مشغل دالمبير

في النسبية الخاصة والكهرومغناطيسية ونظرية الموجات ، يُستخدم عامل دالمبير (المشار إليه بمربع) :${\displaystyle \Box }$يُعرف أيضًا باسم مؤثر دالامبير ، أو مؤثر الموجة ، أو مؤثر الصندوق ، أو أحيانًا مؤثر quabla ^{[ 1 ]} ( انظر رمز nabla ) ، وهو مؤثر لابلاس لفضاء مينكوفسكي . سُمّي هذا المؤثر نسبةً إلى عالم الرياضيات والفيزياء الفرنسي جان لو رون دالامبير .

في فضاء مينكوفسكي، في الإحداثيات القياسية ( t ، x ، y ، z ) ، يكون لها الشكل التالي

$\begin{aligned}\Box &=\partial ^{\mu }\partial _{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\\&={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\Delta ~~.\end{aligned}}}$

هنا${\displaystyle \nabla ^{2}:=\Delta }$يمثل η μν المقياس اللابلاسي ثلاثي الأبعاد ، و η ^μν هو مقياس مينكوفسكي العكسي .

${\displaystyle \eta _{00}=1}$،${\displaystyle \eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=-1}$،${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=0}$ل${\displaystyle \mu \neq \nu }$.

لاحظ أن مؤشرات الجمع μ و ν تتراوح من 0 إلى 3: انظر إلى تدوين أينشتاين .

(يستخدم بعض المؤلفين بدلاً من ذلك التوقيع المتري السالب (− + + +) ، مع${\displaystyle \eta _{00}=-1,\;\eta _{11}=\eta _{22}=\eta _{33}=1}$.)

تحافظ تحويلات لورنتز على ثبات مقياس مينكوفسكي ، لذا ينتج عن دالامبير كمية قياسية لورنتزية . وتبقى تعابير الإحداثيات المذكورة أعلاه صالحة للإحداثيات القياسية في كل إطار مرجعي قصوري.

توجد عدة رموز لتدوين دالامبير. وأكثرها شيوعًا هو رمز المربع.${\displaystyle \Box }$( يونيكود : U+2610 ☐ صندوق الاقتراع ) الذي تمثل جوانبه الأربعة الأبعاد الأربعة للزمكان ورمز المربع${\displaystyle \Box ^{2}}$مما يؤكد على الخاصية العددية من خلال الحد التربيعي (تمامًا مثل لابلاس ). وتماشيًا مع الترميز المثلثي للابلاس ، أحيانًا${\displaystyle \Delta _{M}}$يتم استخدامه.

هناك طريقة أخرى لكتابة معادلات دالمبير في الإحداثيات القياسية المسطحة وهي${\displaystyle \partial ^{2}}$. يتم استخدام هذا الترميز على نطاق واسع في نظرية الحقل الكمومي ، حيث يتم فهرسة المشتقات الجزئية عادةً، لذا فإن عدم وجود فهرس مع المشتق الجزئي المربع يشير إلى وجود دالامبيرتيان.

يُستخدم رمز المربع أحيانًا لتمثيل المشتق المتغير رباعي الأبعاد لـ Levi-Civita .${\displaystyle \nabla }$ثم يتم استخدامها لتمثيل المشتقات المكانية، ولكن هذا يعتمد على مخطط الإحداثيات .

تكون معادلة الموجة للاهتزازات الصغيرة على الشكل التالي

${\displaystyle \Box _{c}u\left(x,t\right)\equiv u_{tt}-c^{2}u_{xx}=0~,}$

حيث u ( x , t ) هي الإزاحة.

معادلة الموجة للمجال الكهرومغناطيسي في الفراغ هي

${\displaystyle \Box A^{\mu }=0}$

حيث A ^μ هو الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي في مقياس لورنز .

تأخذ معادلة كلاين -غوردون الشكل التالي:

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi =0~.}$

وظيفة غرين ،${\displaystyle G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$، لأن دالامبير يُعرَّف بالمعادلة

${\displaystyle \Box G\left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)=\delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$

أين${\displaystyle \delta \left({\tilde {x}}-{\tilde {x}}'\right)}$هي دالة ديراك دلتا متعددة الأبعاد و${\displaystyle {\tilde {x}}}$و${\displaystyle {\tilde {x}}'}$هما نقطتان في فضاء مينكوفسكي.

يتم تقديم حل خاص بواسطة دالة غرين المتأخرة التي تتوافق مع انتشار الإشارة للأمام فقط في الوقت ^{[ 2 ].}

${\displaystyle G\left({\vec {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi r}}\Theta (t)\delta \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}$

أين${\displaystyle \Theta }$هي دالة الخطوة هيفسايد .

• أربعة تدرجات
• صيغة دالمبير
• معادلة كلاين-غوردون
• التوصيل الحراري النسبي
• حساب ريتشي
• معادلة الموجة

• "مؤثر دالمبير" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• بوانكاريه، هنري (1906). ترجمة: حول ديناميكيات الإلكترون (يوليو)  - عبر ويكي مصدر .، طُبع في الأصل في Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo .
• وايسستين، إريك دبليو. "دالمبرتيان" . عالم الرياضيات .