الجهد المتجهي

في حساب المتجهات ، يُعرف الجهد المتجهي بأنه حقل متجهي يكون التفافه حقلاً متجهياً معطى. وهذا مماثل للجهد القياسي ، وهو حقل قياسي يكون تدرجه حقلاً متجهياً معطى.

بصورة رسمية، بالنظر إلى حقل متجهي${\displaystyle \mathbf {v} }$الكمون الشعاعي هو${\displaystyle C^{2}}$حقل متجه${\displaystyle \mathbf {A} }$بحيث $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

إذا كان حقل متجه${\displaystyle \mathbf {v} }$يقبل جهدًا متجهًا${\displaystyle \mathbf {A} }$ثم من المساواة $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$ ( تباعد الدوران يساوي صفرًا) نحصل على $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$ مما يعني أن${\displaystyle \mathbf {v} }$يجب أن يكون حقل متجه لولبي .

يترك $${\displaystyle \mathbf {v}$$ ليكن \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3} حقل متجه لولبي قابل للتفاضل مرتين. افترض أن${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )}$ينخفض ​​على الأقل بنفس سرعة${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$ل${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$. يُعرِّف $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{\mathbf {s} }\times \mathbf {v} (\mathbf {s} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {s} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {s} }$$ أين${\displaystyle \nabla _{\mathbf {s} }\times }$يشير إلى التفاف بالنسبة للمتغير${\displaystyle \mathbf {s} }$. ثم${\displaystyle \mathbf {A} }$هو جهد متجه لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$. إنه، $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

يمكن حصر المجال التكاملي في أي منطقة متصلة ببساطة$أوميغا$. إنه،${\displaystyle \mathbf {A'} }$وهو أيضًا جهد متجه لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$، أين $${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{\mathbf {s} }\times \mathbf {v} (\mathbf {s} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {s} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {s} .}$$

إن تعميم هذه النظرية هو نظرية تفكيك هيلمهولتز ، التي تنص على أنه يمكن تفكيك أي حقل متجهي إلى مجموع حقل متجهي لولبي وحقل متجهي غير دوراني .

قياساً على قانون بيو-سافار ،${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )}$كما أنه مؤهل ليكون جهدًا متجهًا لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$، أين

$${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {s} )\times (\mathbf {x} -\mathbf {s} )}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {s} \right|^{3}}}d^{3}\mathbf {s} }$$

الاستبدال${\displaystyle \mathbf {j} }$( كثافة التيار ) لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$و${\displaystyle \mathbf {H} }$( المجال المغناطيسي ) لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$، مما ينتج عنه قانون بيو-سافار.

يترك$أوميغا$كن مجالًا نجميًا متمركزًا عند النقطة${\displaystyle \mathbf {p} }$، أين${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}}$بتطبيق ليمّة بوانكاريه للأشكال التفاضلية على الحقول المتجهة،${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )}$كما أنه جهد متجه لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$، أين

$${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s\left[(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times \mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1{-}s)\mathbf {p} )\right]ds}$$

إن الجهد المتجهي الذي يسمح به حقل لولبي ليس فريدًا. إذا${\displaystyle \mathbf {A} }$هو جهد متجه لـ${\displaystyle \mathbf {v} }$إذن كذلك $${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$ أين${\displaystyle f}$هي أي دالة قياسية قابلة للتفاضل باستمرار. وينتج هذا من حقيقة أن التفاف التدرج يساوي صفرًا.

يؤدي هذا عدم التفرد إلى درجة من الحرية في صياغة الديناميكا الكهربائية، أو حرية القياس، ويتطلب اختيار مقياس .

• النظرية الأساسية لحساب المتجهات
• الجهد المغناطيسي المتجهي
• حقل متجه لولبي
• الأشكال التفاضلية المغلقة والتامّة

• أساسيات الهندسة الكهرومغناطيسية بقلم ديفيد ك. تشينغ، أديسون-ويسلي، 1993.