فقط على نسبة دوال الاحتمال في ظل الفرضية الصفرية والفرضية البديلة.
  • يتطلب اختبار والد تقديرًا باستخدام حجة التعظيم، وهو ما يتوافق مع النموذج "الكامل". في بعض الحالات، يكون النموذج أبسط في ظل الفرضية الصفرية، لذا قد يُفضّل استخدام اختبار النتيجة (المعروف أيضًا باختبار مُضاعِف لاغرانج)، والذي يتميز بإمكانية صياغته في الحالات التي يصعب فيها تقدير تباين عنصر التعظيم أو حساب التقدير وفقًا لمُقدِّر الاحتمال الأقصى؛ على سبيل المثال، يُعد اختبار كوكران-مانتل-هانزل اختبار نتيجة. [ 21 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ فارماير، لودفيج؛ كنيب، توماس؛ لانغ، ستيفان؛ ماركس، برايان (2013). الانحدار  : النماذج والأساليب والتطبيقات . برلين: سبرينغر. ص  663. ISBN 978-3-642-34332-2.
  2. ↑ وارد، مايكل د .؛ ألكويست، جون س. (2018). أقصى احتمال للعلوم الاجتماعية : استراتيجيات التحليل . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 36. ISBN   978-1-316-63682-4.
  3. 1 2 مارتن، فانس؛ هيرن، ستان؛ هاريس، ديفيد (2013). النمذجة الاقتصادية القياسية باستخدام السلاسل الزمنية: التحديد والتقدير والاختبار . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-13981-6.
  4. ↑ ديفيدسون، راسل؛ ماكينون، جيمس ج. (1993). "طريقة الاحتمال الأقصى : المفاهيم الأساسية والرموز". التقدير والاستدلال في الاقتصاد القياسي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 89. ISBN   0-19-506011-3.
  5. 1 2 3 غريغوري، آلان دبليو؛ فيال، مايكل آر. (1985). "صياغة اختبارات والد للقيود غير الخطية" . إيكونومتريكا . 53 (6): 1465-1468 . doi : 10.2307/1913221 . JSTOR 1913221. مؤرشف من الأصل في 21 يوليو 2018. تم الاسترجاع في 5 سبتمبر 2019 . 
  6. ↑ فيليبس، PCB ؛ بارك، جون واي. (1988). "حول صياغة اختبارات والد للقيود غير الخطية" (ملف PDF) . Econometrica . 56 (5): 1065–1083 . doi : 10.2307/1911359 . JSTOR 1911359 . 
  7. ↑ هاياشي، فوميو (2000). الاقتصاد القياسي . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. ص 489-491 . ISBN  1-4008-2383-8.،
  8. ↑ لافونتين، فرانسين؛ وايت، كينيث ج. (1986). "الحصول على أي إحصائية والد تريدها". رسائل اقتصادية . 21 (1): 35-40 . doi : 10.1016/0165-1765(86)90117-5 .
  9. ↑ هاوك، والتر دبليو. الابن؛ دونر، آلان (1977). "اختبار والد كما يُطبق على الفرضيات في تحليل اللوجيت". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 72 (360أ): 851-853 . doi : 10.1080/01621459.1977.10479969 .
  10. ↑ كينغ، ماكسويل ل.؛ غوه، كيم-لينغ (2002). "تحسينات على اختبار والد" . دليل الاقتصاد القياسي التطبيقي والاستدلال الإحصائي . نيويورك: مارسيل ديكر. ص 251-276 . ISBN  0-8247-0652-8.
  11. ↑ يي، توماس ويليام (2022). "حول تأثير هاوك-دونر في اختبارات والد: الكشف، ونقاط التحول، وتوصيف فضاء المعلمات". مجلة الجمعية الإحصائية الأمريكية . 117 (540): 1763-1774 . arXiv : 2001.08431 . doi : 10.1080/01621459.2021.1886936 .
  12. ↑ كاميرون، أ. كولين ؛ تريفيدي، برافين ك. (2005). الاقتصاد القياسي الجزئي : الأساليب والتطبيقات . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 137. ISBN   0-521-84805-9.
  13. ↑ ديفيدسون، راسل؛ ماكينون، جيمس ج. (1993). "طريقة الاحتمال الأقصى : المفاهيم الأساسية والرموز". التقدير والاستدلال في الاقتصاد القياسي . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 89. ISBN   0-19-506011-3.
  14. ↑ هاريل، فرانك إي. الابن (2001). "القسم 9.3.1". استراتيجيات نمذجة الانحدار . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0387952322.
  15. ↑ فيرز، توماس ر.؛ بينيشو، جاك؛ غيل، ميتشل هـ. (1996). "تذكير بقابلية إحصائية والد للخطأ". الإحصائي الأمريكي . 50 (3): 226-227 . doi : 10.1080/00031305.1996.10474384 .
  16. ↑ كريتشلي، فرانك؛ ماريوت، بول؛ سالمون، مارك (1996). "حول الهندسة التفاضلية لاختبار والد مع القيود غير الخطية". إيكونومتريكا . 64 (5): 1213-1222 . doi : 10.2307/2171963 . hdl : 1814/524 . JSTOR 2171963 . 
  17. ↑ إنجل، روبرت ف. (1983). "اختبارات والد، ونسبة الاحتمال، ومضاعف لاغرانج في الاقتصاد القياسي". في: إنتريليجاتور، إم دي؛ جريليشز، ز. (محرران). دليل الاقتصاد القياسي . المجلد الثاني. إلسيفير. الصفحات 796-801 . ISBN   978-0-444-86185-6.
  18. ↑ هاريل، فرانك إي. الابن (2001). "القسم 9.3.3". استراتيجيات نمذجة الانحدار . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0387952322.
  19. ↑ كوليت، ديفيد (1994). نمذجة بيانات البقاء على قيد الحياة في البحوث الطبية . لندن: تشابمان وهول. ISBN 0412448807.
  20. ↑ باويتان، يودي (2001). في كل الاحتمالات . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0198507658.
  21. ↑ أغريستي ، آلان (2002). تحليل البيانات الفئوية ( الطبعة الثانية). وايلي. ص 232. ISBN   0471360937.

للمزيد من القراءة