مجموعة موجية أمامية

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في التحليل الرياضي ، وتحديدًا في التحليل الميكرولوكالي ، تُحدد جبهة الموجة (المجموعة) WF( f ) خصائص التفردات لدالة معممة f ، ليس فقط في الفضاء ، بل أيضًا بالنسبة لتحويل فورييه الخاص بها عند كل نقطة. وقد صاغ مصطلح "جبهة الموجة" لارس هورماندر حوالي عام 1970.

مقدمة

بصورةٍ أكثر شيوعًا، لا يقتصر تعريف WF( f ) على تحديد موضع تفرد الدالة f (الموصوف أصلًا بنطاقها المتفرد )، بل يُبين أيضًا كيف ولماذا تكون متفردة، وذلك بتحديد اتجاه التفرد بدقة أكبر. يُعد هذا المفهوم مفيدًا في الأبعاد الثنائية على الأقل، إذ لا يوجد في البعد الواحد سوى اتجاهين ممكنين. أما المفهوم المُكمِّل لعدم تفرد الدالة في اتجاهٍ ما، فهو السلاسة الميكروية المحلية .

كمثال توضيحي، لنفترض دالة ƒ يتركز نطاقها الشاذ على منحنى أملس في المستوى الذي تظهر فيه الدالة انقطاعًا مفاجئًا. في الاتجاه المماس للمنحنى، تبقى الدالة ملساء. في المقابل، في الاتجاه العمودي على المنحنى، تظهر الدالة شاذة. لتحديد ما إذا كانت الدالة ملساء في اتجاه آخر v ، يمكن محاولة جعلها أكثر سلاسة عن طريق حساب المتوسط ​​في الاتجاهات العمودية على v . إذا كانت الدالة الناتجة ملساء، فإننا نعتبر ƒ ملساء في اتجاه v . وإلا، فإن v يقع ضمن مجموعة جبهة الموجة.

بصورة رسمية، في الفضاء الإقليدي ، تُعرَّف مجموعة جبهة الموجة للدالة ƒ بأنها متممة مجموعة جميع الأزواج ( x, 0 , v ) التي يوجد عندها دالة اختبار.ϕ∈جج∞{\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }}معϕ{\displaystyle \phi }( x0 )  ≠ 0 ومخروط  مفتوح Γ يحتوي على v بحيث يكون التقدير

|(ϕو)∧(ξ)|≤جشمال(1+|ξ|)-شمالللجميع  ξ∈Γ{\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|\leq C_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\mbox{لكل }}\ \xi \in \Gamma }

ينطبق هذا على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة N. هنا(ϕو)∧{\displaystyle (\phi f)^{\wedge }}يرمز إلى تحويل فورييه. لاحظ أن مجموعة جبهة الموجة مخروطية الشكل، بمعنى أنه إذا كان ( x , v )  ∈  Wf(ƒ)، فإن ( x , λv ) ∈  Wf  (ƒ) لجميع قيم λ  >  0. في المثال المذكور في الفقرة السابقة، تُعد مجموعة جبهة الموجة المتممة لصورة حزمة المماس للمنحنى داخل حزمة المماس للمستوى.

بما أن التعريف يتضمن قطعًا بواسطة دالة ذات دعم مضغوط، يمكن نقل مفهوم مجموعة جبهة الموجة إلى أي مشعب قابل للتفاضل X. في هذه الحالة الأكثر عمومية، تكون مجموعة جبهة الموجة مجموعة فرعية مخروطية مغلقة من حزمة الظل المرافق T * ( X )، نظرًا لأن المتغير ξ يتمركز بشكل طبيعي في متجه مرافق وليس متجهًا. تُعرَّف مجموعة جبهة الموجة بحيث يكون إسقاطها على X مساويًا للدعم المفرد للدالة.

تعريف

في الفضاء الإقليدي، تُعرَّف مجموعة جبهة الموجة لتوزيع ƒ على النحو التالي:

دبليوF(و)={(x،ξ)∈Rن×Rن|ξ∈Σx(و)}{\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}

أينΣx(و){\displaystyle \Sigma _{x}(f)}هي الليف المفرد للدالة ƒ عند x . يُعرَّف الليف المفرد بأنه مكمل جميع الاتجاهات.ξ{\displaystyle \xi }بحيث يكون تحويل فورييه للدالة f ، المتمركز عند x ، منتظمًا بدرجة كافية عند تقييده بمخروط مفتوح يحتوي علىξ{\displaystyle \xi }وبشكل أدق، يكون الاتجاه v مكملاً لـΣx(و){\displaystyle \Sigma _{x}(f)}إذا كانت هناك دالة سلسة ذات دعم مضغوطϕ{\displaystyle \phi }معϕ{\displaystyle \phi }( س )≠0{\displaystyle \not =0}ومخروط مفتوحΓ{\displaystyle \Gamma }يحتوي على v بحيث يكون التقدير التالي صحيحًا لكل عدد صحيح موجب N :

|(ϕو)∧(ξ)|<جشمال(1+|ξ|)-شمالوoر ألل ξ∈Γ.{\displaystyle |(\phi f)^{\wedge }(\xi )|<c_{N}(1+|\xi |)^{-N}\quad {\rm {for~all}}\ \xi \in \Gamma .}

بمجرد أن يصبح هذا التقدير صحيحًا لدالة قطع معينةϕ{\displaystyle \phi }عند x ، ينطبق ذلك أيضًا على جميع دوال القطع ذات الدعم الأصغر، وربما لمخروط مفتوح مختلف يحتوي على v .

على مشعب قابل للتفاضل M ، باستخدام الإحداثيات المحليةx،ξ{\displaystyle x,\xi }على حزمة الظل التمام ، يمكن تعريف مجموعة جبهة الموجة WF( f ) لتوزيع ƒ بالطريقة العامة التالية:

دبليوF(و)={(x،ξ)∈تي*(X)|ξ∈Σx(و)}{\displaystyle {\rm {WF}}(f)=\{(x,\xi )\in T^{*}(X)\mid \xi \in \Sigma _{x}(f)\}}

حيث الألياف المفردةΣx(و){\displaystyle \Sigma _{x}(f)}وهو مرة أخرى مكمل لجميع الاتجاهاتξ{\displaystyle \xi }بحيث يكون تحويل فورييه للدالة f ، المتمركز عند x ، منتظمًا بدرجة كافية عند تقييده في جوار مخروطي لـξ{\displaystyle \xi }إن مشكلة الانتظام محلية، لذا يمكن التحقق منها في نظام الإحداثيات المحلي باستخدام تحويل فورييه على متغيرات x . ويتحول تقدير الانتظام المطلوب جيدًا تحت التحويل التفاضلي ، وبالتالي فإن مفهوم الانتظام مستقل عن اختيار الإحداثيات المحلية.

التعميمات

يمكن تكييف مفهوم مجموعة جبهة الموجة لاستيعاب مفاهيم أخرى لانتظام الدالة. ويمكن التعبير عن التموضع هنا بالقول إن الدالة f مقطوعة بدالة قطع سلسة لا تنعدم عند x . (يمكن إجراء عملية التموضع بطريقة أكثر أناقة باستخدام الجراثيم ).

وبشكل أكثر تحديداً، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التالي:

ξ∉Σx(و)⟺ξ=0 أو ∃ϕ∈دx، ∃V∈Vξ:ϕو^|V∈يا(V){\displaystyle \xi \notin \Sigma _{x}(f)\iff \xi =0{\text{ or }}\exists \phi \in {\mathcal {D}}_{x},\ \exists V\in {\mathcal {V}}_{\xi }:{\widehat {\phi f}}|_{V}\in O(V)}

أين

  • دx{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x}}هي دوال سلسة ذات دعم مضغوط لا تتلاشى عند x ،
  • Vξ{\displaystyle {\mathcal {V}} _ {\xi }}هي أحياء مخروطية الشكل منξ{\displaystyle \xi }أي الجوارات V بحيثج⋅V⊂V{\displaystyle c\cdot V\subset V}للجميعج>0{\displaystyle c>0}،
  • u^|V{\displaystyle {\widehat {u}}|_{V}}يشير إلى تحويل فورييه للدالة u (المُعممة ذات الدعم المُدمج) ، والمُقيدة بـ V ،
  • يا:Ω→يا(Ω){\displaystyle O:\Omega \to O(\Omega )}هي حزمة مسبقة ثابتة من الدوال (أو التوزيعات) التي يفرض اختيارها الانتظام المطلوب لتحويل فورييه.

عادةً، يُشترط أن تُلبّي أجزاء من O شرطًا معينًا للنمو (أو التناقص) عند اللانهاية، على سبيل المثال بحيث(1+|ξ|)sv(ξ){\displaystyle (1+|\xi |)^{s}v(\xi )}تنتمي إلى فضاء L p ما . هذا التعريف منطقي، لأن تحويل فورييه يصبح أكثر انتظامًا (من حيث النمو عند اللانهاية) عندما يتم اقتطاع f بقطع سلس.ϕ{\displaystyle \phi }.

إن أصعب "مشكلة"، من وجهة نظر نظرية، هي إيجاد الحزمة O المناسبة التي تميز الدوال التي تنتمي إلى حزمة فرعية معينة E من الفضاء G للدوال المعممة.

مثال

إذا أخذنا G = D ′ فضاء توزيعات شوارتز وأردنا توصيف التوزيعات التي تكون محليةج∞{\displaystyle C^{\infty }}بالنسبة للدوال، يجب أن نأخذ بالنسبة لـ O (Ω) فضاءات الدوال الكلاسيكية المسماة O ′ M (Ω) في الأدبيات.

ثم إن الإسقاط على المكون الأول لمجموعة جبهة الموجة للتوزيع ليس إلا دعمه الفردي الكلاسيكي ، أي مكمل المجموعة التي يكون تقييده عليها دالة سلسة .

التطبيقات

تُعدّ مجموعة جبهة الموجة مفيدة، من بين أمور أخرى، عند دراسة انتشار النقاط الشاذة بواسطة المؤثرات التفاضلية الزائفة . وتُحدد نظرية انتشار النقاط الشاذة خصائص مجموعة جبهة الموجة.

انظر أيضاً

مراجع

  • لارس هورماندر ، مؤثرات التكامل الفورييه I ، أكتا ماث. 127 (1971)، ص  79-183.
  • هورماندر ، لارس (1990)، تحليل المعادلات التفاضلية الخطية الجزئية الأولى: نظرية التوزيع وتحليل فورييه ، Grundlehren der mathematischen Wissenschaften، المجلد.  256 (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، الصفحات من 251 إلى 279، ISBN  0-387-52345-6الفصل الثامن، التحليل الطيفي للحالات الشاذة