ولاية ويرنر

حالة فيرنر ^{[ 1 ]} هي${\displaystyle d^{2}}$×${\displaystyle d^{2}}$مصفوفة كثافة الحالة الكمومية ثنائية الأجزاء ذات الأبعاد n، والتي تظل ثابتة تحت جميع المؤثرات الوحدوية من الشكل${\displaystyle U\otimes U}$أي أنها حالة كمومية ثنائية الأجزاء${\displaystyle \rho _{AB}}$ذلك يرضي

${\displaystyle \rho _{AB}=(U\otimes U)\rho _{AB}(U^{\dagger }\otimes U^{\dagger })}$

لجميع المؤثرات الوحدوية U التي تعمل على فضاء هيلبرت ذي الأبعاد d . وقد طُوّرت هذه الحالات لأول مرة بواسطة راينهارد ف. فيرنر في عام 1989.

كل ولاية ويرنر${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}}$هو مزيج من المسقطات على الفضاءات الفرعية المتناظرة وغير المتناظرة، مع الوزن النسبي${\displaystyle p\in [0,1]}$باعتبارها المعلمة الرئيسية التي تحدد الحالة، بالإضافة إلى البعد${\displaystyle d\geq 2}$:

${\displaystyle W_{AB}^{(p,d)}=p{\frac {2}{d(d+1)}}P_{AB}^{\text{sym}}+(1-p){\frac {2}{d(d-1)}}P_{AB}^{\text{as}},}$

أين

${\displaystyle P_{AB}^{\text{sym}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}+F_{AB}),}$

${\displaystyle P_{AB}^{\text{as}}={\frac {1}{2}}(I_{AB}-F_{AB}),}$

أجهزة العرض و

${\displaystyle F_{AB}=\sum _{ij}|i\rangle \langle j|_{A}\otimes |j\rangle \langle i|_{B}}$

هو عامل التبديل أو القلب الذي يبدل النظامين الفرعيين A و B.

تكون حالات فيرنر قابلة للفصل عندما يكون p ≥ 1/2 ، ومتشابكة عندما يكون p < 1/2 . جميع حالات فيرنر المتشابكة تنتهك معيار قابلية الفصل PPT ، ولكن عندما يكون d ≥ 3 ، لا تنتهك أي حالة فيرنر معيار الاختزال الأضعف . يمكن تمثيل حالات فيرنر بطرق مختلفة. إحدى طرق كتابتها هي:

${\displaystyle \rho _{AB}={\frac {1}{d^{2}-d\alpha }}(I_{AB}-\alpha F_{AB}),}$

حيث تتراوح قيمة المعامل الجديد α بين -1 و1، ويرتبط بـ p كما يلي:

${\displaystyle \alpha =((1-2p)d+1)/(1-2p+d).}$

حالات فيرنر ثنائية الكيوبت، المقابلة لـ${\displaystyle d=2}$يمكن كتابة ما سبق بشكل صريح في شكل مصفوفة كما يلي:$${\displaystyle W_{AB}^{(p,2)}={\frac {p}{6}}{\begin{pmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{pmatrix}}+{\frac {(1-p)}{2}}{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {p}{3}}&0&0&0\\0&{\frac {3-2p}{6}}&{\frac {-3+4p}{6}}&0\\0&{\frac {-3+4p}{6}}&{\frac {3-2p}{6}}&0\\0&0&0&{\frac {p}{3}}\end{pmatrix}}.}$$وبالمثل، يمكن كتابة هذه على شكل توليفة محدبة من الحالة المختلطة تمامًا مع (الإسقاط على) حالة بيل :$${\displaystyle W_{AB}^{(\lambda ,2)}=\lambda |\Psi ^{-}\rangle \!\langle \Psi ^{-}|+{\frac {1-\lambda }{4}}I_{AB},\qquad |\Psi ^{-}\rangle \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle -|10\rangle ),}$$أين${\displaystyle \lambda \in [-1/3,1]}$(أو، الاقتصار على القيم الإيجابية،${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$) مرتبط بـ${\displaystyle p}$بواسطة${\displaystyle \lambda =(3-4p)/3}$ثم، تكون حالات فيرنر ثنائية الكيوبت قابلة للفصل لـ${\displaystyle \lambda \leq 1/3}$ومتشابكة لـ${\displaystyle \lambda >1/3}$.

قناة فيرنر-هوليفو الكمومية${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}}$مع المعلمات${\displaystyle p\in \left[0,1\right]}$وعدد صحيح${\displaystyle d\geq 2}$ يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}=p{\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}},}$

حيث القنوات الكمومية${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}}$و ${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}}$تُعرَّف بأنها

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{sym}}(X_{A})={\frac {1}{d+1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}+\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\text{as}}(X_{A})={\frac {1}{d-1}}\left[\operatorname {Tr} [X_{A}]I_{B}-\operatorname {id} _{A\rightarrow B}(T_{A}(X_{A}))\right],}$

و${\displaystyle T_{A}}$يشير إلى خريطة النقل الجزئي على النظام A. لاحظ أن حالة تشوي لقناة فيرنر-هوليفو${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{p,d}}$ هي ولاية ويرنر:

${\displaystyle {\mathcal {W}}_{A\rightarrow B}^{\left(p,d\right)}(\Phi _{RA})=p{\frac {2}{d\left(d+1\right)}}P_{RB}^{\text{sym}}+\left(1-p\right){\frac {2}{d\left(d-1\right)}}P_{RB}^{\text{as}},}$

أين${\displaystyle \Phi _{RA}={\frac {1}{d}}\sum _{i,j}|i\rangle \langle j|_{R}\otimes |i\rangle \langle j|_{A}}$.

يمكن تعميم حالات فيرنر لتشمل الحالة متعددة الأطراف. ^{[ 5 ]} حالة فيرنر ذات N طرفًا هي حالة ثابتة تحت${\displaystyle U\otimes U\otimes \cdots \otimes U}$لأي نظام وحدوي U على نظام فرعي واحد. لم تعد حالة فيرنر موصوفة بمعامل واحد، بل بـ N ! - 1 معامل، وهي عبارة عن توليفة خطية من N ! تبديل مختلف على N نظام.