هوية ويتزنبوك

في الرياضيات ، وتحديدًا في الهندسة التفاضلية والفيزياء الرياضية ونظرية التمثيل ، تُعبّر متطابقة ويتزنبوك ، نسبةً إلى رولاند ويتزنبوك ، عن علاقة بين مؤثرين إهليلجيين من الرتبة الثانية على متشعب لهما نفس الرمز الرئيسي. عادةً ما تُطبّق صيغ ويتزنبوك على المؤثرات الذاتية المرافقة الثابتة تحت تأثير G بين حزم متجهة مرتبطة بحزمة G رئيسية ، على الرغم من صعوبة تحديد الشروط الدقيقة لوجود مثل هذه الصيغة. تُركّز هذه المقالة على ثلاثة أمثلة لمتطابقات ويتزنبوك: من الهندسة الريمانية ، وهندسة الدوران ، والتحليل العقدي .

في الهندسة الريمانية، يوجد مفهومان لمؤثر لابلاس على الأشكال التفاضلية فوق مشعب ريماني مضغوط موجه M. يستخدم التعريف الأول مؤثر التباعد δ المعرف بأنه المرافق الشكلي لمؤثر دي رام d : $${\displaystyle \int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle$$ :=\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle } حيث α أي شكل من أشكال p و β أي شكل من أشكال ( p + 1 )، و${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هي المقياس المستحث على حزمة الأشكال ( p + 1 ). ويُعطى لابلاس الشكل المعتاد بالصيغة التالية:$${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d.}$$

من ناحية أخرى، يوفر اتصال ليفي-تشيفيتا عاملًا تفاضليًا $${\displaystyle \nabla$$ :\Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{1}M\otimes \Omega ^{p}M,} حيث Ω ^p M هي حزمة الأشكال p .يُعطى لابلاس بوخنر بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \Delta '=\nabla ^{*}\nabla }$$ أين${\displaystyle \nabla ^{*}}$هو المرافق لـ${\displaystyle \nabla }$يُعرف هذا أيضًا باسم الاتصال أو لابلاس التقريبي.

ثم تؤكد صيغة ويتزنبوك على أن $${\displaystyle \Delta '-\Delta =A}$$ حيث A هو عامل خطي من الرتبة الصفرية يتضمن الانحناء فقط.

يُعطى الشكل الدقيق لـ A ، وصولاً إلى إشارة عامة تعتمد على اصطلاحات الانحناء، بواسطة$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\langle R(\theta ,\theta )\#,\#\rangle +\operatorname {Ric} (\theta ,\#),}$$ أين

• R هو موتر انحناء ريمان،
• Ric هو موتر ريتشي،
• ${\displaystyle \theta :T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M\rightarrow \Omega ^{p+1}M}$هي الدالة التي تأخذ حاصل الضرب الخارجي لشكل من الدرجة 1 وشكل من الدرجة p وتعطي شكلاً من الدرجة ( p + 1).
• ${\displaystyle \#:\Omega ^{p+1}M\rightarrow T^{*}M\otimes \Omega ^{p}M}$هو الاشتقاق الشامل العكسي لـ θ على الأشكال التفاضلية من الرتبة 1.

إذا كانت M متعددة مغزلية موجهة ذات مؤثر ديراك ð، فإنه يمكن تكوين لابلاس المغزل Δ = ð ² على حزمة المغزل. من ناحية أخرى، يمتد اتصال ليفي-سيفيتا إلى حزمة المغزل ليعطي مؤثرًا تفاضليًا $${\displaystyle \nabla$$ :\Gamma (SM)\rightarrow \Gamma (T^{*}M\otimes SM).} كما هو الحال في مشعبات ريمان، ليكن${\displaystyle \Delta '=\nabla ^{*}\nabla }$هذا مؤثر ذاتي الترافق آخر، وله نفس الرمز الرئيسي لمؤثر لابلاس الدوراني. صيغة ويتزنبوك تعطينا: $${\displaystyle \Delta '-\Delta =-{\frac {1}{4}}Sc}$$ حيث يمثل Sc الانحناء القياسي. وتُعرف هذه النتيجة أيضاً باسم صيغة ليشنيروفيتش .

إذا كانت M متعددة شعب كاهلر مضغوطة ، فهناك صيغة ويتزنبوك تربط${\displaystyle {\bar {\partial }}}$لابلاس- (انظر مُركّب دولبو ) ولابلاس الإقليدي على الأشكال ( p , q ) . تحديدًا، ليكن $${\displaystyle \Delta ={\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*},}$$و $${\displaystyle \Delta '=-\sum _{k}\nabla _{k}\nabla _{\bar {k}}}$$في إطار موحد عند كل نقطة.

وفقًا لصيغة ويتزنبوك، إذا${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{(p,q)}M}$، ثم $${\displaystyle \Delta ^{\prime }\alpha -\Delta \alpha =A(\alpha )}$$ أين${\displaystyle A}$هو مؤثر من الرتبة الصفرية يتضمن الانحناء. تحديدًا، إذا$${\displaystyle \alpha =\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {j}}_{q}}}$$في إطار موحد، إذن$${\displaystyle A(\alpha )=-\sum _{k,j_{s}}\operatorname {Ric} _{{\bar {j}}_{\alpha }}^{\bar {k}}\alpha _{i_{1}i_{2}\dots i_{p}{\bar {j}}_{1}{\bar {j}}_{2}\dots {\bar {k}}\dots {\bar {j}}_{q}}}$$مع وجود k في الموضع s .

• في الهندسة المطابقة، توجد صيغة ويتزنبوك التي تربط زوجًا معينًا من المؤثرات التفاضلية المعرفة على حزمة الجر . انظر: برانسون، ت. وغوفر، أ. ر.، "المؤثرات الثابتة توافقيًا، والأشكال التفاضلية، والتماثل، وتعميم انحناء Q"، مجلة الاتصالات في المعادلات التفاضلية الجزئية ، 30 (2005) 1611-1669.

• هوية بوخنر
• هوية بوشنر-كودايرا-ناكانو
• مؤثرات لابلاس في الهندسة التفاضلية

• غريفيث، فيليب ؛ هاريس، جو (1978)، مبادئ الهندسة الجبرية ، وايلي-إنترساينس (نُشر عام 1994)، رقم ISBN 978-0-471-05059-9