التوصيل الحراري النسبي

يشير التوصيل الحراري النسبي إلى نمذجة التوصيل الحراري (وعمليات الانتشار المماثلة ) بطريقة تتوافق مع النسبية الخاصة . في النسبية الخاصة (والنسبية العامة )، يجب تعديل معادلة الحرارة المعتادة للتوصيل الحراري غير النسبي، لأنها تؤدي إلى انتشار الإشارة بسرعة تفوق سرعة الضوء. ^{[ 1 ] [ 2 ]} ولذلك، يشمل التوصيل الحراري النسبي مجموعة من نماذج انتشار الحرارة في الأوساط المتصلة (المواد الصلبة، والسوائل، والغازات) التي تتوافق مع السببية النسبية ، أي مبدأ أن التأثير يجب أن يكون ضمن مخروط الضوء المرتبط بسببه. كما يجب أن يكون أي نموذج نسبي معقول للتوصيل الحراري مستقرًا ، بمعنى أن فروق درجات الحرارة تنتشر أبطأ من الضوء وتتلاشى بمرور الوقت (ترتبط خاصية الاستقرار هذه ارتباطًا وثيقًا بالسببية النسبية ^{[ 3 ]} ).

يتم نمذجة التوصيل الحراري في سياق نيوتني بواسطة معادلة فورييه ، ^{[ 4 ]} وهي معادلة تفاضلية جزئية مكافئة من النوع التالي: $${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\alpha ~\nabla ^{2}\theta ,}$$ حيث θ هي درجة الحرارة ، ^{[ 5 ]} و t هو الزمن ، و α = k /( ρ c ) هي الانتشارية الحرارية ، و k هي الموصلية الحرارية ، و ρ هي الكثافة ، و c هي السعة الحرارية النوعية . مؤثر لابلاس ،${\textstyle \nabla ^{2}}$، ويُعرَّف في الإحداثيات الديكارتية على النحو التالي: $${\displaystyle \nabla ^{2}~=~{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}~+~{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

يمكن اشتقاق معادلة فورييه هذه عن طريق استبدال تقريب فورييه الخطي لمتجه تدفق الحرارة ، q ، كدالة لتدرج درجة الحرارة . $${\displaystyle \mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$$ في القانون الأول للديناميكا الحرارية$${\displaystyle \rho ~c~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~+~\nabla \cdot \mathbf {q} ~=~0,}$$ حيث يُعرَّف عامل الحذف ، ∇ ، في ثلاثة أبعاد على النحو التالي:$${\displaystyle \nabla ~=~\mathbf {i} ~{\frac {\partial }{\partial x}}~+~\mathbf {j} ~{\frac {\partial }{\partial y}}~+~\mathbf {k} ~{\frac {\partial }{\partial z}}.}$$

يمكن إثبات أن هذا التعريف لمتجه تدفق الحرارة يفي أيضًا بالقانون الثاني للديناميكا الحرارية ، ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{\theta }}\right)~+~\rho ~{\frac {\partial s}{\partial t}}~=~\sigma ,}$$ حيث s هي الإنتروبيا النوعية و σ هي إنتاج الإنتروبيا . هذا النموذج الرياضي لا يتوافق مع النسبية الخاصة: دالة غرين المرتبطة بمعادلة الحرارة (المعروفة أيضًا بنواة الحرارة ) لها نطاق يمتد خارج مخروط الضوء ، مما يؤدي إلى انتشار المعلومات بسرعة تفوق سرعة الضوء. على سبيل المثال، لنفترض وجود نبضة حرارية عند نقطة الأصل؛ فوفقًا لمعادلة فورييه، تُشعر بها (أي تتغير درجة الحرارة) في أي نقطة بعيدة، بشكل فوري. سرعة انتشار الحرارة أسرع من سرعة الضوء في الفراغ، وهو أمر غير مقبول ضمن إطار النسبية.

يُبين النموذج المكافئ لتوصيل الحرارة، الذي نوقش أعلاه، أن معادلة فورييه (وقانون فيك الأكثر عمومية للانتشار ) لا تتوافق مع نظرية النسبية ^{[ 7 ]} لسبب واحد على الأقل: فهي تسمح بسرعة انتشار لا نهائية لحقل الوسط المتصل (في هذه الحالة: الحرارة، أو تدرجات درجة الحرارة). وللتغلب على هذا التناقض، اقترح باحثون مثل كارلو كاتانيو ^{[ 2 ]} ، وفيرنوت ^{[ 8 ]} ، وتشيستر ^{[ 9 ]} ، وآخرون ^{[ 10 ]} ، تحويل معادلة فورييه من الشكل المكافئ إلى الشكل الزائدي ، حيث يكون حقل درجة الحرارة حينها${\displaystyle \theta }$تخضع لما يلي:$${\displaystyle {\frac {1}{C^{2}}}~{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}~+~{\frac {1}{\alpha }}~{\frac {\partial \theta }{\partial t}}~=~\nabla ^{2}\theta .}$$

في هذه المعادلة، يُطلق على C اسم سرعة الصوت الثاني (المرتبطة بالإثارات والجسيمات شبه الحقيقية ، مثل الفونونات ). تُعرف هذه المعادلة باسم معادلة "التوصيل الحراري الزائدي " (HHC). ^{[ 11 ]} رياضيًا، تُسمى المعادلة أعلاه "معادلة التلغراف"، لأنها تُكافئ شكليًا معادلات التلغراف ، والتي يُمكن اشتقاقها من معادلات ماكسويل للديناميكا الكهربائية.

لكي تظل معادلة HHC متوافقة مع القانون الأول للديناميكا الحرارية، من الضروري تعديل تعريف متجه تدفق الحرارة، q ، إلى $${\displaystyle \tau _{_{0}}~{\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial t}}~+~\mathbf {q} ~=~-k~\nabla \theta ,}$$ أين${\textstyle \tau _{_{0}}}$هو وقت للاسترخاء ، بحيث${\textstyle C^{2}~=~\alpha /\tau _{_{0}}.}$تُعرف هذه المعادلة لتدفق الحرارة غالبًا باسم "معادلة ماكسويل-كاتانيو". أهم ما يترتب على المعادلة القطعية هو أنه عند التحول من معادلة تفاضلية جزئية مكافئة ( مبددة ) إلى معادلة تفاضلية جزئية قطعية (تتضمن حدًا محافظًا ) ، يصبح من الممكن حدوث ظواهر مثل الرنين الحراري ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} وموجات الصدمة الحرارية ^{[ 15 ]} .