جسر ويتستون

عند نقطة التوازن، يكون كل من الجهد والتيار بين نقطتي المنتصف (B و D) صفراً. لذلك ، I ₁ = I ₂ ، I ₃ = I _x ، V _D = V _B.

بسبب V _D = V _B ، فإن V _DC = V _BC و V _AD = V _AB .

بقسمة المعادلتين الأخيرتين على عناصرهما واستخدام معادلات التيار المذكورة أعلاه، ثم $$\displaystyle \begin{aligned}{\frac {V_{DC}}{V_{AD}}}&={\frac {V_{BC}}{V_{AB}}}\\[4pt]\Rightarrow {\frac {I_{2}R_{2}}{I_{1}R_{1}}}&={\frac {I_{x}R_{x}}{I_{3}R_{3}}}\\[4pt]\Rightarrow R_{x}&={\frac {R_{2}}{R_{1}}}\cdot R_{3}\end{aligned}}}$$

يشكل كل من ADC و ABC مقسمين للجهد ، حيث V _G يساوي الفرق في جهد الخرج. وبالتالي $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{DC}&=V_{BC}\\I_{2}R_{2}&=I_{x}R_{x}\\V_{AC}{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}&=V_{AC}{\frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}\\{\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}&={\frac {R_{x}}{R_{3}+R_{x}}}\\{\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{2}}}&={\frac {R_{3}+R_{x}}{R_{x}}}\\1+{\frac {R_{1}}{R_{2}}}&=1+{\frac {R_{3}}{R_{x}}}\\{\frac {R_{1}}{R_{2}}}&={\frac {R_{3}}{R_{x}}}\\\end{aligned}}}$$

أولاً، يتم استخدام قانون كيرشوف للتيار لإيجاد التيارات في الوصلتين B و D: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{3}-I_{x}+I_{G}&=0\\I_{1}-I_{2}-I_{G}&=0\end{aligned}}}$$

ثم يتم استخدام قانون كيرشوف للجهد لإيجاد الجهد في الحلقتين ABDA و BCDB: $${\displaystyle {\begin{aligned}(I_{3}\cdot R_{3})-(I_{G}\cdot R_{G})-(I_{1}\cdot R_{1})&=0\\(I_{x}\cdot R_{x})-(I_{2}\cdot R_{2})+(I_{G}\cdot R_{G})&=0\end{aligned}}}$$

عندما يكون الجسر متوازناً، فإن I _G = 0 ، لذا يمكن إعادة كتابة المجموعة الثانية من المعادلات على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{3}\cdot R_{3}&=I_{1}\cdot R_{1}\quad {\text{(1)}}\\I_{x}\cdot R_{x}&=I_{2}\cdot R_{2}\quad {\text{(2)}}\end{aligned}}}$$

ثم، يتم قسمة المعادلة (1) على المعادلة (2) ويتم إعادة ترتيب المعادلة الناتجة، مما يعطي: $${\displaystyle R_{x}={{R_{2}\cdot I_{2}\cdot I_{3}\cdot R_{3}} \over {R_{1}\cdot I_{1}\cdot I_{x}}}}$$

بما أن I₃ = Iₓ و _I₁ = _{I₂ متناسبتان} وفقًا لقانون كيرشوف للتيارات، فإن I₃I₂ _{/ I₁Iₓ} يُحذف من المعادلة أعلاه . وبالتالي _، تُعرف القيمة المطلوبة _لـ Rₓ _على النحو _{التالي :}$${\displaystyle R_{x}={{R_{3}\cdot R_{2}} \over {R_{1}}}}$$

من جهة أخرى، إذا كانت مقاومة الجلفانومتر عالية بما يكفي بحيث يكون التيار I_{_G} مهملًا، فمن الممكن حساب R_{_x} من قيم المقاومات الثلاث الأخرى وجهد التغذية ( V_{_S} )، أو حساب جهد التغذية من قيم المقاومات الأربع جميعها. وللقيام بذلك، يجب حساب الجهد الناتج من كل مقسم جهد وطرحه من الآخر. معادلات ذلك هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}V_{G}&=\left({R_{2} \over {R_{1}+R_{2}}}-{R_{x} \over {R_{x}+R_{3}}}\right)V_{s}\\[6pt]R_{x}&={{R_{2}\cdot V_{s}-(R_{1}+R_{2})\cdot V_{G}} \over {R_{1}\cdot V_{s}+(R_{1}+R_{2})\cdot V_{G}}}R_{3}\end{aligned}}}$$ حيث V _G هو جهد العقدة D بالنسبة إلى العقدة B.