Doxastic logic

Doxastic logic is a type of logic concerned with reasoning about beliefs.

The term doxastic derives from the Ancient Greekδόξα (doxa, "opinion, belief"), from which the English term doxa ("popular opinion or belief") is also borrowed. Typically, a doxastic logic uses the notation ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}x}$ to mean "reasoner ${\displaystyle c}$ believes that ${\displaystyle x}$ is true", and the set ${\displaystyle \mathbb {B} _{c}:\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$denotes the set of beliefs of ${\displaystyle c}$. In doxastic logic, belief is treated as a modal operator.

There is complete parallelism between a person who believes propositions and a formal system that derives propositions. Using doxastic logic, one can express the epistemic counterpart of Gödel's incompleteness theorem of metalogic, as well as Löb's theorem, and other metalogical results in terms of belief.^[1]

To demonstrate the properties of sets of beliefs, Raymond Smullyan defines the following types of reasoners:

• Accurate reasoner:^[1][2][3][4] An accurate reasoner never believes any false proposition. (modal axiom T)

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to p}$

• Inaccurate reasoner:^[1][2][3][4] An inaccurate reasoner believes at least one false proposition.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Consistent reasoner:^[1][2][3][4] A consistent reasoner never simultaneously believes a proposition and its negation. (modal axiom D)

$\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}_{c}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to \neg {\mathcal {B}}_{c}\neg p}$

• Normal reasoner:^[1][2][3][4] A normal reasoner is one who, while believing ${\displaystyle p,}$ also believes they believe ${\displaystyle p}$ (modal axiom 4).

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {BB}}p}$

A variation on this would be someone who, while not believing ${\displaystyle p,}$ also believes they don't believe ${\displaystyle p}$ (modal axiom 5).

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}_{c}p)}$

• المفكر الغريب : ^{[ 1 ] [ 4 ]} يعتقد المفكر الغريب القضية${\displaystyle p}$بينما يعتقدون أيضاً أنهم لا يؤمنون${\displaystyle p.}$على الرغم من أن المفكر الغريب قد يبدو وكأنه ظاهرة نفسية غريبة (انظر مفارقة مور )، إلا أن المفكر الغريب غير دقيق بالضرورة ولكنه ليس بالضرورة غير متسق.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• المفكر المنتظم : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} المفكر المنتظم هو من يعتقد ${\displaystyle p\to q}$ويعتقد أيضاً${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q}$.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• المفكر الانعكاسي : ^{[ 1 ] [ 4 ]} المفكر الانعكاسي هو من يرى كل قضية منطقية.${\displaystyle p}$يتضمن بعض المقترحات${\displaystyle q}$بحيث يعتقد صاحب الاستدلال${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$.

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

إذا اعتقد شخص ذو تفكير انعكاسي من النوع 4 [انظر أدناه ]${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$سوف يصدقون${\displaystyle p}$هذا توازي لنظرية لوب بالنسبة للمفكرين.

• المفكر المغرور : ^{[ 1 ] [ 4 ]} يعتقد المفكر المغرور أن معتقداته ليست خاطئة أبدًا.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

إذا أُعيدت كتابتها بصيغة de re ، فإنها تُعادل منطقياً ما يلي:

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

وهذا يعني أن:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p)}$

وهذا يدل على أن الشخص المغرور بالمنطق هو دائماً شخص مستقر بالمنطق (انظر أدناه).

• المفكر غير المستقر : ^{[ 1 ] [ 4 ]} المفكر غير المستقر هو من يعتقد أنه يؤمن بقضية ما، ولكنه في الواقع لا يؤمن بها. هذه ظاهرة نفسية غريبة تمامًا مثل الشذوذ؛ ومع ذلك، فإن المفكر غير المستقر ليس بالضرورة متناقضًا.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\wedge \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• المُستدل المُستقر : ^{[ 1 ] [ 4 ]} المُستدل المُستقر ليس غير مُستقر. أي، لكل${\displaystyle p,}$إذا كانوا يعتقدون${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$ثم يعتقدون${\displaystyle p.}$لاحظ أن الاستقرار هو عكس الوضع الطبيعي. سنقول إن المفكر يعتقد أنه مستقر إذا كان لكل قضية${\displaystyle p,}$إنهم يعتقدون${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$(مؤمنًا: "إذا آمنت يومًا ما بأنني أؤمن${\displaystyle p,}$حينها سأصدق حقاً${\displaystyle p}$"). وهذا يتوافق مع وجود علاقة وصول كثيفة في دلالات كريپكي ، وأي مستنتج دقيق يكون مستقرًا دائمًا.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• المفكر المتواضع : ^{[ 1 ] [ 4 ]} المفكر المتواضع هو من يرى أن لكل قضية يؤمن بها${\displaystyle p}$،${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$فقط إذا كانوا يعتقدون${\displaystyle p}$لا يصدق المفكر المتواضع أبدًا${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$إلا إذا كانوا يعتقدون${\displaystyle p}$أي مُستدل انعكاسي من النوع 4 يكون متواضعاً. ( نظرية لوب )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• المفكر الغريب : ^{[ 4 ]} المفكر الغريب هو من النوع G (انظر أدناه) ويعتقد أنهم غير متسقين - ولكنه مخطئ في هذا الاعتقاد.
• المفكر الخجول : ^{[ 4 ]} المفكر الخجول لا يؤمن${\displaystyle p}$[يخشى أن] يصدق${\displaystyle p}$إذا كانوا يعتقدون أن الإيمان بـ${\displaystyle p}$يؤدي ذلك إلى اعتقاد متناقض.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• المفكر من النوع الأول : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} يمتلك المفكر من النوع الأول معرفة كاملة بمنطق القضايا ، أي أنه عاجلاً أم آجلاً يؤمن بكل حقيقة /نظرية (أي قضية يمكن إثباتها بواسطة جداول الصواب ):

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}_{c}p}$

الرمز${\displaystyle \vdash _{PC}p}$وسائل${\displaystyle p}$هي حقيقة منطقية/نظرية قابلة للإثبات في حساب القضايا. كما أن مجموعة معتقداتهم (الماضي والحاضر والمستقبلي) مغلقة منطقيًا بموجب قاعدة القياس المنطقي . إذا اعتقدوا يومًا ما${\displaystyle p}$و${\displaystyle p\to q}$عندها سيصدقون (عاجلاً أم آجلاً)${\displaystyle q}$:

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q}$

يمكن أيضًا اعتبار هذه القاعدة بمثابة بيان ينص على أن الاعتقاد يتوزع على الاستلزام، لأنه مكافئ منطقيًا لـ

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

لاحظ أنه في الواقع، حتى افتراض النوع 1 من المفكر قد يكون قويًا جدًا في بعض الحالات (انظر مفارقة اليانصيب ).

• المُستَعلِم من النوع 1* : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} يؤمن المُستَعلِم من النوع 1* بجميع الحُسَب التَحَقُّات؛ فمجموعة معتقداته (الماضي والحاضر والمستقبل) مُغلقة منطقيًا بموجب قاعدة القياس المنطقي، ولأي قضايا${\displaystyle p}$و${\displaystyle q,}$إذا كانوا يعتقدون${\displaystyle p\to q,}$عندها سيؤمنون بذلك إذا آمنوا${\displaystyle p}$حينها سيصدقون${\displaystyle q}$يتمتع الشخص ذو النمط 1* من التفكير المنطقي بوعي ذاتي "أكثر قليلاً" من الشخص ذي النمط 1 من التفكير المنطقي.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• المُستَعلِم من النوع الثاني : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} يكون المُستَعلِم من النوع الثاني إذا كان من النوع الأول، وإذا كان لكل${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$إنهم يعتقدون (بحق): "إذا صدقت كلا الأمرين${\displaystyle p}$و${\displaystyle p\to q}$حينها سأصدق${\displaystyle q}$"وباعتبارهم من النوع الأول، فإنهم يؤمنون أيضاً بالافتراض المكافئ منطقياً :${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q).}$الشخص الذي يفكر من النوع الثاني يعرف أن معتقداته مغلقة بموجب قاعدة الاستدلال المنطقي (modus ponens).

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• المفكر من النوع 3 : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} يكون المفكر من النوع 3 إذا كان مفكرًا عاديًا من النوع 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p}$

• المفكر من النوع 4 : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} يكون المفكر من النوع 4 إذا كان من النوع 3 ويعتقد أيضًا أنه طبيعي.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p)]}$

• المفكر من النوع G : ^{[ 1 ] [ 4 ]} مفكر من النوع 4 يعتقد أنه متواضع.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p)]}$

بالنسبة للأنظمة، يُعرّف علماء المنطق خاصية الانعكاسية بأنها تعني أنه لأي${\displaystyle p}$(بلغة النظام) هناك بعض${\displaystyle q}$بحيث${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$يمكن إثبات ذلك في النظام. تنص نظرية لوب (بصيغتها العامة) على أنه لأي نظام انعكاسي من النوع 4، إذا${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$يمكن إثبات ذلك في النظام، وكذلك${\displaystyle p.}$^{[ 1 ] [ 4 ]}

إذا اعتقد مُستَعْلِمٌ انعكاسيٌّ مُتَّسِزٌّ مِنَ النَّوْلِ 4 أنه مُستقرّ، فإنه سيصبح غير مُستقرّ. بعبارة أخرى، إذا اعتقد مُستَعْلِمٌ انعكاسيٌّ مُتَّسِزٌ مِنَ النَّوْلِ 4 أنه مُستقرّ، فإنه سيصبح غير مُتَّسِز. لماذا؟ لنفترض أن مُستَعْلِمًا انعكاسيًا مُتَّسِزًا مِنَ النَّوْلِ 4 يعتقد أنه مُستقرّ. سنُبَيِّن أنه سيُصدِّق (عاجلاً أم آجلاً) كلَّ قضية.${\displaystyle p}$(وبالتالي يكون غير متسق). خذ أي قضية${\displaystyle p.}$يعتقد صاحب المنطق${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p,}$وبالتالي، وفقًا لنظرية لوب، سيعتقدون${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$(لأنهم يعتقدون)${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$أين${\displaystyle r}$هو الاقتراح${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p,}$وهكذا سيصدقون${\displaystyle r,}$وهو الاقتراح${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$وبما أنهم مستقرون، فسوف يعتقدون${\displaystyle p.}$^{[ 1 ] [ 4 ]}

• مراجعة المعتقدات
• المعرفة العامة (المنطق)
• المنطق الموجه المعرفي
• جورج بولوس
• جاكو هينتيكا
• المنطق الموجه
• ريموند سموليان

• ليندستروم، سانت؛ رابينوفيتش، و.ل. (1999). "DDL Unlimited. Dynamic Doxastic Logic for Introspective Agents". إركنتنيس. 51 ( 2-3 ) : 353-385 . doi : 10.1023 /A:1005577906029 . S2CID 116984078 . 
• لينسكي، ل. (1968). "حول تفسير المنطق الدوكساتيكي". مجلة الفلسفة . 65 (17): 500-502 . doi : 10.2307/2024352 . JSTOR 2024352 . 
• سيجربيرج، كر. (1999). "المنطق الافتراضي كمنطق دوكساستيك ديناميكي". إركنتنيس . 50 ( 2-3 ): 333-352 . doi : 10.1023/A:1005546526502 . S2CID 118747031 . 
• وانسينغ، هـ. (2000). "اختزال المنطق الدوكساتيكي إلى منطق الفعل". إركنتنيس . 53 ( 1-2 ): 267-283 . doi : 10.1023/A:1005666218871 . S2CID 58939606 .