وصفات فييتا

في الرياضيات ، تربط صيغ فييتا معاملات كثير الحدود بمجموع وجذور جذوره . وقد سُميت هذه الصيغ نسبةً إلى فرانسوا فييت (1540-1603)، والذي يُشار إليه عادةً بالصيغة اللاتينية لاسمه، "فرانسيسكوس فييتا".

أي متعددة حدود عامة من الدرجة n$${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}}$$ (حيث تكون المعاملات أعدادًا حقيقية أو مركبة _، و a _≠ 0 ) لها n جذرًا مركبًا (ليست بالضرورة مختلفة) _r₁ , r₂ , _... , rₙ وفقًا للنظرية الأساسية للجبر . تربط صيغ فيتا معاملات كثير الحدود بمجاميع مُوَقَّعة لحاصل ضرب الجذور _r₁ , _r₂ , ... , rₙ كما يلي _:

$${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{1}}{a_{0}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{2}}{a_{0}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots r_{n})=(-1)^{k}{\dfrac {a_{k}}{a_{0}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{n}}{a_{0}}},\end{cases}}}$$

*

أين${\displaystyle E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$هو ⁠${\displaystyle k}$متعددة الحدود المتناظرة الابتدائية رقم 1 في${\displaystyle n}$غير محدد ؛ أي $${\displaystyle E_{k}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)}$$ هو مجموع جميع نواتج ⁠${\displaystyle k}$⁠ ⁠${\displaystyle r_{i}}$بمؤشرات مختلفة.

بخاصة، $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}+r_{2}\cdots +r_{n},\\E_{n}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})&=r_{1}r_{2}\cdots r_{n},\end{aligned}}}$$ والتعبير المذكور أعلاه من الدرجة الثانية في${\displaystyle r_{i}}$يساوي​​${\displaystyle E_{2}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$⁠ .

كما ذُكر أعلاه، تظل صيغ فييتا صالحة عندما تنتمي معاملات متعددة الحدود إلى مجال تكاملي ، وتنتمي جذورها إلى حقل مغلق جبريًا . ولتعميم ذلك بشكل أكبر، من المفيد تقسيم العبارة إلى جزأين:

• كل متعددة الحدود$${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}}$$يمكن تحليل الأعداد من الدرجة n على مجال تكاملي R بشكل فريد، حتى رتبة العوامل، كما يلي:$${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$حيث​${\displaystyle r_{i}}$تنتمي إلى حقل مغلق جبريًا يحتويعلى R.
• إذا كان كثير الحدود من الدرجة n يتحلل إلى عوامل على حلقة تبديلية كما يلي:$${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$$ثم يكون لدى المرء$${\displaystyle a_{i}=(-1)^{i}a_{0}E_{i}^{(n)}(r_{1},\ldots ,r_{n})}$$لـ​${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$، حيث​${\displaystyle E_{i}^{(n)}}$هو​​${\displaystyle i}$متعددة الحدود المتناظرة الأولية رقم 1 ، أي مجموع جميع نواتج ⁠${\displaystyle i}$من​​${\displaystyle r_{k}}$بمؤشرات مختلفة.

تُعدّ صيغ فييتا مفيدةً في المجال التكاملي، لأنها تُوفّر علاقات بين الجذور دون الحاجة إلى حسابها. أما في الحلقات التي لا تُمثّل مجالًا تكامليًا، فيتطلّب الأمر بعض الحذر. على سبيل المثال، في حلقة الأعداد الصحيحة بتردد 8، تكون كثيرة الحدود التربيعية${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$للعدد أربعة جذور (1، 3، 5، و7) وله تحليلان مختلفان:$${\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x-7)=(x-3)(x-5)}$$مثل${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$، لا يمكن تطبيق صيغ فيتا مع الجذور 1 و 3 .

تطبيق صيغ فيتا على كثيرات الحدود التربيعية والتكعيبية :

الجذور${\displaystyle r_{1},r_{2}}$من كثير الحدود التربيعي${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$مُرضٍ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

يمكن استخدام المعادلة الأولى من هذه المعادلات لإيجاد الحد الأدنى (أو الحد الأقصى) لـ P ؛ انظر المعادلة التربيعية §  صيغ فييتا .

الجذور${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$من كثير الحدود التكعيبي${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$مُرضٍ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

يمكن إثبات صيغ فيتا من خلال النظر في المساواة $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$ (وهذا صحيح لأن${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$(جميعها جذور هذه المعادلة متعددة الحدود)، بتوسيع نواتج الضرب في الطرف الأيمن، ومساواة معاملات كل قوة من قوى${\displaystyle x}$بين طرفي المعادلة.

بصورة رسمية، إذا قام المرء بالتوسيع${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$وأعد تجميع المصطلحات حسب درجتها في${\displaystyle x}$، يحصل المرء

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}x^{k}\left(\sum _{\stackrel {(\forall i)\;b_{i}\in \{0,1\}}{b_{1}+\cdots +b_{n}=n-k}}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}\right),}$

حيث يكون المجموع الداخلي هو بالضبط${\displaystyle k}$الدالة المتناظرة الأولية رقم 1

كمثال على ذلك، ضع في اعتبارك المعادلة التربيعية $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

مقارنة القوى المتطابقة لـ${\displaystyle x}$، نجد${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$،${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$و${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$والتي يمكننا من خلالها على سبيل المثال تحديد${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$و${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$وهي صيغ فييتا لـ${\displaystyle n=2}$.

سُميت هذه الصيغ نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت ، الذي عاش في القرن السادس عشر، والذي اشتقها لحالة الجذور الموجبة. مع ذلك، كانت طرق فييت وطرق عالم الرياضيات الإسلامي شرف الدين الطوسي، الذي عاش في القرن الثاني عشر ، متقاربة جدًا. ^{[ 1 ]} من المرجح أن التطورات الجبرية التي حققها علماء رياضيات مسلمون آخرون، مثل عمر الخيام والطوسي والكاشي، قد أثرت في علماء الجبر في القرن السادس عشر، وكان فييت أبرزهم. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

بحسب رأي عالم الرياضيات البريطاني تشارلز هاتون من القرن الثامن عشر ، كما نقل عنه فانكهاوزر، ^{[ 4 ]} فإن المبدأ العام (غير المقتصر على الجذور الحقيقية الموجبة) قد تم فهمه لأول مرة من قبل عالم الرياضيات الفرنسي ألبرت جيرارد من القرن السابع عشر :

كان جيرارد أول من فهم المبدأ العام لتكوين معاملات القوى من مجموع الجذور وحاصل ضربها. وكان أول من اكتشف قواعد جمع قوى جذور أي معادلة.

• المحتوى (الجبر)
• قاعدة ديكارت للإشارات
• متطابقات نيوتن
• نظرية جاوس-لوكاس
• خصائص جذور كثيرات الحدود
• نظرية الجذر النسبي
• كثير الحدود المتناظر وكثير الحدود المتناظر الابتدائي

• "نظرية فييت" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• فونكهاوزر، إتش. غراي (1930)، "عرض موجز لتاريخ الدوال المتناظرة لجذور المعادلات"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 37 (7)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 357-365 ، doi : 10.2307/2299273 ، JSTOR 2299273 
• فينبرغ، إي بي (2003)، دورة في الجبر ، الجمعية الأمريكية للرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند، رقم ISBN 0-8218-3413-4
• ديوكيتش، دوسان؛ وآخرون  (2006)، مجموعة مسائل الأولمبياد الدولي للرياضيات: مجموعة من المسائل المقترحة للأولمبياد الدولي للرياضيات، 1959-2004 ، سبرينغر، نيويورك، نيويورك، ISBN 0-387-24299-6